高中數(shù)學(xué)北師大版第一章數(shù)列等差數(shù)列 2023版第1章數(shù)列的概念

§1數(shù)列1．1數(shù)列的概念1．了解數(shù)列通項(xiàng)公式的概念．2．能根據(jù)通項(xiàng)公式確定數(shù)列的某一項(xiàng)．(重點(diǎn))3．能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(重、難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1數(shù)列的基本概念閱讀教材P3～P4，完成下列問(wèn)題．1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念數(shù)列按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)首項(xiàng)數(shù)列的第1項(xiàng)常稱為首項(xiàng)通項(xiàng)數(shù)列中的第n項(xiàng)an叫數(shù)列的通項(xiàng)2.數(shù)列的表示(1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；(2)字母表示：上面數(shù)列也記為{an}．3．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義舉例按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,4，…，n無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列1,4,9，…，n2，…判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)1,2，－2,5，－3可以構(gòu)成數(shù)列．()(2)1,2,3,4,5,6,7是無(wú)窮數(shù)列．()(3)數(shù)列中的項(xiàng)不能相等．()【解析】(1)由數(shù)列的概念知該列數(shù)可以構(gòu)成數(shù)列．(2)是有窮數(shù)列，要表示無(wú)窮數(shù)列，應(yīng)把“…”放在“7”(3)由數(shù)列的概念知，數(shù)列中的項(xiàng)可以相等．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2通項(xiàng)公式閱讀教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成an＝f(n)，那么這個(gè)式子就叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．2．?dāng)?shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集N＋(或它的有限子集)的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列．(1)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2＋2n＋1，則數(shù)列中的第4項(xiàng)為_(kāi)_______．(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，則an＋1＝________.【解析】(1)當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝3×42＋2×4＋1＝57.【答案】57(2)an＋1＝2(n＋1)－1＝2n＋1.【答案】2n＋1[小組合作型]數(shù)列的概念下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無(wú)窮數(shù)列？(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；(3)所有無(wú)理數(shù)；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念逐一判斷．【嘗試解答】(1)是集合，不是數(shù)列．(3)不能構(gòu)成數(shù)列，因?yàn)闊o(wú)法把所有的無(wú)理數(shù)按一定順序排列起來(lái)．(2)(4)(5)是數(shù)列，其中(4)是無(wú)窮數(shù)列，(2)(5)是有窮數(shù)列．解決此類問(wèn)題的方法是根據(jù)數(shù)列的定義及所含項(xiàng)數(shù)的多少與項(xiàng)的變化情況確定．[再練一題]1．下列說(shuō)法正確的是()A．1,2,3,4，…，n是無(wú)窮數(shù)列B．?dāng)?shù)列3,5,7與數(shù)列7,5,3是相同數(shù)列C．同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中不能重復(fù)出現(xiàn)D．?dāng)?shù)列{2n＋1}的第6項(xiàng)是13【解析】A錯(cuò)誤，數(shù)列1,2，…，n，共n項(xiàng)，是有窮數(shù)列．B錯(cuò)誤，數(shù)列是有序的．C錯(cuò)誤，數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)．D正確，當(dāng)n＝6時(shí)，2×6＋1＝13.【答案】D根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)，3eq\r(3)，…；(2),,,9，…；(3)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，…；(4)2，－eq\f(4,5)，eq\f(1,2)，－eq\f(4,11)，….【精彩點(diǎn)撥】分析各數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系規(guī)律，根據(jù)各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，歸納出一般性的結(jié)論，然后通過(guò)驗(yàn)算，得出正確的答案．【嘗試解答】(1)數(shù)列可化為eq\r(3)，eq\r(9)，eq\r(15)，eq\r(21)，eq\r(27)，…，即eq\r(3×1)，eq\r(3×3)，eq\r(3×5)，eq\r(3×7)，eq\r(3×9)，….每個(gè)根號(hào)里面可分解成兩個(gè)數(shù)之積，前一個(gè)因數(shù)為常數(shù)3，后一個(gè)因數(shù)為2n－1，故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\r(32n－1)＝eq\r(6n－3).(2)原數(shù)列可變形為1－eq\f(1,10)，1－eq\f(1,102)，1－eq\f(1,103)，1－eq\f(1,104)，…，故所給數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝1－eq\f(1,10n).(3)這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，eq\f(29,32)，….分別考慮分子、分母，且(－1)n具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n).(4)使各項(xiàng)分子都為4，變?yōu)閑q\f(4,2)，－eq\f(4,5)，eq\f(4,8)，－eq\f(4,11)，….再給分母分別加1，又變?yōu)閑q\f(4,3)，－eq\f(4,6)，eq\f(4,9)，－eq\f(4,12)，….所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1·eq\f(4,3n－1).用觀察歸納法寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律，具體可參考以下幾個(gè)思路：(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等．(2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的關(guān)系．(3)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再以(－1)k處理符號(hào)．(4)對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等．[再練一題]2．寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：【導(dǎo)學(xué)號(hào)：47172000】(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)eq\f(22－1,2)，eq\f(32－1,3)，eq\f(42－1,4)，eq\f(52－1,5)；(3)eq\f(3,2)，1，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，….【解】(1)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9，…是連續(xù)的正奇數(shù)，且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，考慮(－1)n＋1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是序號(hào)加上1，分子都是分母的平方減去1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝eq\f(n＋12－1,n＋1)＝eq\f(n2＋2n,n＋1).(3)將數(shù)列統(tǒng)一為eq\f(3,2)，eq\f(5,5)，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，…對(duì)于分子3,5,7,9，…，是序號(hào)的2倍加1，可得分子的通項(xiàng)公式為bn＝2n＋1；對(duì)于分母2,5,10,17，…聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，…即數(shù)列{n2}，可得分母的通項(xiàng)公式為cn＝n2＋1，所以它的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(2n＋1,n2＋1).[探究共研型]通項(xiàng)公式的應(yīng)用探究1觀察數(shù)列1，eq\f(1,3)，eq\f(1,5)，eq\f(1,7)，…中的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)存在怎樣的關(guān)系？eq\f(1,24)是該數(shù)列中的項(xiàng)嗎？【提示】an＝eq\f(1,2n－1)，令eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1,24)，解得n＝eq\f(25,2)不是整數(shù)，故eq\f(1,24)不是該數(shù)列中的項(xiàng)．探究2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1·(2n＋1)，你能求出a7的值嗎？a7與an有什么關(guān)系？a7的值是多少？【提示】可以求出a7的值，a7是an中n取7時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)．a(chǎn)7＝(－1)7－1·(2×7＋1)＝15.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(4,n2＋3n).(1)寫(xiě)出數(shù)列第四項(xiàng)及第六項(xiàng)；(2)判斷eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是它的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？【精彩點(diǎn)撥】(1)將n＝4,6代入an即可．(2)若某個(gè)數(shù)是數(shù)列中的項(xiàng)，則通項(xiàng)公式中存在正整數(shù)n使等式成立，否則不成立．【嘗試解答】(1)∵an＝eq\f(4,n2＋3n)，∴a4＝eq\f(4,42＋3×4)＝eq\f(1,7)，a6＝eq\f(4,62＋3×6)＝eq\f(2,27).(2)令eq\f(4,n2＋3n)＝eq\f(1,10)，則n2＋3n－40＝0.解得n＝5或n＝－8，因?yàn)閚∈N＋，故將n＝－8舍去．所以eq\f(1,10)是該數(shù)列的第五項(xiàng)．令eq\f(4,n2＋3n)＝eq\f(16,27)，則4n2＋12n－27＝0，解得n＝eq\f(3,2)或n＝－eq\f(9,2)，又n∈N＋，所以eq\f(16,27)不是此數(shù)列中的項(xiàng)．通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用主要包括以下兩個(gè)方面：(1)由通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的第幾項(xiàng)．就是把n的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，相當(dāng)于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量求函數(shù)值．(2)判斷一個(gè)數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng)．其方法是由an等于這個(gè)數(shù)解出n，根據(jù)n是否為正整數(shù)便可確定這個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)．[再練一題]3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n.(1)寫(xiě)出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；(2)問(wèn)－49是否是該數(shù)列的項(xiàng)？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？68是否是該數(shù)列的項(xiàng)呢？【解】(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝eq\f(7,3)(舍)，所以－49是該數(shù)列的第7項(xiàng)；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝eq\f(34,3)，均不合題意，所以68不是該數(shù)列的項(xiàng).1．下列敘述正確的是()A．?dāng)?shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}B．?dāng)?shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k項(xiàng)是1＋eq\f(1,k)D．?dāng)?shù)列0,2,4,6,8，…，可表示為an＝2n(n∈N＋)【解析】A中{1,3,5,7}為集合不是數(shù)列，B中兩個(gè)數(shù)列相同的條件為：①兩個(gè)數(shù)列各項(xiàng)相同，②各項(xiàng)的排列次序相同，故B中兩個(gè)數(shù)列為不同的數(shù)列，D中an＝2n(n∈N＋)的首項(xiàng)為2不是0.【答案】C2．?dāng)?shù)列－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A．a(chǎn)n＝(－1)n·eq\f(n2＋n,2n＋1)B．a(chǎn)n＝(－1)n·eq\f(n2＋3,2n－1)C．a(chǎn)n＝(－1)n·eq\f(n＋12－1,2n－1)D．a(chǎn)n＝(－1)n·eq\f(nn＋2,2n＋1)【解析】原數(shù)列可變形為－eq\f(3,3)，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…，∴分母應(yīng)為2n＋1，排除B，C，驗(yàn)證知選D.【答案】D3．已知數(shù)列{n(n－2)}，那么下列各數(shù)中是該數(shù)列項(xiàng)的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：47172023】A．1 B．36C．－48 D．－1【解析】分別令n(n－2)＝1,36，－48，－1驗(yàn)證．當(dāng)n(n－2)＝－1時(shí)，n＝1