概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第八章 檢驗(yàn)假設(shè)

第八章假設(shè)檢驗(yàn)

一.假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念及思想

二.單正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)三.雙正態(tài)總體均值差與方差比 的假設(shè)檢驗(yàn)§1

基本概念(一)兩類問題1、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)未知,由觀測值x1,…,xn檢驗(yàn)假設(shè)

H0：=0；H1：≠02、非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)總體分布未知,由觀測值x1,…,xn檢驗(yàn)假設(shè)H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;)

以樣本(X1,…,Xn)出發(fā)制定一個法則,一旦觀測值(x1,…,xn)確定后,我們由這個法則就可作出判斷是拒絕H0還是接受H0,這種法則稱為H0對H1的一個檢驗(yàn)法則,簡稱檢驗(yàn)法。樣本觀測值的全體組成樣本空間S,把S分成兩個互不相交的子集W和W*,即S=W∪W*,W∩W*=

假設(shè)當(dāng)(x1,…,xn)∈W時,我們就拒絕H0；當(dāng)(x1,…,xn)∈W*時,我們就接受H0。子集WS稱為檢驗(yàn)的拒絕域(或臨界域)。(二)檢驗(yàn)法則與拒絕域(三)檢驗(yàn)的兩類錯誤(p150)稱

H0真而被拒絕的錯誤為第一類錯誤或棄真錯誤；稱

H0假而被接受的錯誤為第二類錯誤或存?zhèn)五e誤。記

p(Ⅰ)=p{拒絕H0|

H0真};

P(II)=p{接受H0|

H0假}(四)小概率事件原理（實(shí)際推斷原理）小概率事件在一次試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的。對于給定的一對H0和H1,總可找出許多拒絕域,人們自然希望找到這種拒絕域W,使得犯兩類錯誤的概率都很小。奈曼—皮爾遜(Neyman—Pearson)提出了一個原則：“在控制犯第一類錯誤的概率不超過指定值的條件下,盡量使犯第二類錯誤的概率小”按這種法則做出的檢驗(yàn)稱為“顯著性檢驗(yàn)”,稱為顯著性水平或檢驗(yàn)水平。？怎樣構(gòu)造的拒絕域方可滿足上述法則？如:X1,…,Xn~N(,1),要檢驗(yàn)

H0：=0；H1：=1拒絕域可取根據(jù)奈曼—皮爾遜原則：應(yīng)選取k使“犯第一類錯誤的概率不超過指定值的條件下,盡量使犯第二類錯誤的概率小”這里（臨界值）而P(II)關(guān)于k單調(diào)增加.所以為使P(II)小,k要盡可能小.對比說明k最小只能取到,

得水平為的拒絕域?yàn)椋嚎梢?使P(I)≤與又使P(II)盡可能小的k值恰好滿足P(I)=.一般地,符合奈曼—皮爾遜原則的拒絕域滿足P(I)=.顯著性檢驗(yàn)的思想和步驟：(1)根據(jù)實(shí)際問題作出假設(shè)H0與H1；

(2)構(gòu)造統(tǒng)計量,在H0真時其分布已知；

(3)給定顯著性水平的值,參考H1,令

P{拒絕H0|H0真}=,求出拒絕域W；

(4)計算統(tǒng)計量的值,若統(tǒng)計值W,則拒絕

H0,否則接受H0§2

單正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)一、單總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)1、2已知的情形---Z檢驗(yàn)（p152)

對于假設(shè)H0：=0；H1：0,構(gòu)造查表,計算,比較大小,得出結(jié)論。例1

根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)和資料分析，某磚廠所生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度X~N(,1.21),今從該廠所生產(chǎn)的一批磚中隨機(jī)取六塊，測得抗斷強(qiáng)度（kg/cm2）如下：

32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03，可否認(rèn)為這批磚的平均抗斷強(qiáng)度為32.5（kg/cm2）？（=0.05）解：由題意，需檢驗(yàn)：H0：=32.5；H1：32.5

,拒絕域?yàn)椋簕|Z|≥z0.025=1.96}這里故拒絕H0。說明：

H0：=0；H1：0

稱為雙邊檢驗(yàn)問題；H0：=0；H1：>0(或<0),稱為單邊檢驗(yàn)問題；(2)

H0：0；H1：>0

或H0：0；H1：u<u0也稱為單邊檢驗(yàn)問題,不過這是一個完備的檢驗(yàn)問題。(3)可證:完備的檢驗(yàn)問題與不完備的檢驗(yàn)問題有相同拒絕域,從而檢驗(yàn)法一致。先考慮不完備的右邊檢驗(yàn)問題H0：=0；H1：>0,現(xiàn)考慮完備的右邊檢驗(yàn)問題H0：0；H1：>0,若取拒絕域?yàn)閯t犯第一類錯誤的概率為于是故是H0：0；H1：>0,的水平為的拒絕域。例1：設(shè)某廠生產(chǎn)一種燈管,壽命X~N(,2002),由以往經(jīng)驗(yàn)知平均壽命=1500小時,采用新工藝后,在所生產(chǎn)的燈管中抽取25只,測得平均壽命1675小時,若標(biāo)準(zhǔn)差不變，問采用新工藝后,燈管壽命是否有顯著提高。(=0.05)解:這里故拒絕H0。左邊檢驗(yàn)問題H0：=0；H1：<0,或H0：0；H1：<0,可得顯著性水平為的拒絕域?yàn)椋豪?已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112).某日測得5爐鐵水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果標(biāo)準(zhǔn)差不變,該日鐵水的平均含碳量是否顯著偏低?(取=0.05)解:拒絕域?yàn)椋哼@里故拒絕H0。2、2未知的情形(p153)雙邊檢驗(yàn):對于假設(shè)

H0：=0；H1：0由p{|T|t/2(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)椋簕|T|t/2(n1)}例3用熱敏電阻測溫儀間接測量地?zé)峥碧骄诇囟?重復(fù)測量7次，測得溫度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某種精確辦法測得溫度為112.6(可看作真值),試問用熱敏電阻測溫儀間接測溫有無系統(tǒng)偏差(設(shè)溫度測量值X服從正態(tài)分布）,（=0.05）解:H0：=112.6；H1：112.6拒絕域?yàn)椋簕|T|t0.025(6)=2.4469}這里故接受H0。右邊檢驗(yàn)問題：H0：=0

；H1：>0

或H0：0；H1：>0,由p{Tt(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)椋簕Tt(n1)}例4

某廠生產(chǎn)鎳合金線，其抗拉強(qiáng)度的均值為10620(kg/mm2)今改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批鎳合金線，抽取10根,測得抗拉強(qiáng)度(kg/mm2)為:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.認(rèn)為抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布,取=0.05,問新生產(chǎn)的鎳合金線的抗拉強(qiáng)度是否比過去生產(chǎn)的鎳合金線抗拉強(qiáng)度要高?解:H0：=10620；H1：>10620拒絕域?yàn)椋簕Tt0.05(9)=1.8331}這里故接受H0。左邊檢驗(yàn)問題

H0：=0

；H1：<0

或H0：0；H1：<0,由p{T-t(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)椋簕T-t(n1)}EX設(shè)正品鎳合金線的抗拉強(qiáng)度服從均值不低于10620(kg/mm2)的正態(tài)分布,今從某廠生產(chǎn)的鎳合金線中抽取10根,測得平均抗拉強(qiáng)度10600（kg/mm2),樣本標(biāo)準(zhǔn)差為80.,問該廠的鎳合金線的抗拉強(qiáng)度是否不合格?(=0.1)

解:H0：10620；H1：<10620拒絕域?yàn)椋簕T

-

t0.1(9)=-1.383}這里故接受H0。二、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)(p155)假定未知,得水平為的拒絕域?yàn)椋豪?已知維尼綸纖度在正常情況下服從方差為0.0482的正態(tài)分布，某日抽取五根纖維，測得其纖度為1.32，1.55，1.36，1.40，1.44，問這一天纖度的分布的方差是否正常（=0.1）？解：需檢驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋哼@里：n=5,故拒絕H0。認(rèn)為這天纖度的分布的方差不正常。例6電工器材廠生產(chǎn)一批保險絲，取10根測得其熔化時間（min）為42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.問是否可以認(rèn)為整批保險絲的熔化時間的方差小于等于80?(=0.05,熔化時間為正態(tài)變量.)拒絕域?yàn)?這里接受H0解：§3

雙正態(tài)總體均值差與方差比的假設(shè)檢驗(yàn)一、均值差的假設(shè)檢驗(yàn)(p157)而對應(yīng)的單邊問題拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)槔?

比較甲,乙兩種安眠藥的療效。將20名患者分成兩組,每組10人.其中10人服用甲藥后延長睡眠的時數(shù)分別為1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4;另10人服用乙藥后延長睡眠的時數(shù)分別為0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0.若服用兩種安眠藥后增加的睡眠時數(shù)服從方差相同的正態(tài)分布.試問兩種安眠藥的療效有無顯著性差異?(=0.10)解:這里:拒絕H0,認(rèn)為兩種安眠藥的療效有顯著性差異.二、方差比的假設(shè)檢驗(yàn)(p160)兩樣本獨(dú)立,給定檢驗(yàn)水平,由觀測值假定1,2未知由p{FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)}=F1/2F/2得拒絕域{FF1/2(n11,n21)}U{FF/2(n11,n21)}而對應(yīng)的單邊問題拒絕域?yàn)?{FF(n11,n21)}{FF1(n11,n21)}拒絕域?yàn)槔?有甲乙兩種機(jī)床,加工同樣產(chǎn)品,從這兩臺機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取若干產(chǎn)品,測得產(chǎn)品直徑為(單位:mm)