高中數(shù)學北師大版1第三章圓錐曲線與方程 章末綜合測評

章末綜合測評(三)圓錐曲線與方程(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2023·山西太原月考)拋物線y＝ax2的準線方程是y－2＝0，則a的值是()\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－8【解析】拋物線y＝ax2的標準方程為x2＝eq\f(1,a)y，所以－eq\f(1,4a)＝2，即a＝－eq\f(1,8).【答案】B2.如圖1，已知圓O的方程為x2＋y2＝100，點A(－6,0)，M為圓O上任意一點，AM的垂直平分線交OM于點P，則點P的軌跡是()圖1A．圓 B．拋物線C．橢圓 D．兩條直線【解析】∵P為AM垂直平分線上的點．∴|PM|＝|PA|.又∵|OP|＋|PM|＝10，∴|PA|＋|PO|＝10.故P點的軌跡是以A，O為焦點，長軸長為10的橢圓．【答案】C3．(2023·吉林延邊期末)設AB是橢圓的長軸，點C在橢圓上，且∠CBA＝eq\f(π,4).若AB＝4，BC＝eq\r(2)，則橢圓的焦距為()\f(\r(3),3) B．eq\f(2\r(6),3)\f(4\r(6),3) D．eq\f(2\r(3),3)【解析】如圖，設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由題意可知，2a＝4，a＝2.因為∠CBA＝eq\f(π,4)，BC＝eq\r(2)，所以C(－1，1)．因為點C在橢圓上，所以eq\f(1,4)＋eq\f(1,b2)＝1，所以b2＝eq\f(4,3).由公式a2＝b2＋c2得c＝eq\f(2\r(6),3)，所以焦距為eq\f(4\r(6),3).【答案】C4．雙曲線x2－4y2＝4的焦點坐標為()A．(±eq\r(3)，0) B．(0，±eq\r(3))C．(0，±eq\r(5)) D．(±eq\r(5)，0)【解析】依題意a＝2，b＝1，∴c＝eq\r(5)，又eq\f(x2,4)－y2＝1焦點在x軸上，∴焦點坐標為(±eq\r(5)，0)．【答案】D5．(2023·全國卷Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()\r(5) B．2\r(3) D．eq\r(2)【解析】結合圖形，用a表示出點M的坐標，代入雙曲線方程得出a，b的關系，進而求出離心率．不妨取點M在第一象限，如圖所示，設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a，\r(3)a)).∵M點在雙曲線上，∴eq\f(4a2,a2)－eq\f(3a2,b2)＝1，a＝b，∴c＝eq\r(2)a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).故選D.【答案】D6．已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8y D．x2＝16y【解析】雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由于eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.拋物線的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以eq\f(\f(p,2),2)＝2，所以p＝8，所以拋物線方程為x2＝16y.【答案】D7．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于eq\f(3,2)，則C的方程是()\f(x2,4)－eq\f(y2,\r(5))＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,\r(5))＝1【解析】右焦點為F(3,0)說明兩層含義：雙曲線的焦點在x軸上且c＝3.又離心率為eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，選B.【答案】B8．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點為F1(－4,0)，則m＝()A．9 B．4C．3 D．2【解析】由題意得：m2＝25－42＝9，因為m>0，所以m＝3，故選C.【答案】C9．(2023·重慶高考)設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于a＋eq\r(a2＋b2)，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－eq\r(2)，0)∪(0，eq\r(2))D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)【解析】根據(jù)雙曲線的性質和兩直線的位置關系求解．由題作出圖像如圖所示．由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1可知A(a,0)，F(xiàn)(c，0)．易得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).∵kAB＝eq\f(\f(b2,a),c－a)＝eq\f(b2,ac－a)，∴kCD＝eq\f(aa－c,b2).∵kAC＝eq\f(\f(b2,a),a－c)＝eq\f(b2,aa－c)，∴kBD＝－eq\f(aa－c,b2).∴l(xiāng)BD：y－eq\f(b2,a)＝－eq\f(aa－c,b2)(x－c)，即y＝－eq\f(aa－c,b2)x＋eq\f(aca－c,b2)＋eq\f(b2,a)，lCD：y＋eq\f(b2,a)＝eq\f(aa－c,b2)(x－c)，即y＝eq\f(aa－c,b2)x－eq\f(aca－c,b2)－eq\f(b2,a).∴xD＝c＋eq\f(b4,a2a－c).∴點D到BC的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b4,a2a－c))).∴eq\f(b4,a2c－a)<a＋eq\r(a2＋b2)＝a＋c，∴b4<a2(c2－a2)＝a2b2，∴a2>b2，∴0<eq\f(b2,a2)<1.∴0<eq\f(b,a)<1或－1<eq\f(b,a)<0.【答案】A10．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距為2c，若直線y＝2x與橢圓一個交點的橫坐標恰為c，則橢圓的離心率等于()\f(2－\r(2),2) B．eq\f(2\r(2)－1,2)\r(3)－1 D．eq\r(2)－1【解析】當x＝c時，由eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a).又交點在y＝2x上，所以交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).所以2c＝eq\f(b2,a)＝eq\f(a2－c2,a)＝a－eq\f(c2,a).所以2eq\f(c,a)＝1－eq\f(c2,a2)，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1＋eq\r(2).【答案】D11．(2023·全國卷Ⅰ)已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為eq\f(1,2)，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|＝()【導學號：32550099】A．3 B．6C．9 D．12【解析】根據(jù)已知條件求出橢圓的方程，|AB|＝2|yA|，只需求出|yA|即可．拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，∴橢圓中c＝2，又eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，從而橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.∵拋物線y2＝8x的準線為x＝－2，∴xA＝xB＝－2，將xA＝－2代入橢圓方程可得|yA|＝3，由圖像可知|AB|＝2|yA|＝6.故選B.【答案】B12．探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處．已知燈口的直徑為60cm，燈深40cm，則拋物線的標準方程可能是()A．y2＝eq\f(25,4)x B．y2＝eq\f(45,4)xC．x2＝－eq\f(45,2)y D．x2＝－eq\f(45,4)y【解析】如果設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，則拋物線過點(40,30)，則有302＝2p×40,2p＝eq\f(45,2)，所以所求的拋物線方程應為y2＝eq\f(45,2)x，所給選項中沒有y2＝eq\f(45,2)x，同理若設x2＝－2py，則拋物線過點(30，－40)，求得拋物線方程為x2＝－eq\f(45,2)y.故選C.【答案】C二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．已知點A(－2,0)，B(3,0)，動點P(x，y)滿足eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))＝x2，則點P滿足的方程為________．【解析】eq\o(PA,\s\up12(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up12(→))＝(3－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝x2.即(－2－x)(3－x)＋(－y)(－y)＝x2，即y2＝x＋6.【答案】y2＝x＋614．過拋物線y2＝4x的焦點，作傾斜角為eq\f(3π,4)的直線交拋線于P、Q兩點，O為坐標原點，則△POQ的面積等于________．【解析】設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F(xiàn)為拋物線焦點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x－1，,y2＝4x，))得y2＋4y－4＝0，|y1－y2|＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，S△POQ＝eq\f(1,2)|OF||y1－y2|＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)15．雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，則mn的值為________．【解析】拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，∴雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1的焦點在x軸上．m＞0，n＞0，a＝eq\r(m)，b＝eq\r(n)，∴c＝eq\r(m＋n)＝1，∴e＝eq\r(\f(m＋n,m))＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(3,4)，))∴mn＝eq\f(3,16).【答案】eq\f(3,16)16．(2023·山東高考)平面直角坐標系xOy中，雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x2＝2py(p>0)交于點O，A，B.若△OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為________．【導學號：32550100】【解析】利用三角形垂心的性質建立關于a，b，c的等式求離心率．雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，與拋物線方程聯(lián)立得交點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2pb,a)，\f(2pb2,a2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2pb,a)，\f(2pb2,a2)))，拋物線焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，由三角形垂心的性質，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1，又kBF＝eq\f(\f(p,2)－\f(2pb2,a2),\f(2pb,a))＝eq\f(a,4b)－eq\f(b,a)，kOA＝eq\f(b,a)，所以有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4b)－\f(b,a)))eq\f(b,a)＝－1，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，故C1的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(5,4))＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，短軸的一個端點到右焦點的距離為eq\r(3)，求橢圓C的方程．【解】設橢圓的半焦距為c，依題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,a＝\r(3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,c＝\r(2).))∴b2＝1，∴所求橢圓方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.18．(本小題滿分12分)若雙曲線的一條準線為x＝4，其相應的焦點為(10,0)，離心率為2，求此雙曲線的方程．【解】設P(x，y)是所求雙曲線上的任一點，由雙曲線的第二定義，得eq\f(\r(x－102＋y2),|x－4|)＝2，化簡整理，得eq\f(x－22,16)－eq\f(y2,48)＝1.19．(本小題滿分12分)直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，l與C：(1)相切；(2)相交；(3)相離．【解】將直線l和拋物線C的方程聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1①，,y2＝4x②，))將①代入②，并整理，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0.當k＝0時，x＝eq\f(1,4)，y＝1，得交點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).當k≠0時，方程為一元二次方程，所以Δ＝16(1－k)．(1)當Δ＝0，即k＝1時，l與C相切；(2)當Δ＞0，即k＜1且k≠0時，l與C相交；(3)當Δ＜0，即k＞1時，l與C相離．綜上(1)k＝1時相切；(2)k<1且k＝0時相交；(3)k>1時相離．20．(本小題滿分12分)求以(1，－1)為中點的拋物線y2＝8x的弦所在直線的方程．【解】設弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝8x1，,y\o\al(2,2)＝8x2，)).①②由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)＝1，,\f(y1＋y2,2)＝－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，③,y1＋y2＝－2，④))kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1).⑤由②－①，得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(8,y2＋y1).將④⑤代入上式可得kAB＝－4.∴弦所在直線方程為y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.21．(本小題滿分12分)點A，B分別是橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.(1)求點P的坐標；(2)設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．【解】(1)由已知可得點A(－6,0)，B(6,0)，F(xiàn)(4,0)．設點P的坐標為(x，y)，∵PA⊥PF，∴kAP·kPF＝－1.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,\f(y,x＋6)·\f(y,x－4)＝－1，))則2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－6(舍去)．∴x＝eq\f(3,2)，由于y＞0，故y＝eq\f(5\r(3),2).∴點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5\r(3),2))).(2)易知直線AP的方程是x－eq\r(3)y＋6＝0.設點M的坐標為(m,0)，則點M到直線AP的距離是eq\f(|m＋6|,2).于是eq\f(|m＋6|,2)＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.故點M的坐標為(2,0)．橢圓上