高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 第四節(jié) 隨機事件的概率

課時作業(yè)(五十八)隨機事件的概率1．(多選)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥的兩個事件是()A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”BD[A中的兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關(guān)系．]2．根據(jù)以往30年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，中秋節(jié)晚上甲地陰天的頻率為，乙地陰天的頻率為，甲乙兩地都陰天的頻率為，則用頻率估計概率，今年中秋節(jié)晚上甲乙兩地都能賞月(即都不陰天)的概率為()A． B．C． D．D[設(shè)事件A＝“甲地陰天”，事件B＝“乙地陰天”，所以P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，則甲乙兩地至少有一地陰天的概率為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝，所以兩地都能賞月的概率為1－P(A∪B)＝.]3．擲一個骰子的試驗，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，若eq\x\to(B)表示B的對立事件，則一次試驗中，事件A∪eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)C[擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果．依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∵eq\x\to(B)表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件，因此事件A與eq\x\to(B)互斥，從而P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]4．已知隨機事件A，B發(fā)生的概率滿足條件P(A∪B)＝eq\f(3,4)，某人猜想事件A∩B發(fā)生，則此人猜測正確的概率為()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．0C[因為事件A∩B與事件A∪B是對立事件，所以事件A∩B發(fā)生的概率為P(A∩B)＝1－P(A∪B)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，則此人猜測正確的概率為eq\f(1,4).]5．(多選)(2023·遼寧葫蘆島期末)中國籃球職業(yè)聯(lián)賽(CBA)中，某男籃運動員在最近幾次參加的比賽中的得分情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法得到的下述結(jié)論中，正確的是()A．P(A)＝ B．P(B)＝C．P(C)＝ D．P(B＋C)＝ABC[由題意可得P(A)＝eq\f(55,100)＝，P(B)＝eq\f(18,100)＝.∵事件A＋B與事件C為對立事件，且事件A，B，C互斥，∴P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝，P(B＋C)＝1－P(A)＝1－＝.故選ABC.]6．口袋內(nèi)裝有一些除顏色不同之外其他均相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是，摸出白球的概率是.若紅球有21個，則黑球有________個．解析：摸到黑球的概率為1－－＝.設(shè)黑球有n個，則eq\f,21)＝eq\f,n)，故n＝15.答案：157．事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，則P(A)＝________．解析：因為事件A，B都不發(fā)生的概率為eq\f(2,5)，所以P(A∪B)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，又因為事件A，B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,5)，因為P(A)＝2P(B)，所以P(A)＝eq\f(2,5)，所以P(A)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)8．(2023·安徽省江淮十校聯(lián)考)一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅玻璃球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個綠玻璃球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個同色玻璃球的概率為________；至少取得一個紅玻璃球的概率為________．解析：由于“取得兩個紅玻璃球”與“取得兩個綠玻璃球”是互斥事件，取得兩個同色玻璃球，只需兩互斥事件有一個發(fā)生即可，因而取得兩個同色玻璃球的概率為P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事件A“至少取得一個紅玻璃球”與事件B“取得兩個綠玻璃球”是對立事件，則至少取得一個紅玻璃球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).答案：eq\f(8,15)；eq\f(14,15)9．某超市有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得．1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C.求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率．解析：(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)因為事件A，B，C兩兩互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).10．某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元．估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．解析：(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝，P(B)＝eq\f(120,1000)＝.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝＋＝.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝，由頻率估計概率得P(C)＝.11．下列結(jié)論正確的是()A．若A，B事件互斥，則P(A)＋P(B)<1B．若A，B事件對立，則P(AB)＝0C．對任意事件A，B，P(AB)<P(A)或P(AB)<P(B)D．對任意事件A，B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)B[互斥事件包含對立事件，所以P(A)＋P(B)≤1，所以A不正確；因為A，B對立，所以A，B不可能同時發(fā)生，故P(AB)＝0，B正確；若A＝B，則P(AB)＝P(A)＝P(B)，所以C不正確；若A，B可能同時發(fā)生，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以D不正確．]12．(多選)甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，則下列說法正確的是()A．甲獲勝的概率為eq\f(1,6)B．甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)C．乙輸?shù)母怕蕿閑q\f(2,3)D．乙不輸?shù)母怕蕿閑q\f(5,6)AD[∵甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，∴甲獲勝的概率為1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，故A正確；甲不輸?shù)母怕蕿?－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故B不正確；乙輸?shù)母怕蕿?－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，故C不正確；乙不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，故D正確．故選AD.]13．某兒童樂園在六一兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8，則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準備參加此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．解析：活動記錄與xy的結(jié)果如表：yxyx123411234224683369124481216顯然，基本事件總數(shù)為16.(1)xy≤3情況有5種，所以小亮獲得玩具的概率＝eq\f(5,16).(2)xy≥8情況有6種，所以獲得水杯的概率＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，所以小亮獲得飲料的概率＝1－eq\f(5,16)－eq\f(3,8)＝eq\f(5,16)<eq\f(3,8)，即小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．14．某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，在購進機器時，可以一次性額外購買幾次維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費用200元，另外實際維修一次還需向維修人員支付小費，小費每次50元．在機器使用期間，如果維修次數(shù)超過購機時購買的維修服務(wù)次數(shù)，則每維修一次需支付維修服務(wù)費用500元，無需支付小費．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時一次性購買幾次維修服務(wù)，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，得統(tǒng)計表：維修次數(shù)89101112頻數(shù)1020303010記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，y表示1臺機器在維修上所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的維修服務(wù)次數(shù)．(1)若n＝10，求y與x的函數(shù)解析式；(2)若要求“維修次數(shù)不大于n”的頻率不小于，求n的最小值；(3)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買10次維修服務(wù)，或每臺都購買11次維修服務(wù)，分別計算這100臺機器在維修上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應(yīng)購買10次還是11次維修服務(wù)？解析：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200×10＋50x，x≤10，,250×10＋500（x－10），x>10.))即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x＋2000，x≤10，,500x－2500，x>10，))x∈N.(2)因為“維修次數(shù)不大于10”的頻率＝eq\f(10＋20＋30,100)＝<，“維修次數(shù)不大于11”的頻率＝eq\f(10＋20＋30＋30,100)＝≥，所以若要求“維修次數(shù)不大于n”的頻率不小于，則n的最小值為11.(3)若每臺都購買10次維修服務(wù)，則有下表：維修次數(shù)x8910