山西省忻州市賈家峁聯(lián)校2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省忻州市賈家峁聯(lián)校2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：A2.四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，它的表面積等于，則球的體積等于（

）A. B. C. D.參考答案：B3.如圖，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=，E是DC的中點(diǎn)，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A．1 B．0 C． D．參考答案：D【解答】解：由等腰梯形的知識(shí)可知cosB＝，設(shè)BP＝x，則CP＝﹣x，∴＝（）?＝＝1?x?（﹣）+（﹣x）?x?（﹣1）＝x2﹣x，∵0≤x≤，∴當(dāng)x＝時(shí)，取得最小值﹣．4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：5.直線l：過(guò)點(diǎn)，若可行域的外接圓的面積為，則實(shí)數(shù)n的值為A．8

B．7 C．6

D．9參考答案：答案：A6.已知集合，集合，若向區(qū)域內(nèi)投一點(diǎn),則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為

A.

B.

C.

D.參考答案：D7.命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為A.所有實(shí)數(shù)的平方都不是正數(shù)B.有的實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)C.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)參考答案：D全稱命題的否定式特稱命題，所以“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為“至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)”選D.8.與命題“若，則”等價(jià)的命題是

（

）A.若，則

B.若，則

C.若，

則 D若，則參考答案：D9.西安某區(qū)選派6名教師（其中4名男、2名女教師）到A、B、C三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)支教，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)2名，且2名女教師不在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)，也不在C鎮(zhèn)，某男教師甲不在A鎮(zhèn)，問(wèn)共有多少選派方法（

）A．24

B．18

C．12

D．9參考答案：B略10.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1

B．0

C．1

D．2參考答案：Ａ二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_______參考答案：（0,1）答案不唯一略12.命題“存在，使”的否定是

。參考答案：答案：對(duì)任意使13.已知函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則參考答案：14.如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=，則線段CD的長(zhǎng)為____________.

參考答案：略15.若6x2+4y2+6xy=1，x，y∈R，則x2﹣y2的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】令x2﹣y2=t，條件式兩邊同乘t，得到關(guān)于的方程，根據(jù)方程有解列不等式得出t的范圍．【解答】解：設(shè)x2﹣y2=t，則6tx2+4ty2+6txy=x2﹣y2，即（6t﹣1）x2+6txy+（4t+1）y2=0，若y=0，則x2=，此時(shí)t=，若y≠0，則（6t﹣1）（）2+6t?+（4t+1）=0有解∴6t﹣1=0或36t2﹣4（6t﹣1）（4t+1）≥0，解得﹣≤t≤，當(dāng)且僅當(dāng)x+3y=0且y2=時(shí)，t取得最大值．故答案為．16.已知x＞1，則函數(shù)y=2x+的最小值為

．參考答案：5考點(diǎn)：基本不等式．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答： 解：∵x＞1，∴函數(shù)y=2x+=2x﹣1++1+1=5，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)．∴函數(shù)y=2x+的最小值為5．故答案為：5．點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．17.若復(fù)數(shù)z=1+2i，其中i是虛數(shù)單位，則=___________.參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)，其中．記，，作函數(shù)，使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，判斷的大小關(guān)系；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，．參考答案：（Ⅰ）解：，

…………2分；

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分因?yàn)?，所以?/p>

………………8分（Ⅲ）證：由于的圖象是連接各點(diǎn)的折線，要證明，只需證明．

…………9分事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，．下面證明．法一：對(duì)任何，………………10分……11分

…………12分所以．…………13分法二：對(duì)任何，當(dāng)時(shí)，；………10分當(dāng)時(shí)，綜上，．

………13分19.（本小題滿分12分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：A1A⊥BC；（Ⅱ）當(dāng)側(cè)棱AA1和底面成45°角時(shí)，求二面角A1—AC—B的余弦值；

參考答案：（Ⅰ）連結(jié)AO，

…1分A1O⊥面ABC，是在面ABC的射影

…3分∵AO⊥BC

…4分∴

A1A⊥BC． ………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A1AO=45°

………7分由底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，可知AO=3…………8分∴A1O=3，AA1=3

………9分過(guò)O作OE⊥AC于E，連結(jié)A1E，則∠A1EO為二面角A1—AC—B的平面角

………10分 ∵OE=，∴tan∠A1EO=

………11分 即二面角A1—AC—B的余弦值為．

………12分略20.如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，AD＝EF＝1．（Ⅰ）設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM∥平面DAF；（Ⅱ）設(shè)平面CBF將幾何體EF-ABCD分割成的兩個(gè)錐體的體積分別為VF-ABCD、VF-CBE，求VF-ABCD：VF-CBE的值．

參考答案：解：（Ⅰ）如圖，設(shè)FD的中點(diǎn)為N，連結(jié)AN，MN．∵M(jìn)為FC的中點(diǎn)，∴MN∥CD，MN＝CD．又AO∥CD，AO＝CD，∴MN∥AO，MN＝AO，∴MNAO為平行四邊形，∴OM∥AN，又OM?平面DAF，AN?平面DAF，∴OM∥平面DAF．………………6分（Ⅱ）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G．∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，∴VF-ABCD＝SABCD·FG＝FG．∵CB⊥平面ABEF，∴VF-CBE＝VC-BEF＝S△BEF·CB＝·EF·FG·CB＝FG．∴VF-ABCD：VF-CBE＝4．……………13分

略21.直棱柱中，底面是直角梯形，,．（Ⅰ）求證：⊥平面；（Ⅱ）在上是否存一點(diǎn)，使得與平面與平面都平行？證明你的結(jié)論．參考答案：證明：（Ⅰ）直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．又∠BAD＝∠ADC＝90°，，∴，∠CAB＝45°，∴，

BC⊥AC．………………5分又，平面BB1C1C，

AC⊥平面BB1C1C．

…7分（Ⅱ）存在點(diǎn)P，P為A1B1的中點(diǎn)．………8分證明：由P為A1B1的中點(diǎn)，有PB1‖AB，且PB1＝AB．…9分又∵DC‖AB，DC＝AB，DC∥PB1，且DC＝PB1，∴DCPB1為平行四邊形，從而CB1∥DP