材料力學-劉鴻文 第二章 2-4

1.拉伸與壓縮靜不定問題概念

所有的未知力均能由靜力平衡方程確定的結構稱為靜定結構。

而僅僅用平衡方程不能求得所有的未知力的結構稱為靜不定結構或超靜定結構。靜定結構靜不定結構PP123§2－10拉壓超靜定問題（1）靜力平衡方程——力學——原有基礎2、超靜定問題的解法（2）變形協(xié)調(diào)方程——幾何——靈活思考（3）材料本構方程——物理——構筑橋梁

（4）方程聯(lián)立求解——代數(shù)——綜合把握變形幾何關系（變形協(xié)調(diào)方程）變形內(nèi)力關系（物理方程）補充方程PPA未知力3個；平衡方程只有2個。P例1兩等直桿與三等直桿的受力分析這個問題就是一次靜不定問題。平衡方程:例2求圖示兩端固定等直桿的約束反力PabBAP解：幾何方程:物理方程:代入平衡方程解得:平衡方程:解除約束,以已知方向約束反力代替為得到變形協(xié)調(diào)方程,解除多余約束，分別考慮外力和多余約束反力產(chǎn)生的位移疊加設B為多余約束，此處的實際位移必須為0PBAΔlPBAΔlR解得:設桿的B段有初始間隙δ，求約束反力解：幾何方程:設外力在B處的位移大于初始間隙δB處的實際位移為初始間隙δPBAΔlPBAΔlRPabBAδ物理方程:解得:…例3木制短柱的四角用四個40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應力分別為[]1=160MPa和[]2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa和E2=10GPa；求許可載荷P。幾何方程物理方程及補充方程：解：平衡方程:P1mPN

24N

1PyPy4N1N2250250解平衡方程和補充方程，得:求結構的許可載荷：

方法:角鋼面積由型鋼表查得:A1=3.086cm2P1mP250250P1mP250250超靜定結構的第一個特點：超靜定結構中桿件的內(nèi)力按照桿件的剛度占總剛度的比例分配。即：桿的剛度越大，桿件承受的內(nèi)力越大。例4：圖示懸吊結構ABC梁剛性，各桿EA相同，求各桿內(nèi)力解：1.平衡方程2.幾何方程PACBaal12lN2N1ABCP3.物理方程補充方程與平衡方程聯(lián)立解得:例5：已知：AE桿為剛性桿，CD桿和BF桿的橫截面面積為A，彈性模量為E,求CD桿、BF桿的內(nèi)力。解：(1)平衡方程(2)變形幾何方程(3)補充方程,基本原則：在小變形條件下，C發(fā)生垂直位移到C`點；夾角α不變。PaaABDCaEFlCC'ααPABCENCNBC'(4)物理方程PABCENCNBPaaABDCaEFlCC'ααC'P123解：列平衡方程PA(一次靜不定)找變形協(xié)調(diào)關系（幾何方程）例6：圖示結構，三根桿的材料及橫截面積為試求三桿的軸力。123AA,DL3DL2aa物理方程：補充方程：將物理方程代入幾和方程得補充方程補充方程與平衡方程聯(lián)立求解得P123PA找變形協(xié)調(diào)關系（幾何方程）

這個例題雖然是一個具體問題，但是其求解方法具有一般性，由此可歸納出：求解靜不定問題的一般方法2.根據(jù)結構的約束條件畫變形圖,找變形協(xié)調(diào)關系,列幾何方程;3.由力與變形(或溫度與變形)的物理關系,列物理方程;4.聯(lián)立幾何方程與物理方程建立補充方程;1.畫受力圖,列平衡方程,判斷靜不定次數(shù);5.補充方程與平衡方程聯(lián)立解全部未知力.平衡方程幾何方程物理方程補充方程aaaABCDP1.先解靜不定2PaaaABCD2PPRARD平衡方程幾何方程物理方程聯(lián)立以上4式得:例7：等截面剛桿，已知：橫截面積A=200mm2，P=20kN。許用應力=160MPa，彈性模量E=200GPa。試校核桿的強度。aaaABCD2PPRARD2.校核桿的強度畫桿的軸力圖DyN(kN)26.76.733.3最大軸力相對誤差:結論:桿安全!超靜定結構的第二個特點：§2－11溫度應力和裝配應力1、靜定問題無裝配應力。制造誤差引起的應力稱為裝配應力(misfitsorstressesduetoassembling)。超靜定結構在制造誤差等變形因素的影響下會引起應力。2、靜定問題無溫度應力(Thermalstresses)變化外界因素的影響下會引起應力。一、溫度應力

在超靜定結構中，由于各個桿件的變形受到相互的制約，當溫度改變時，必然要在桿內(nèi)引起附加應力，由于溫度改變而在桿內(nèi)引起的應力稱為溫度應力。

式中：——為材料的線膨脹系數(shù)。

對于無約束的桿件，當溫度變化為時，桿件的變形為：

例8圖例8

圖示結構，桿①、桿②均相同，當桿①溫度升高度時，兩桿的內(nèi)力和應力為多少？

解（一）繪受力圖如圖示（設二桿均受壓）列平衡方程受力圖（二）繪變形幾何關系圖如圖示即

化簡后得

由圖可列出變形幾何關系方程

（三）求解內(nèi)力和應力聯(lián)立（1）、（2）可解得：RARBDLTRBDLR解：1.平衡方程(共線力系)(一次靜不定)2.幾何方程例10：輸熱管道AB長為L，橫截面積A，材料的彈性摸量E，熱膨脹系數(shù)為α，試求：當溫度升高?T(oC)時管內(nèi)的應力。ABLDLTRBDLR3.物理方程4.補充方程補充方程與平衡方程聯(lián)立解得:5.溫度應力兩個概念溫度變形;再次變形2.幾何方程例11：圖示懸吊結構AB梁剛性，各桿EA相同，桿3短求各桿裝配應力aal123ABN1N2N3AB解：1.平衡方程2.幾何方程在加工構件時，由于尺寸上的一些微小誤差，對超靜定結構則會在構件內(nèi)產(chǎn)生應力，這種應力稱為裝配應力。二、裝配應力3.物理方程4.補充方程補充方程與平衡方程聯(lián)立解得:aal123ABN1N2N3AB

例12兩桿EA相同，水平桿為剛性桿。桿②比設計長度l短了，求安裝后兩桿的內(nèi)力和應力。例6圖

解：（一）繪受力圖，列平衡方程，根據(jù)實際情況，桿②在C點安裝后，桿②受拉，桿①受壓，受力圖如圖示。受力圖一根據(jù)平衡條件得：（二）繪變形幾何關系圖如圖示即：

根據(jù)圖可得變形幾何關系方程為變形幾何關系圖一（三）求解內(nèi)力和應力聯(lián)立(a)、(b)可得：

PPPPPP應力集中：理論應力集中系數(shù)彈性力學計算實驗測試（光彈性實驗）§2－12應力集中概念由于結構或功能上的需要，使構件截面尺寸或形狀發(fā)生突變引起的應力急劇增加的現(xiàn)象。對彈性體某一局部區(qū)域的外力系，若用靜力等效的力系來代替；則力的作用點附近區(qū)域的應力分布將有顯著改變，而對略遠處其影響可忽略不計。圣文南(Saint-Venant)原理:如右圖所示，根據(jù)現(xiàn)代力學分析方法（有限元計算方法或光彈性測試方法）的研究結果顯示：由于在桿端外力作用的方式不同，將會對桿端附近處各截面的應力分布產(chǎn)生影響（應力非均勻分布），而對遠離桿端的各個截面，影響甚小或根本沒有影響。

A．σb；B．σe；C．σp；D．σs選擇題：1、危險截面是______所在的截面。A.最大面積；B．最小面積；C．最大應力；D．最大內(nèi)力2、低碳鋼整個拉伸過程中，材料只發(fā)生彈性變形的應力范圍是σ不超過______。B.名義屈服極限σ0.23、沒有明顯屈服平臺的塑性材料，其破壞應力取材料的

。A.比例極限σp4、桿件的剛度是指

。B.桿件的承載能力D.桿件對彈性變形的抵抗能力C.桿件對彎曲變形的抵抗能力C.強度極限σbD.根據(jù)需要確定A.桿件的軟硬程度；CBBD5、用截面法時必須保留桿件______。A.位于截面左邊的部分；B.位于截面右邊的部分；C.位于截面左、右兩邊哪一部分都可以；D.統(tǒng)一的某一部分。D．σs6、低碳鋼整個拉伸過程中，材料______不變化。A．μ；B．E；C．σp；7、由均勻、連續(xù)性假設，可以認為

。A、構件內(nèi)各點應力、內(nèi)力均相等；B、構件內(nèi)各點變形、位移均相等；D、材料的強度在各點都相等E、材料的彈性模量在各點是相同的C、構件內(nèi)的應力、變形和位移可用點坐標的連續(xù)函數(shù)來表示CBC、D、E8、各向同性