2021屆吉林省長春市高三第一次質量監(jiān)測(一模)數(shù)學試題(理)

高中數(shù)學月/段考試題吉林省長春市屆高第一次質量監(jiān)測（一模）數(shù)學試題（理）一、選擇題本共12小，每小題5分，共60.在每小題給出的四個選項只一項是符合題目要求.1.已知集合{x},{x|xA.1個B.2C.3個是（）2.函數(shù)sin2x

2

x0},則合AD.4個

B

的元素個數(shù)

）A.周為

的奇函數(shù)

B.期為2

的偶函數(shù)C.期為的函數(shù)3.在中

是Asin

的

D.周為的函數(shù)A.充不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既充分也不必要條件4.張老師居住的一條街行駛著、乙兩路公交這兩路公交車的數(shù)目相并且都是每隔十分鐘就到達車站一即停即走張老師每天早晨都是在6:00到6:10之到達車乘車到學校這條公交線路對他是一樣都以到達學甲路公交車的到站時間是6:09,6:19，，乙路公交車的到站時間是6:00,6:10,6:20,6:30,，張老師乘坐上甲路公交車的概率是（）A.B.50%C.60%D.90%5.長江流域內(nèi)某地南北兩岸平行如示知船靜水中的航行速v1

的大小v1

,水的速度v的小v4km/h,設和所成角為221

(0

，若游船要從A航行正北方向上位于北岸的碼頭處則cos等（）A.

B.

C.D.51

高中數(shù)學月/段考試題6.已知函數(shù)

f

則函數(shù)在

上的大致圖象為（）7.將長、寬分別為3和的方形沿對角線BD折得到四面體則四面體A的外接球體積為（）A.

8B.C.4D.38.已知拋物線

y2

F

的直線l

與拋物線分別交于

B

兩點(點

在第一象限，且

ABFB

則直線l

的傾斜角為（）A.

B.C.D.39.對于函數(shù)

f

下列結論中正確的是（）A.f

為奇函數(shù)

B.

在定義域上是單調遞減函數(shù)C.f

的圖象關于點

對稱

D.10.如圖在積為1的方形BCD1

內(nèi)做四邊形

ABD使AA222221BC,CCDA112211

以此類推在邊形

ABCD22

內(nèi)再做四邊形

D3

……，記四邊形

Diiii

的面積為

ai,)i

，則a1

（）2

nn高中數(shù)學月/段考試題nn99A.]B.[1]543C.]D.]2雙線:

yaa22

被斜率為

的直線截得的弦

的中點為

則雙曲線E的心率為（）A

.3

C

D.5已偶數(shù)

f(x)滿

則f的值為（）A

..二、填空題本共4小每小題5分共分13.若

2,

則sin2

.14.若復數(shù)滿則z

.15.如,一邊0cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分將些陰影部分裁下后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容,把器的容積(單位)表為

(單位:

cm

)的函數(shù)為

.3

高中數(shù)學月/段考試題16.已知是列{}n

的前n項滿

S

32n2

,則

a

數(shù){

}2nn

的前n

項和

T

.三、解答題共70分解應寫出字說明、證明過程或演算步第17-21題為必考題每試題考生都必須作答第-為選考題考根據(jù)要求作.(一必考題共分17.(12分如在棱錐中底為方形⊥底面ABCD,

,為PB的中點F為段上的動點(I)求:平面

AEF

平面;(Ⅱ求二面角PDCE的弦值PED

CA

B

F18.(12分在ABC中

A,B

的對邊分別為

ab,c且足

.(I)求C

;(Ⅱ若

ab

,求

cos

19.(12分某小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活的物資供為好日常生活必需的4

高中數(shù)學月/段考試題甲類物資的供應超對社區(qū)居民戶每天對甲類物資的購買量進行了調,得了以下頻率分布直方圖如)現(xiàn)從小區(qū)超市某天購買甲類物資的居民戶中任意選取5戶(I)若頻率視為概,至少有兩戶購買量在kg)的率(Ⅱ若抽取的戶中購買量在)的戶數(shù)為2戶從這戶選出戶進行生活情況調查記3戶需求量在)的戶數(shù)為求ξ的布列和期.20.(12分已知橢圓

x2

y24

,直線

y

分別與

軸

軸交于

,

兩點與圓交于

A,B兩點(I)若

AM

求直線l的程(Ⅱ若點P的標為

求△面的最大值.21.(12分5

1高中數(shù)學月/段考試題1設函數(shù)fx

.(I)當a

時求數(shù)

f

的單調區(qū)間(Ⅱ當0時,求證:

f(二選考題共分請考生在22、題中任選一題作,如多做則按所的第一題計.22.『選修-坐標系與參數(shù)方程』)已知直線l

的參數(shù)方程為

xty

(t為數(shù),以坐標原點為極,軸非負半軸為極軸建立極坐標系圓的坐方程為

2cos

(I)求線l

的普通方程和圓C的角坐標方程(Ⅱ若直線l

與圓C相于A,B兩點求|23.『選修-不等式選講』(10分已知

aba(I)求:(Ⅱ求證:

222b

223

.——★*考*答*案★—一選題本大題共12小，每小題分共60分6

高中數(shù)學月/段考試題1.『析』A1,0,1,2},B{xx或x2},

所以

A

B

故選B.2.D『析』sin2x

cos

故T=

且為偶函數(shù)故3．『析』易知在三角形中，A是sinsinB的充要條件故4.D『析』張老師到達車站在：00-中是等可能,故老師在6:00-6:09到車站的概率為90%,故有的能乘坐甲路公交車，選D5．『析』由題意知

1

|vv|212

所以

選6．『析』由

f)

可得

yf

的圖象關于直線x

對稱排BC,當x(1,2),f7.

排除D,選A.『析』

BD

中點到A,B,C,D的離均為1,故的體積為

,故A.8．『析』如圖過作’,BB垂直線

x

,垂為’,B過作AA垂線垂為由物線定義知

BF|AFAABFAF|

2|AC

所以

cosBAC

,BAC,所以直線l傾角為,選39.C7

29高中數(shù)學月/段考試題290『析』fx

由圖象可知圖關于點

對稱,因不是奇函數(shù),在定義域內(nèi)函數(shù)為增函在10.B

故選C.5『解析』由圖可知,a,a,9

,

,

所以其前n

項和為9[1]411.B

,故B.『析』設

Ay112

代入雙曲線方程作差有

11a

1b2

,有

2(y)(yy)1222(xx)2

,所，a23,12.

故選B.『析』由題意可知函數(shù)

的周期為4,又

log841

當3x

則

則84)84(4log81二、填空題本題共4小題每小題5分共20分

故選A13.『析』14.

sin2

cos21『析』設

R

315.

V

2

2

x8

n1高中數(shù)學月/段考試題n1『解析』由題意可知,正四棱錐的高為2xV225x10)46

x2

,所以容積16.

ann

，

Tn

122(2)『析』2,1nn

n

n

,所以(nn(n2((n((2)2((

)

11n{}2n2a2n

的前n

項和

1T22(2)

.三，簡答題17.(1)證明：因為

,E為PB中所

AEPB因為

平面ABCD所

PABC由

BC,

所以⊥面,所以BCAE又

BC

PB,所以⊥面,所以平面

AEF

平面.解法1:取

中點連GEGD由

GE,CD//AB

,所以

GE//

故GE平面EDC因⊥面所以

PA,

由CD

所以CD平面所

,GD,

所以∠為面角的平面角在

中

PG2,GD

5,

所以

(12)法2:以為原,AP為,yz建立空間直角坐標系有

設平面PCD的個法向量為

z11

平面ECD的個法向量為

m,22

y有，，1

9

2高中數(shù)學月/段考試題2y又，2即二面角P-DCE的余弦值為

(12)

,所以

3m|18.解(1)由弦定理知

A

siCc有

sinBcosCcosBC

12sinsinC,以cosC2

（分）c2cosC所以

A

2

24

，

A

3

，

,所

83311cos2

(12)4719．：(1)P(4128(2)的能值為0,1,2

分

C1C2C6C23；32；C3ξ的布列為20．：設

A12

聯(lián)立直線方程與橢圓方程有4kx

有

2

0,

有

x42，222

所以AB中點坐標為

k,4

,(k0)由

1M中坐標為

12

10

1k2e高中數(shù)學月/段考試題1k2e因為

AM

kk所以線段的點與AB的點重合有1442

解得k

(6)由1)知S

kk2

k

2

因為

3,所以

1

433所以

PAB

62

1

32

當k=0時PAB積最大(12分21.解

a

時，令

x

f

t

lnt,t

t

e

易知

所以當

t

單調遞增又

x

,所以當

x

時

,

單調遞增,當

x

時

,t

單調遞減分令

x

(t

,f

lnt

,當a0

時易

當

時

g

時

g

時

而

11

tt2高中數(shù)學月/段考試題tt2所以存在

t0

0

t

tlnalnt00

0當t∈

0

時

,g

單調遞減當t∈

0

所以

0

t

lntat2