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空間幾何體的結(jié)構(gòu)圖三視圖及直觀圖溫馨提示:請(qǐng)點(diǎn)擊相關(guān)欄目??键c(diǎn)·大整合考向·大突破考題·大攻略多面體①棱柱的側(cè)棱都平行且相等,上下底面是平行且全等的多邊形②棱錐的底面是任意多邊形,側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形③棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到,其上下底面是平行且相似的多邊形旋轉(zhuǎn)體
①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到③圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到,也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到④球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到1.辨明空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
考點(diǎn)
?
大整合基礎(chǔ)整合2.明確直觀圖的基本問題(2)規(guī)則:①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°),z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直.②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段,直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?1)畫法:常用斜二測(cè)畫法.(1)幾何體的三視圖包括正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖,分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.(2)三視圖的畫法①基本要求:長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等.②畫法規(guī)則:正側(cè)一樣高,正俯一樣長(zhǎng),側(cè)俯一樣寬;看不到的線畫虛線.3.明確三視圖的基本問題(1)若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,要注意實(shí)、虛線的畫法.(2)確定正視、側(cè)視、俯視的方向,觀察同一物體方向不同,所畫的三視圖也不同.(3)觀察簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成的,并注意它們的組成方式,特別是它們的交線位置.4.關(guān)注畫三視圖應(yīng)注意的三個(gè)問題例1:下列結(jié)論正確的是(
)A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等,則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線
B錯(cuò)誤.如圖2,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋轉(zhuǎn)軸
不是直角邊所在直線,所得的幾何體都不是圓錐.
C錯(cuò)誤.若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等,則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知,若以正六邊形為底面,側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng).D正確.解析:A錯(cuò)誤.如圖1所示,由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,
各面都是三角形,但它不是棱錐.答案:D
考向大突破一:空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)定義法,即嚴(yán)格按照空間幾何體的有關(guān)定義判斷.(2)反例法,即通過舉反例來說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的.求解空間幾何體概念辨析題的常用方法歸納升華B中對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明,故也不正確.變式訓(xùn)練1下列命題中,正確的是(
)A.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C.側(cè)面都是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體D.底面為正多邊形,且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱解析:認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析,故A,C都不夠準(zhǔn)確,答案:D例2(1)(2013·四川卷)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是(
)解析:(1)由于俯視圖是兩個(gè)圓,所以排除A,B,C,故選D.二、空間幾何體的三視圖(2)(2013·江西九校聯(lián)考)如圖,三棱錐V-ABC的底面為正三角形,側(cè)面VAC與底面垂直且VA=VC,已知其正視圖的面積為
則其側(cè)視圖的面積為(
)三視圖中,正視圖和側(cè)視圖一樣高,正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng),側(cè)視圖和俯視圖一樣寬.即“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等,高平齊”.提醒:畫三視圖時(shí),要注意虛、實(shí)線的區(qū)別.1.三視圖的位置安排
正視圖、側(cè)視圖分別放在左、右兩邊,俯視圖畫在正視圖的下邊.2.三視圖的長(zhǎng)度特征歸納升華(1)(2013·長(zhǎng)春調(diào)研)一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示,則其側(cè)視圖不可能為(
)A.正方形B.圓C.等腰三角形D.直角梯形當(dāng)幾何體是橫放的三棱柱時(shí),C可能;只有D不可能,故選D.解析:(1)當(dāng)幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體,其中一個(gè)側(cè)面為正方形時(shí),A可能;當(dāng)幾何體是橫放的一個(gè)圓柱時(shí),B可能;(2)(2013·陜西檢測(cè))如圖是由若干個(gè)相同的小立方體組成的幾何體的俯視圖,其中小立方體中的數(shù)字表示相應(yīng)位置的小立方體的個(gè)數(shù),則該幾何體的側(cè)視圖為(
)解析(2)由俯視圖知側(cè)視圖從左到右能看到的小立方體個(gè)數(shù)分別為2,3,1,選C.例3:已知平面△ABC的直觀圖A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形,求原△ABC的面積.∵∠D′A′B′=45°,∴A′D′=
由斜二測(cè)畫法的法則知,在△ABC中,AB=A′B′=a,AB邊上的高是A′D′的二倍,解析:如圖所示,△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形,作C′D′∥A′B′交y′軸于點(diǎn)D′,則D′到x′軸的距離為
歸納升華:直觀圖的斜二測(cè)畫法的關(guān)鍵之處在于將圖中的關(guān)鍵點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的水平方向與垂直方向的坐標(biāo)長(zhǎng)度,然后運(yùn)用“水平長(zhǎng)不變,垂直長(zhǎng)減半”的方法確定出點(diǎn),最后連線即得直觀圖.注意被遮擋的部分畫成虛線.
三、空間幾何體的直觀圖變式訓(xùn)練3如圖所示,四邊形A′B′C′D′是一平面圖形的水平放置的斜二測(cè)畫法的直觀圖,在斜二測(cè)直觀圖中,四邊形A′B′C′D′是一直角梯形,A′B′∥C′D′,A′D′⊥C′D′,且B′C′與y′軸平行,若A′B′=6,D′C′=4,A′D′=2.求這個(gè)平面圖形的實(shí)際面積.解析:根據(jù)斜二測(cè)直觀圖畫法規(guī)則可知,該平面圖形是直角梯形,且AB=6,CD=4保持不變.例:將正方體(如圖(1)所示)截去兩個(gè)三棱錐,得到如圖(2)所示的幾何體,則該幾何體的側(cè)視圖為(
)解析:還原正方體后,將D1,D,A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線.D1A的射影為C1B,且為實(shí)線,B1C被遮擋應(yīng)為虛線.答案:B[易錯(cuò)警示]在解答本題時(shí)常出現(xiàn)以下錯(cuò)誤:(1)沒有考慮B1C被遮擋,而誤選D.(2)對(duì)實(shí)線與虛線的畫法規(guī)則不明確而誤選A或C.[學(xué)習(xí)建議]解決三視圖與幾何體間的轉(zhuǎn)化問題,在學(xué)習(xí)時(shí)要注意:(1)側(cè)視圖在正視圖的右側(cè),俯視圖在正視圖的正下方.(2)三視圖的實(shí)虛線
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