郭中珍 2.1.2三角形高、中線及角平分線

——2.1.2

三角形的中線、高和角平分線本節(jié)內(nèi)容2.1

三角形

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.1.怎樣的圖形叫做三角形？復(fù)習(xí)回顧

2、小明有兩根長(zhǎng)度分別為6cm，9cm的木條，他想釘一個(gè)三角形的木框,現(xiàn)在有長(zhǎng)度分別為2cm，3cm，8cm，15cm的木條供他選擇，那么他所選的木條長(zhǎng)度應(yīng)為（).A、2cmB、3cmC、8cmD、15cmC3.三角形的邊有哪兩個(gè)性質(zhì)？

三角形任何兩邊的和大于第三邊,三角形任何兩邊的差小于第三邊.應(yīng)用性質(zhì):判斷三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形.復(fù)習(xí)回顧請(qǐng)大家回憶，小學(xué)學(xué)過(guò)三角形的哪些重要線段？你對(duì)它有何認(rèn)識(shí)？說(shuō)一說(shuō)A（水源）BC從前，有個(gè)老農(nóng)家有一塊三角形的水田，有四個(gè)兒子。他臨終時(shí)立下遺囑，說(shuō)要將水田平均分給四個(gè)兒子。點(diǎn)A處是水源，要求每個(gè)兒子的水田都能有水灌溉。聰明的你能否幫助老農(nóng)實(shí)現(xiàn)遺愿呢？考考你新課標(biāo)教學(xué)網(wǎng)（）--海量教學(xué)資源歡迎下載！ABC...把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的頂點(diǎn)A上，再把橡皮筋的另一端從點(diǎn)B沿著B(niǎo)C邊移動(dòng)到點(diǎn)C．.DEFG觀察移動(dòng)過(guò)程中形成的無(wú)數(shù)條線段（AD、AE、AF、AG…）中有沒(méi)有特殊位置的線段？你認(rèn)為有哪些特殊位置?觀察學(xué)習(xí)目標(biāo)1.說(shuō)出三角形的高線,中線,角平分線的定義和三角形的重心定義；會(huì)畫(huà)出任意三角形的高線,中線,角平分線.2.用三角形的高線,中線,角平分線的定義能解釋一些簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理.2.線段中點(diǎn)的定義：3.角平分線的定義：1.垂線的定義：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)。當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線。回顧與思考自研自探

閱讀課本P44的內(nèi)容:1.正確理解三角形的高線,角平分線,中線的定義：2.試用直角三角板畫(huà)出圖中三邊的高.線:3.三角形的重心:你還記得“過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線”嗎?012345678910012345012345畫(huà)法012345678910012345012345012345678910012345012345

過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，你能畫(huà)出它的對(duì)邊的垂線嗎?BAC三角形的高A從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)BC向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足D之間的線段叫做三角形這邊的高，簡(jiǎn)稱三角形的高.如圖,線段AD是BC邊上的高.∴∠BDA=∠CDA=90°三角形高的符號(hào)語(yǔ)言：∵AD是△ABC的高

任意畫(huà)一個(gè)銳角△ABC,和垂足的字母.ABC請(qǐng)你畫(huà)出BC邊上的高.注意!

標(biāo)明

垂直的記號(hào)D三角形的高合作學(xué)習(xí)

(1)用三角尺分別作圖1-13中銳角三角形ABC,直角三角形DEF和鈍角三角形PQR的各邊上的高.ABCDEFPQR

(2)觀察你所作的圖形,比較三個(gè)三角形中三條高的位置,與三角形之間有什么關(guān)系?圖1-13DEFHSNM銳角三角形的三條高

在紙上畫(huà)一個(gè)銳角三角形(1)你能畫(huà)出這個(gè)三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？將你的結(jié)果與同伴進(jìn)行交流銳角三角形的三條高交于同一點(diǎn).O銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部。ABCDEF直角三角形的三條高在紙上畫(huà)一個(gè)直角三角形將你的結(jié)果與同伴進(jìn)行交流.ABC(1)畫(huà)出直角三角形的三條高直角邊BC邊上的高是

;AB直角邊AB邊上的高是

;CB(2)它們有怎樣的位置關(guān)系？直角三角形的三條高交于直角頂點(diǎn).D斜邊AC邊上的高是

;BD●鈍角三角形的三條高在紙上畫(huà)一個(gè)鈍角三角形（1）畫(huà)出鈍角三角形的三條高FE（2）鈍角三角形的三條高交于一點(diǎn)嗎？鈍角三角形的三條高不相交于一點(diǎn)（3）它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎？鈍角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)ABCD高銳角三角形直角三角形鈍角三角形條數(shù)位置

垂足交點(diǎn)圖形

結(jié)論ABCDEFPQR333都在三角形內(nèi)部直角邊上的高分別與另一條直角邊重合，還有一條高在三角形內(nèi)部夾鈍角兩邊上的高在三角形外部，另一條高在內(nèi)部在相應(yīng)頂點(diǎn)的對(duì)邊上①是直角的頂點(diǎn)②在斜邊上①在相應(yīng)頂點(diǎn)的對(duì)邊的延長(zhǎng)線上②在鈍角的對(duì)邊上在三角形內(nèi)部在直角頂點(diǎn)在三角形外部從三角形中的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，叫做三角形這邊的高。頂點(diǎn)和垂足之間的線段三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)2.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形B3、三角形的三條高相交于一點(diǎn)，此一點(diǎn)定在（）

A.三角形的內(nèi)部B.三角形的外部

C.三角形的一條邊上D.不能確定

D1.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC

的高()ADCBABCDABCDABCD(A)(B)(C)(D)D課堂測(cè)試:下列各陰影部分的面積有何關(guān)系？Ｓ乙>Ｓ甲＝Ｓ丙鞏固提高鞏固提高如圖，AB∥DC,CB⊥AB,若AB=6，△ABC的面積為2，求△ABD中AB邊上的高.ADBC解：在△ABC中，∵AB=6，S△ABC=12，BC⊥AB∴S△ABC=三角形的中線在三角形中,連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做這個(gè)三角形這邊的中線.ABCD∵AD是△ABC的中線∴BD=CD=12BC●●三角形的三條中線相交于一點(diǎn),交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部.三角形中線的符號(hào)語(yǔ)言：EFO動(dòng)手試一試任意畫(huà)一個(gè)三角形，然后利用量角器畫(huà)出這個(gè)三角形的三條角平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的三條角平分線會(huì)交于同一點(diǎn)，稱之為三角形的內(nèi)心．三角形的角平分線ABCD∵AD是△ABC的角平分線∴∠BAD

=

∠CAD=１２∠BAC●在三角形中,一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段,叫做三角形的角平分線。●三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部︶︶12動(dòng)手試一試任意畫(huà)一個(gè)三角形，然后利用刻度尺畫(huà)出這個(gè)三角形的三條中線，你有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的三條中線會(huì)交于同一點(diǎn)，稱之為三角形的重心．ACBFEDO∵BE是△ABC的角平分線∴

=

_____

=

_____∴∠ACB=2______=2______∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF∵CF是△ABC的角平分線∠BCF角平分線的符號(hào)語(yǔ)言

三角形的角平分線與角的平分線有什么區(qū)別？思考三角形的角平分線是一條線段,角的平分線是一條射線填一填如圖，AF是ΔABC的角平分線，AE是BC邊上的中線，選擇“＞”“＜”或“=”號(hào)填空：FECBA（1）BE___EC（2）∠CAF___―∠BAC12（3）∠AFB___∠C+∠FAB（4）∠AEC___∠B===＞練一練如圖,在⊿ABC中,∠1=∠2,G為AD中點(diǎn),延長(zhǎng)BG交AC于E,F為AB上一點(diǎn),CF⊥AD于H,判斷下列說(shuō)法那些是正確的,哪些是錯(cuò)誤的?⌒⌒ABCDE12FGH①AD是⊿ABE的角平分線()②BE是⊿ABD邊AD上的中線()③BE是⊿ABC邊AC上的中線()④CH是⊿ACD邊AD上的高()三角形的高、中線與角平分線都是線段×××√練習(xí)拓展AFCDAC3.填空：（1）如圖1，AD，BE，CF是ΔABC的三條中線，則AB=2

,BD=

,AE=

。

（2）如圖2，AD，BE，CF是ΔABC的三條角平分線，則∠1=

,∠3=

,∠ACB=2

。

∠2

∠ABC∠4拓展練習(xí)CEBC∠CAD∠BAC∠AFC4.填空：如圖，在ΔABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高。（1）BE=

=

；（2）∠BAD=

=

；（3）∠AFB=

=

90°拓展練習(xí)5.如圖1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直線AC翻折180°,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′的位置,則線段AC具有性質(zhì)()

A.是邊BB′上的中線B.是邊BB′上的高

C.是∠BAB′的角平分線D.以上三種性質(zhì)合一D拓展練習(xí)6.如圖2所示,D,E分別是△ABC的邊AC,BC的中點(diǎn),則下列說(shuō)法不正確的是()A.DE是△BCD的中線B.BD是△ABC的中線C.AD=DC,BD=EC

D.∠C的對(duì)邊是DEC例1如圖1-14,在△ABC中,AD是△ABC的高,AE是△ABC的角平分線.已知∠BAC=820,∠C=400,求∠DAE的大小.ACBDE圖1-1482°40°舉例例2如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高.

（1）圖中共有幾個(gè)三角形？請(qǐng)分別列舉出來(lái).解（1）圖中有6個(gè)三角形，它們分別是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面積相等？解因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD=DC.因?yàn)锳E是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又從這個(gè)例題中你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?例2如圖1-15,在△ABC中,AE,AD分別是BC邊上中線和高,說(shuō)明△ABE的面積與△AEC的面積相等.ABDEC圖1-15同高等底的兩個(gè)三角形面積相等。三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形。CABD如圖，AD是△BAC的角平分線。已知∠B＝48°，∠C＝63°，求下列各角的度數(shù)：（1）∠BAD；（2）∠ADB例題解：（1）∵AD是△BAC的角平分線∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC∵∠BAC＋∠C＋∠B＝180°（根據(jù)是什么？）∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝180°－63°－48°＝69°∴∠BAD＝34.5°2.

如圖，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中線，

BF是△EBD的角平分線，根據(jù)已知條件填空：ADC90AEABEBFDBE練習(xí)A（水源）BC從前，有個(gè)老農(nóng)家有一塊三角形的水田，有四個(gè)兒子。他臨終時(shí)立下遺囑，說(shuō)要將水田平均分給四個(gè)兒子。點(diǎn)A處是水源，要求每個(gè)兒子的水田都能有水灌溉。聰明的你能否幫助老農(nóng)實(shí)現(xiàn)遺