高中物理粵教版第三章萬有引力定律及其應用 第3章章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①地心說②日心說③Geq\f(m1m2,r2)④2πeq\r(\f(r3,GM))⑤eq\r(\f(GM,r))⑥eq\r(\f(GM,r3))⑦eq\f(GM,r2)⑧km/s⑨km/s⑩km/s萬有引力與重力的關系1.萬有引力和重力的關系實際上，地面上物體所受的萬有引力F可以分解為物體所受的重力mg和隨地球自轉而做圓周運動的向心力F′.其中F＝Geq\f(Mm,R2)，F(xiàn)′＝mrω2，質量為m的物體在地面上的萬有引力F大小不變，且F?F′.(1)當物體在赤道上時，F(xiàn)、mg、F′三力同向．此時滿足F′＋mg＝F，物體的重力最小，方向指向地心．(2)當物體在兩極點時，F(xiàn)′＝0，F(xiàn)＝mg＝Geq\f(Mm,R2).(3)當物體在地球的其他位置時，三力方向不同，F(xiàn)＞mg，重力略小于萬有引力，重力的方向不指向地心．(4)當忽略地球自轉時，重力等于萬有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2).(5)對于繞地球運行的近地衛(wèi)星，所受的萬有引力可認為等于衛(wèi)星的重力．2．赤道上物體的向心加速度和衛(wèi)星的向心加速度的區(qū)別圖3-1放在赤道地面上的物體隨地球自轉所需的向心力是地球對物體的引力和地面支持力的合力提供的；而環(huán)繞地球運行的衛(wèi)星所需的向心力完全由地球對衛(wèi)星的引力提供(如圖3-1)．兩個向心力的數(shù)值相差很大(如質量為1kg的物體在赤道上隨地球自轉所需的向心力只有N，而它所受地球引力約為N，近地衛(wèi)星上每千克的物體所需的向心力是N)，對應的兩個向心加速度的計算方法也不同，赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度a1＝ω2R＝(eq\f(2π,T))2R，式中T為地球自轉周期，R為地球半徑；衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的向心加速度a2＝GM/r2，式中M為地球質量，r為衛(wèi)星與地心的距離．某星球“一天”的時間是T1＝6h，用彈簧測力計在星球的“赤道”上比在“兩極”處測同一物體的重力時讀數(shù)小10%，設想該星球自轉的角速度加快，使赤道上的物體自動飄起來，這時星球的“一天”是多少小時？【解析】“一天”的含義是指該星球自轉的周期設該物體在星球的“赤道”上時重力為G1，在兩極處的重力為G2.在“赤道”處：Geq\f(Mm,R2)－G1＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R ①在“兩極”處：Geq\f(Mm,R2)＝G2 ②G2－G1＝G2·10% ③由①②③式得Geq\f(Mm,R2)·10%＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R ④赤道上的物體自動飄起來也就是萬有引力全部提供自轉向心力，設星球自轉的周期為T2時，即Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))R ⑤由④⑤兩式可得T2＝eq\f(\r(10),10)T1≈h.【答案】h天體運動的規(guī)律“一”、“二”、“三”分析處理天體運動問題，要抓住“一個模型”、應用“兩個思路”、區(qū)分“三個不同”．1．一個模型無論是自然天體(如行星、月球等)，還是人造天體(如人造衛(wèi)星、空間站等)，只要天體的運動軌跡為圓形，就可將其簡化為質點的勻速圓周運動．2．兩個思路(1)所有做圓周運動的天體，所需的向心力都來自萬有引力．因此，向心力等于萬有引力，據(jù)此所列方程是研究天體運動的基本關系式，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man(2)不考慮地球或天體自轉影響時，物體在地球或天體表面受到的萬有引力約等于物體的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg變形得GM＝gR2，此式通常稱為“黃金代換式”．3．三個不同(1)不同公式中r的含義不同．在萬有引力定律公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(F＝G\f(m1m2,r2)))中，r的含義是兩質點間的距離；在向心力公式(F＝meq\f(v2,r)＝mω2r)中，r的含義是質點運動的軌道半徑．當一個天體繞另一個天體做勻速圓周運動時，兩式中的r相等．(2)運行速度、發(fā)射速度和宇宙速度的含義不同．三種速度的比較，如下表所示比較項概念大小影響因素運行速度衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的速度v＝eq\r(\f(GM,r))軌道半徑r越大，v越小發(fā)射速度在地面上發(fā)射衛(wèi)星的速度大于或等于km/s衛(wèi)星的發(fā)射高度越高，發(fā)射速度越大宇宙速度實現(xiàn)某種效果所需的最小衛(wèi)星發(fā)射速度km/skm/skm/s不同衛(wèi)星發(fā)射要求不同(3)衛(wèi)星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物體隨地球自轉做勻速圓周運動的向心加速度a′的含義不同．①繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的向心加速度a，由Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，其中r為衛(wèi)星的軌道半徑．②若不考慮地球自轉的影響，地球表面的重力加速度為g＝eq\f(GM,R2)，其中R為地球的半徑．③地球表面的物體隨地球自轉做勻速圓周運動的向心加速度a′＝ω2Rcosθ，其中ω、R分別是地球的自轉角速度和半徑，θ是物體所在位置的緯度值．(多選)已知地球質量為M，半徑為R，自轉周期為T，地球同步衛(wèi)星質量為m，引力常量為G，有關同步衛(wèi)星，下列表述正確的是()A．衛(wèi)星距地面的高度為eq\r(3,\f(GMT2,4π2))B．衛(wèi)星的運行速度小于第一宇宙速度C．衛(wèi)星運行時受到的向心力大小為Geq\f(Mm,R2)D．衛(wèi)星運行的向心加速度小于地球表面的重力加速度【解析】對同步衛(wèi)星有萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)，所以h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，A錯誤；第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，B正確；同步衛(wèi)星運動的向心力等于萬有引力，應為F＝eq\f(GMm,R＋h2)，C錯誤；同步衛(wèi)星的向心加速度為a同＝eq\f(GM,R＋h2)，地球表面的重力加速度a表＝eq\f(GM,R2)，知a表>a同，D正確．【答案】BD雙星問題1.雙星眾多的天體中如果有兩顆恒星，它們靠得較近，在萬有引力作用下繞著它們連線上的某一點共同轉動，這樣的兩顆恒星稱為雙星．2．雙星問題特點如圖3-2所示為質量分別是m1和m2的兩顆相距較近的恒星．它們間的距離為L.此雙星問題的特點是：圖3-2(1)兩星的運行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點；(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供；(3)兩星的運動周期、角速度相同；(4)兩星的運動半徑之和等于它們間的距離，即r1＋r2＝L.3．雙星問題的處理方法雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出：(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的運動半徑與其質量成反比．(2)由于ω＝eq\f(2π,T)，r1＋r2＝L，所以兩恒星的質量之和m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2).宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動而不會因萬有引力的作用吸引到一起．(1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質量的反比．(2)設兩者的質量分別為m1和m2，兩者相距L，試寫出它們角速度的表達式．【解析】(1)證明：兩天體繞同一點做勻速圓周運動的角速度ω一定相同．它們做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，所以兩天體與它們的圓心總是在一條直線上．設兩者的圓心為O點，軌道半徑分別為R1和R2，如圖所示．對兩天體，由萬有引力定律可分別列出Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2R1 ①Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2R2 ②所以eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1ω,R2ω)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，即它們的軌道半徑、線速度之比都等于質量的反比．(2)由①②兩式相加得Geq\f(m1＋m2,L2)＝ω2(R1＋R2) ③因為R1＋R2＝L，所以ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3)).【答案】(1)見解析(2)ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))1．關于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實的是()A．開普勒在牛頓定律的基礎上，導出了行星運動的規(guī)律B．開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎上，總結出了行星運動的規(guī)律C．開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因D．開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律【解析】開普勒在前人觀測數(shù)據(jù)的基礎上，總結出了行星運動的規(guī)律，與牛頓定律無聯(lián)系，選項A錯誤，選項B正確；開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，但沒有找出行星按照這些規(guī)律運動的原因，選項C錯誤；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，選項D錯誤．【答案】B2．利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的倍．假設地球的自轉周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，則地球自轉周期的最小值約為()【導學號：35390053】A．1h B．4hC．8h D．16h【解析】萬有引力提供向心力，對同步衛(wèi)星有：eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，整理得GM＝eq\f(4π2r3,T2)當r＝地時，T＝24h若地球的自轉周期變小，軌道半徑最小為2R地三顆同步衛(wèi)星A、B、C如圖所示分布則有eq\f(4π2地3,T2)＝eq\f(4π22R地3,T′2)解得T′≈eq\f(T,6)＝4h，選項B正確．【答案】B3．若在某行星和地球上相對于各自水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶eq\r(7).已知該行星質量約為地球的7倍，地球的半徑為R，由此可知，該行星的半徑約為()\f(1,2)R \f(7,2)RC．2R \f(\r(7),2)R【解析】物體平拋時水平方向滿足x＝v0t，所以eq\f(t1,t2)＝eq\f(x1,x2)＝eq\f(2,\r(7))；豎直方向由h＝eq\f(1,2)gt2得g＝eq\f(2h,t2)，因此eq\f(g1,g2)＝eq\f(t\o\al(2,2),t\o\al(2,1))＝eq\f(7,4).在星球表面物體所受的重力等于萬有引力，由g＝eq\f(GM,R2)得eq\f(R1,R2)＝eq\r(\f(M1g2,M2g1))＝2，又因為R2＝R，所以R1＝2R，故選C.【答案】C4．(多選)如圖3-3所示，兩質量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動能、與地心連線在單位時間內掃過的面積．下列關系式正確的有()圖3-3A．TA＞TB B．EkA＞EkBC．SA＝SB \f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))【解析】已知不同高度處的衛(wèi)星繞地球做圓周運動，RA＞RB.根據(jù)eq\f(R3,T2)＝k知，TA＞TB，選項A、D正確；由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)知，運動速率v＝eq\r(\f(GM,R))，由RA＞RB，得vA＜vB，則EkA＜EkB，選項B錯誤；根據(jù)開普勒第二定律知，同一衛(wèi)星繞地球做圓周運動，與地心連線在單位時間內掃過的面積相等，對于不同衛(wèi)星，SA不一定等于SB，選項C錯誤．【答案】AD5．我國即將發(fā)射“天宮二號”空間實驗室，之后發(fā)射“神舟十一號”飛船與“天宮二號”對接．假設“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是()圖3-4A．使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接B．使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接C．飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接D．飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接【解析】飛船在同一軌道上加速追趕空間實驗室時，速度增大，所需向心力大于萬有引力，飛船將做離心運動，不能實現(xiàn)與空間實驗室的對接，選項A錯誤；同理，空間實驗室在同一軌道上減速等待飛船時，速度減小，所需向心力小于萬有引力，空間實驗室做近心運動，也不能實現(xiàn)對接，選項B錯誤；當飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上加速時，飛船做離心運動，逐漸靠近空間實驗室，可實現(xiàn)對接，選項C正確；當飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上減速時，飛船將做近心運動，遠離空間實驗室，不能實現(xiàn)對接，選項D錯誤．【答案】C我還有這些不足：(1)