專題05數(shù)與形的第一次聯(lián)姻

閱讀與思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的，我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題；反過來，也借助與幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要體現(xiàn)在一下幾個(gè)方面：1．利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；2．利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；3．利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。?．利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問題．例題與求解【例1】已知數(shù)軸上有 A，B兩點(diǎn)，A，B之間的距離為 1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為 3，那么所有滿足條件的點(diǎn) B與原點(diǎn)O的距離之和等于 _____________．（北京市“迎春杯”競賽試題）解題思路：確定A，B在數(shù)軸上的位置，求出 A，B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)．【例2】在數(shù)軸上和有理數(shù) a,b,c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示．有下面四個(gè)結(jié)論：①abc 0，②a b b c a c，③(a b)(b c)(c a) 0，④a 1 bc，其中，正確的結(jié)論有（ ）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：從數(shù)軸上得到 a 1 0 b c 1，再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行逐以一判斷．【例3】如圖所示，已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C所對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b,c都不為0AB的中點(diǎn)．如，且C是果aba2cb2cab2c0，試確定原點(diǎn)O的大致位置．解題思路：從化簡等式入手，而abc是解題的關(guān)鍵．2【例4】 （1）閱讀下面材料：時(shí)，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，點(diǎn)A,B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù) a,b,A,B兩點(diǎn)之間的距離表示為 AB．當(dāng)A,B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|＝|a－b|．（2）回答下列問題：①數(shù)軸上表示 2和5的兩點(diǎn)之間的距離是 _________，數(shù)軸上表示－ 2和－5的兩點(diǎn)之間的距離是______________，數(shù)軸上表示 1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是 ________________；②數(shù)軸上表示 x和－1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是______________，如果|AB|＝2，那么x為_________；③當(dāng)代數(shù)式|x＋1|十|x－2|取最小值時(shí)________，相應(yīng)的 x的取值范圍是 ___________．④求x 1 x 2 x 3 ... x 1997的最小值．（江蘇省南京市中考試題）解題思路：通過觀察圖形，閱讀理解代數(shù)式 a b所表示的意義，來回答所提出的具體問題．【例5】 某城市沿環(huán)形路有五所小學(xué)，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦15，7，11，3，14臺(tái)，現(xiàn)在為使各校電腦臺(tái)數(shù)相等，各調(diào)幾臺(tái)給鄰校，現(xiàn)規(guī)定一小給二小，二小給三小，三小給四小，四小給五小，五小給一小，要使電腦調(diào)動(dòng)臺(tái)數(shù)最小，應(yīng)該做怎樣的安排？（湖北省荊州市競賽試題）解題思路：通過設(shè)未知數(shù)，把調(diào)動(dòng)的電腦臺(tái)數(shù)用相關(guān)代數(shù)式表示出來．解題的關(guān)鍵是怎樣將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求 y x a1 x a2 x an的最小值．【例6】 如圖，A是數(shù)軸上表示－ 30的點(diǎn)，B是數(shù)軸上表示 10的點(diǎn)，C是數(shù)軸上表示 18的點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C

在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的速度是

6個(gè)單位長度

/秒，點(diǎn)B和點(diǎn)

C運(yùn)動(dòng)的速度是3個(gè)單位長度/秒．設(shè)三個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t（秒）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段 AC＝6（單位長度）？（2）t≠5時(shí)，設(shè)線段 OA的中點(diǎn)為 P，線段OB的中點(diǎn)為 M，線段OC的中點(diǎn)為N，求2PM－PN＝2時(shí)的值．（湖北省荊州市競賽試題）解題思路：（1）A,B,C三點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)，分別當(dāng) A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況來分析求解．（2）先將P,M,N三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別寫出來， 因點(diǎn)M始終在點(diǎn)N左側(cè)，則分為“點(diǎn)P在M,N左邊”，“點(diǎn) P在M,N之間”，“點(diǎn) P在M,N右邊”三種情況來求解．能力訓(xùn)練級(jí)1．已知數(shù)軸上表示負(fù)數(shù)有理數(shù)m的點(diǎn)是點(diǎn)M，那么在數(shù)軸上與點(diǎn)M相距m個(gè)單位的點(diǎn)中，與原點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是______________．（江蘇省競賽試題）2．如果數(shù)軸上點(diǎn) A到原點(diǎn)的距離為 3，點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為 5，那么A,B兩點(diǎn)的距離為______________．3．點(diǎn)A,B分別是數(shù)3，1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使線段AB沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)到A'B'的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)3，2則點(diǎn)A'對(duì)應(yīng)的數(shù)是________________，點(diǎn)A移動(dòng)的距離是____________．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4．已知a0，b0且ab0，那么有理數(shù)a,b,a,b的大小關(guān)系是_________________________．（用“＜”號(hào)連接）（北京市“迎春杯”競賽試題）5．在數(shù)軸上任取一條長度為19991的線段，則此線段在數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）．9A．1998B．1999C．2000D．2001（重慶市競賽試題）6．如圖，a,b為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在ab,b2a,ab,ba中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1B．2C．3D．4（“祖沖之”邀請(qǐng)賽試題）7．有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子ababbc化簡結(jié)果為（）．A．2a3bcB．3bcC．bcD．cb8．如圖所示，在數(shù)軸上有六個(gè)，且是（ ）．

AB BC CD DE EF，則與點(diǎn)C所表示的數(shù)最接近的整數(shù)A．－1B．0C．1D．2（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）9．已知a,b,c,d為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：且6a 6b 3c 4d 6，求3a 2d 3b 2a 2b c的值．10．電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn) Ko，第一步從Ko向左挑一個(gè)單位到 K1，第二步由K1向右跳2個(gè)單位到K2，第三步由K2向左跳3個(gè)單位到K3，第四步由K3向右跳4個(gè)單位到K4，?，按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn) K100所表示的數(shù)恰是 19.94．則電子跳蚤的初始位置 Ko點(diǎn)所表示的數(shù)是_________________．11．如圖，已知 A,B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)， A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為－20，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為 100．（1）求過A,B中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)．（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻 P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)另一只電子螞蟻 Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以 4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 C點(diǎn)相遇，求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．（3）若當(dāng)電子螞蟻 P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)另一只電子螞蟻 Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以 4單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 D點(diǎn)相遇，求D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．級(jí)1．有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示：則化簡abb1ac1c的結(jié)果為_____________________．2．電影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墻進(jìn)入“93站臺(tái)”的鏡頭（如示意圖中M站臺(tái)），構(gòu)4思奇妙，給觀眾留下深刻的印象．若A,B站臺(tái)分別位于－2，－1處，AN2NB，則N站臺(tái)用類似電影里的方法稱為“_________________站臺(tái)”（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）3．在數(shù)軸上，若 N點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離是N點(diǎn)與三〇若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離的 4倍，則N點(diǎn)表示的數(shù)是_________________．（河南省競賽試題）4．若a 0,b 0，則使x a x b a b成立的x的取值范圍是__________________．（武漢市選拔賽試題）5．如圖，直線上有三個(gè)不同的點(diǎn) A,B,C，且AB BC，那么，到 A,B,C三點(diǎn)距離的和最小的點(diǎn)為（A．

）．B點(diǎn)外

B．線段

AC

的中點(diǎn)

C．線段

AC

外一點(diǎn)

D．

無窮多個(gè)（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）6．點(diǎn)

A1,A2,A3,

,An

(n為正整數(shù))都在數(shù)軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)

O的左邊，且

A1O

1，點(diǎn)

A2在點(diǎn)

A1的右邊，且

A2A1

2，點(diǎn)

A3在點(diǎn)

A2的左邊，且

A3A2

3，點(diǎn)

A4在點(diǎn)

A3的右邊，且

A4A3

4，

，依照上述規(guī)律，點(diǎn)

A2008,A2009所表示的數(shù)分別為（

） ．A．2008，－2009

B．－2008，2009

C．1004，－1005

D．1004，－1004（福建省泉州市中考試題）7．設(shè)yx1x1，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）．A．y沒有最小值B．只有一個(gè)x使y去最小值C．有限個(gè)x（不止一個(gè)）使y去最小值D．有無窮多個(gè)x使y取最小值（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8．如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩個(gè)點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A,B,C,D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a,b,c,d，且b2a9，那么數(shù)軸的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（）．A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)（“新世紀(jì)杯”廣西初中數(shù)學(xué)競賽試題）9．已知 x 2 1 x 9 y 5 1 y，求x y的最大值和最小值．（江蘇省競賽試題）10．如圖，在環(huán)形運(yùn)輸線路上有 A,B,C,D,E,F六個(gè)倉庫，現(xiàn)有某種貨物的庫存量分別是 50噸、84噸、80噸、70噸、55噸和45噸．要對(duì)各倉庫的存貨進(jìn)行調(diào)整，使得每個(gè)倉庫的存貨量相等，但每個(gè)倉庫只能相相鄰的倉庫調(diào)運(yùn)，并使調(diào)運(yùn)的總量最?。蟾鱾}庫向其他倉庫的調(diào)運(yùn)量．112n1個(gè)點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的整數(shù)是n,(n1),,2,1,0,1,2,,n2,n1,n．為．如圖，數(shù)軸上標(biāo)有了確保從這些點(diǎn)中可以取出2006個(gè)，使任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4．求n的最小值．（“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題）專題05數(shù)與形的第一次聯(lián)姻例112提示：點(diǎn)A表示數(shù)為3或－3，滿足條件的點(diǎn)B共有4個(gè)．例2B提示：由數(shù)軸知a＜－1＜0＜b＜c＜1．∴abc＜0，故①正確；由絕對(duì)值的幾何意義知②正確；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－c）(c－a）＞0，③正確；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正確．例3原點(diǎn)O在線段AC上．例4①3，3，4②|x＋1|1或－3③－1≤x≤2④997002例5如圖，用A，B，C，D，E點(diǎn)順時(shí)針排列依次表示一至五所小學(xué)，且順次向鄰校調(diào)給x1，x2，x3，x4，x5臺(tái)電腦．依題意得：7＋x1－x2＝11＋x2－x3＝3＋x3－x4＝14＋x4－x5＝15＋x5－x1＝10．得x2＝x1－3，x3＝x1－2，x4＝x1－9，x5＝x1－5．本題要求y＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|的最小值，依次代入，可得y＝|x1|＋|x1－3|＋|x1－2|＋|x1－9|＋|x1－5|．由絕對(duì)值幾何意義可知，當(dāng)x1＝3時(shí)，y有最小值12．此時(shí)有x2＝0，x3＝1，x4＝－6，x5＝－2．所以，一小向二小調(diào)出3臺(tái)，三小向四小調(diào)出1臺(tái)，五小向四小調(diào)出6臺(tái)，一小向五小調(diào)出2臺(tái)，這樣調(diào)動(dòng)的電腦總臺(tái)數(shù)最小為12臺(tái)．例6（1）A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，∵線段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14．當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∵線段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18．綜上可知，t為14或18時(shí)，線段AC＝6．（2）當(dāng)點(diǎn)A，B，C三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng) t秒后，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：6t－30，10＋3t，18＋3t．（3）∵P，M，N分別為OA，OB，OC的中點(diǎn)．∴P，M，N三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：6t30，103t，183t．且點(diǎn)M始終在點(diǎn)N左側(cè)．222①若點(diǎn)P在M，N左邊，則PM＝103t－6t30＝20－1．5t，PN＝183t－6t30＝24－1．5t．22222PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2，∴t＝28．3②若點(diǎn)P在M，N之間，則PM＝6t30－103t＝－20＋1．5t，22PN＝183t－6t30＝24－1．5t．222PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2，∴t＝44．3③若點(diǎn)P在M，N右邊，則PM＝6t30－103t＝－20＋1．5t，PN＝6t30－183t＝－24＋1．5t．22222PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2，∴t＝12．但此時(shí)PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情況不成立 ．綜上可知，t＝28或44時(shí)符合題意．3 3級(jí)1．2m 2．2或83.7，19提示：AB的長為12＝5，A對(duì)應(yīng)的數(shù)為3－15＝7，點(diǎn)A移動(dòng)的距離為744222244－（－3）＝19．44．b＜－a＜a＜|b|5．C6．B7．C8．C9．510．－30．06提示：設(shè)K0點(diǎn)表示的有理數(shù)為x，則K1，K2，?，K100點(diǎn)所表示的有理數(shù)分別為x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，?，x－1＋2－3＋4－?－99＋100．由題意得x－1＋2－3＋4－?－99＋100＝19．94．11．（1）M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為20100＝40．（2）相遇時(shí)間為120＝12秒，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100－12264×6＝28．（3）追擊時(shí)間為60秒，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為－260．B級(jí)1．－2

2．

1133．24或

40．

提示：設(shè)

N點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為

x．根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知

|x|＝4|x－30|．對(duì)

x分情況討論得出

x＝24或

x＝40．4.b≤x≤a 5．A 6．C 7．D 8．C9．原式化為|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9．∵|x＋2|＋|1－x|≥3，當(dāng)－2≤x≤1時(shí)等號(hào)成立；|y－5|＋|1＋y|≥6，當(dāng)－1≤y≤5時(shí)等號(hào)成立．∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3．110．調(diào)運(yùn)后各倉庫的存貨量都相等，應(yīng)為6

×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64噸．設(shè)A庫運(yùn)往B庫xB噸，B庫運(yùn)往C庫xC噸，C庫運(yùn)往D庫xD噸，D庫運(yùn)往E庫xE噸，E庫運(yùn)往F庫xF噸，F(xiàn)庫運(yùn)往A庫xA噸，故有:50＋xA－xB＝84＋xB－xC＝80＋xC－xD＝70＋xD－xE＝55＋xE－xF＝45＋xF－xA＝64．所以，xB＝xA－14，xC＝xB＋20＝xA＋6，xD＝xC＋16＝xA＋22，xE＝xD＋6＝xA＋28，xF＝xE－9＝xA＋19．若使調(diào)運(yùn)量最小，則有 y＝|xA|＋|xB|＋|xC|＋|xD|＋