平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測

平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7.1最小均方誤差預(yù)測考慮預(yù)測問題首先要確定衡量預(yù)測效果的標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)很自然的思想就是預(yù)測值與真值的均方誤差達(dá)到最小，即設(shè)預(yù)測值與真值的均方誤差我們的工作就是尋找，使上式達(dá)到最小。下面我們證明最小均方誤差預(yù)測就是上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院2第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日條件無偏均方誤差最小預(yù)測

設(shè)隨機(jī)序列，滿足，則如果隨機(jī)變量使得

達(dá)到最小值，則如果隨機(jī)變量使得

達(dá)到最小值，則上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院3第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日因?yàn)榭梢钥醋鳛楫?dāng)前樣本和歷史樣本的函數(shù)，根據(jù)上述結(jié)論，我們得到，當(dāng)時(shí)，使得達(dá)到最小。對(duì)于ARMA模型，下列等式成立：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院4第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日ARMA模型的預(yù)測方差和預(yù)測區(qū)間

如果ARMA模型滿足因果性，則有所以，預(yù)測誤差為上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院5第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日由此，我們可以看到在預(yù)測方差最小的原則下，是當(dāng)前樣本和歷史樣本已知條件下得到的條件最小方差預(yù)測值。其預(yù)測方差只與預(yù)測步長有關(guān)，而與預(yù)測起始點(diǎn)t無關(guān)。當(dāng)預(yù)測步長的值越大時(shí)，預(yù)測值的方差也越大，因此為了預(yù)測精度，ARMA模型的預(yù)測步長不宜過大，也就是說使用ARMA模型進(jìn)行時(shí)間序列分析只適合做短期預(yù)測。上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院6第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日進(jìn)一步地，在正態(tài)分布假定下，有由此可以得到預(yù)測值的95%的置信區(qū)間為或者

上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院7第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7.2對(duì)AR模型的預(yù)測首先考慮AR(1)模型當(dāng)時(shí)，即當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測為當(dāng)，當(dāng)前時(shí)刻為t的步預(yù)測上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院8第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日對(duì)于AR(p)模型當(dāng)時(shí)，當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測為

當(dāng)，當(dāng)前時(shí)刻為t的步預(yù)測上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院9第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7.1

設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列來自AR(2)模型已知，求和以及95%的置信區(qū)間。解：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院10第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日根據(jù)第三章，可以計(jì)算模型的格林函數(shù)為所以的95%的置信區(qū)間為（－1.076，3.236）

的95%的置信區(qū)間為

（－2.296，3.952）上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院11第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7.2

已知某商場月銷售額來自AR(2)模型(單位：萬元/月)2006年第一季度該商場月銷售額分別為：101萬元，96萬元，97.2萬元。求該商場2006年第二季度的月銷售額的95%的置信區(qū)間。上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院12第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日求第二季度的四月、五月、六月的預(yù)測值分別為上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院13第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日計(jì)算模型的格林函數(shù)為四月、五月、六月的月銷售額的95%的置信區(qū)間分別為四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院14第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7.3MA模型的預(yù)測對(duì)于MA(q)模型我們有當(dāng)預(yù)測步長，可以分解為當(dāng)預(yù)測步長，可以分解為上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院15第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日MA(q)模型預(yù)測方差為上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院16第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7.3

已知某地區(qū)每年常住人口數(shù)量近似的服從MA(3)模型（單位：萬人）

2002年—2004年的常住人口數(shù)量及1步預(yù)測數(shù)量見表上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院17年份人口數(shù)量預(yù)測人口數(shù)量200220032004104108105110100109第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日預(yù)測未來5年該地區(qū)常住人口數(shù)量的95%的置信區(qū)間。上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院18第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院19預(yù)測年份95%的置信區(qū)間20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7.4ARMA模型的預(yù)測關(guān)于ARMA模型有

上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院20第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院21第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

例7.4

已知ARMA(1,1)模型為且，預(yù)測未來3期序列值的95%的置信區(qū)間。上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院22第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日首先計(jì)算未來3期預(yù)測值計(jì)算模型的格林函數(shù)為上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院23第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日計(jì)算預(yù)測方差計(jì)算得到未來3期序列值的95%的置信區(qū)間上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院24預(yù)測時(shí)期95%的置信區(qū)間101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7.5預(yù)測值的適時(shí)修正上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院25第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7.2續(xù)

假設(shè)一個(gè)月后已知四月份的真實(shí)銷售額為100萬元，求第二季度后兩個(gè)月銷售額的修正預(yù)測值及95%的置信區(qū)間。因?yàn)楦鶕?jù)上述公式可以計(jì)算五月、六月的修正預(yù)測值如下：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院26第二十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日修正預(yù)測方差為步預(yù)測銷售額的95%的置信區(qū)間上海財(cái)經(jīng)大