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文檔簡介
§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(本構(gòu)方程)
§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系
§4-3各向同性材料彈性常數(shù)
2/5/20231本章討論彈性力學(xué)的第三個基本規(guī)律。應(yīng)力、應(yīng)變之關(guān)系,這是變形體力學(xué)研究問題基礎(chǔ)之一。在前面第二、三章分別討論了變形體的平衡規(guī)律和幾何規(guī)律(包括協(xié)調(diào)條件)。
ji,j+fi=
0ij=(ui,j+uj,i)/2第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(本構(gòu)方程)2/5/20232共9個方程,但需確定的未知函數(shù)共15個:ui,ij=ji,ij=ji,ij=ji=fij(kl)
第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(本構(gòu)方程)
還需要根據(jù)材料的物理性質(zhì)來建立應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系:
2/5/20233§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系1.1應(yīng)變能U和應(yīng)變能密度W(比能)
如果彈性體的外力的施加是緩慢進(jìn)行的,物體無動能,物體發(fā)生變形,產(chǎn)生變形能,也無熱能耗散,則根據(jù)能量守恒,外力實功轉(zhuǎn)化成應(yīng)變能貯存在彈性體中。
2/5/20234§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系
外力做實功
A:
A=U
物體的應(yīng)變能U
W:應(yīng)變能密度——單位體積的應(yīng)變能。
2/5/20235§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系1.2應(yīng)變能密度W與材料的本構(gòu)關(guān)系
當(dāng)外載
,緩慢施加過程中,考察外力施加過程中,瞬時外力功增量變化。
x2x1x3oFf2/5/20236§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系在某一時刻t:
產(chǎn)生
應(yīng)變能密度W的表達(dá)式?2/5/20237§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系時刻達(dá)到t+t:位移有增量
應(yīng)變增量
外力功增量
:
2/5/20238§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系:函數(shù)增量
應(yīng)變能增量A中有體積分和面積分,利用柯西公式和散度定理將面積分換成體積分。
2/5/20239§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系代入外力功增量
2/5/202310——W為ij的函數(shù)。
§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系2/5/202311
因為W只取決于彈性體的初始應(yīng)變狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài),與變形過程(加載路線)無關(guān),所以W為它的全微分
§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系2/5/202312比較上面二式,得:
——本構(gòu)關(guān)系(方程)
適用于各種彈性情況(線性、非線性)
§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系2/5/202313由
積分得
——應(yīng)變能密度定義式。
§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系2/5/202314§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)變能密度定義式一些書上寫為ijijijdijdWWij2/5/202315§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系
2.1各向異性材料
在線彈性體應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系,材料均勻和小變形情況,以及當(dāng)ij=0
時
ij=0。用指標(biāo)符號表示:ij=Eijkl
kl
Eijkl共有81個元素(四階張量常數(shù))。
由于
ij
=ji
,kl
=
lk
2/5/202316§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系{}=[c]{}
Eijkl減少為66=36個獨立系數(shù),用矩陣表示本構(gòu)關(guān)系
2.1各向異性材料
2/5/202317§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系{}=[c]{}
2.1各向異性材料
2/5/202318§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系
根據(jù)
,
得
則
[C]為對稱矩陣
[C]=[C]T。
2.1各向異性材料2/5/202319§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.1各向異性材料
*對各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系可見,剪應(yīng)變引起正應(yīng)力,正應(yīng)變也產(chǎn)生剪應(yīng)力。
彈性材料性質(zhì)一般都具有某些對稱性,利用對稱可進(jìn)一步簡化
[C]中系數(shù)。
Eijkl
的獨立系數(shù)為21個——材料為各向異性線彈性材料。
2/5/202320§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.2具有一個彈性對稱面的材料
x2x1x3彈性主軸若物體內(nèi)各點都有這樣一個平面,對此平面對稱方向其彈性性質(zhì)相同,則稱此平面為彈性對稱面,垂直彈性對稱面的方向稱為彈性主軸。
2/5/202321§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系如取彈性對稱面為x1—x2面,
x3為彈性主軸或材料主軸,并取另一坐標(biāo)系x’i
,且x’1=x1,x’2=x2,x’3=-x3。在兩個坐標(biāo)下,彈性關(guān)系保持不變,則[C]中元素減少為13個獨立系數(shù)。
x2x1x3彈性主軸x3’2/5/202322§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系Qi’j
x1
x2 x3
x’1=x1
100
x’2=x2
010
x’3=-x3
00-1
代入
得
2/5/202323§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)變張量具有相同關(guān)系。2/5/202324§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系代入兩組坐標(biāo)系下的彈性方程
{}=[c]{},比較得
2/5/202325§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.3具有三個正交彈性對稱面的材料——正交各向異性材料
木材、增強(qiáng)纖維復(fù)合材料屬此種材料。取x1,x2,
x3為彈性主軸。
[C]中獨立系數(shù)減少為9個:
2/5/202326§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.3具有三個正交彈性對稱面的材料——正交各向異性材料
特點:正應(yīng)變僅引起正應(yīng)力,剪應(yīng)變僅產(chǎn)生剪應(yīng)力。
2/5/202327§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.4橫觀各向同性材料——彈性體對一個軸對稱
若通過物體每一點可作這樣的軸(如x3軸),在此軸成垂直的平面內(nèi),所有射線方向的彈性性質(zhì)都是相同的,稱這個平面為各向同性面,如地層屬于此類。[C]中獨立系數(shù)為5個:
x1x2x3x1’x2’各向同性面2/5/202328§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.4橫觀各向同性材料——彈性體對一個軸對稱2/5/202329§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.5各向同性材料
各個方向彈性性質(zhì)一樣,[C]中僅有2個獨立系數(shù):
2/5/202330§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.5各向同性材料
2/5/202331§4-3各向同性材料彈性常數(shù)3.1本構(gòu)關(guān)系用、G表示
采用指標(biāo)符號表示:
其中——應(yīng)變第一不變量(體積應(yīng)變)
2/5/202332§4-3各向同性材料彈性常數(shù)3.1本構(gòu)關(guān)系用、G表示
或
——應(yīng)力第一不變量;
2/5/202333§4-3各向同性材料彈性常數(shù)3.1本構(gòu)關(guān)系用、G表示
兩個第一不變量關(guān)系
2/5/202334§4-3各向同性材料彈性常數(shù)3.2本構(gòu)關(guān)系用彈性模量E和泊松系數(shù)
表示
令
或
2/5/202335§4-3各向同性材料彈性常數(shù)3.2本構(gòu)關(guān)系用彈性模量E和泊松系數(shù)
表示
則本構(gòu)關(guān)系變?yōu)椴牧狭W(xué)中最初見到的廣義虎克定理的形式:
2/5/202336§4-3各向同性材料彈性常數(shù)
采用指標(biāo)符號表示:
2/5/202337§4-3各向同性材料彈性常數(shù)——體積壓縮模量。
兩個第一不變量關(guān)系
或
2/5/202338§4-3各向同性材料彈性常數(shù)E——拉壓實驗測定,G——扭轉(zhuǎn)測定,——壓縮實驗測定,
K——靜水壓力實驗測定
2/5/202339作業(yè):
1.
證明,對各向同性彈性體,若主應(yīng)力123,則相應(yīng)的主應(yīng)變123。2.將一小物體放在高壓容器內(nèi),在靜水壓力為q=0.5N/mm2作用下,測得體積應(yīng)變?yōu)?0.41
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