全程復(fù)習(xí)課件：31.2.3 直線的一般式方程

3.2.3直線的一般式方程1.理解關(guān)于x,y的二元一次方程與直線之間的關(guān)系.2.明確直線方程一般式的特征,并能將一般式與其他形式的方程進(jìn)行互化.3.能根據(jù)直線的一般式方程進(jìn)行簡單的應(yīng)用(求斜率、截距等).1.直線的一般式方程(1)關(guān)于x,y的二元一次方程，它都表示一條_____.(2)直線的一般式方程__________，其中A,B不同時為__，若A=0，則y=____，它表示一條與____平行或重合的直線；若B=0，則x=____，它表示一條與____平行或重合的直線.直線Ax+By+C=00x軸y軸2.直線方程的互化(1)直線的一般式Ax+By+C=0(B≠0),化為斜截式為____________;化為截距式為______________.(2)點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0),化為一般式為_______________;斜截式y(tǒng)=kx+b,化為一般式為_________;兩點(diǎn)式=,化為一般式為_____________________________________;截距式=1化為一般式為___________.kx-y-(kx0-y0)=0kx-y+b=0(y2-y1)x-(x2-x1)y+(x2-x1)y1-(y2-y1)x1=0bx+ay-ab=01.“判一判”理清知識的疑惑點(diǎn)(正確的打“√”，錯誤的打“×”).(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的直線都可以用關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A與B不同時為0)表示.()(2)任何一條直線的方程都可以轉(zhuǎn)化為一般式.()(3)直線Ax+By+C=0，在x軸上的截距為，在y軸上的截距為.()(4)若直線Ax+By+C=0與兩坐標(biāo)軸都相交，則A≠0或B≠0.()提示：(1)正確.當(dāng)A與B不同時為0時，二元一次方程Ax+By+C=0與平面內(nèi)的直線是一一對應(yīng)的.(2)正確.平面內(nèi)的直線方程都可以寫成一般式.(3)錯誤.當(dāng)A≠0且B≠0時，直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為.(4)錯誤.直線與兩坐標(biāo)軸都相交，則A·B≠0，而不是A≠0或B≠0.答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2.“練一練”嘗試知識的應(yīng)用點(diǎn)(請把正確的答案寫在橫線上).(1)經(jīng)過點(diǎn)(1,2),斜率為的直線的一般式方程為_________.(2)在y軸上的截距為2,且過點(diǎn)(-1,4)的直線的方程為_______.(3)方程2x-3y-1=0在x軸上的截距為____________;在y軸上的截距為_____________.(4)若直線-2x+ay+m=0的斜率為1,則a=___________.【解析】(1)由直線方程的點(diǎn)斜式，得y-2=(x-1)，整理得x+3y-7=0.答案：x+3y-7=0(2)因?yàn)樵趛軸上的截距為2，所以設(shè)直線方程為把點(diǎn)(-1,4)代入,得a=1，所以所求直線的方程為整理得2x+y-2=0.答案：2x+y-2=0(3)令x=0，得y=，令y=0，得x=，所以直線在x軸,y軸上的截距分別為,.答案：(4)因?yàn)橹本€-2x+ay+m=0的斜率為1，所以，所以a=2.答案：2一、直線的一般式方程探究：觀察圖象，思考下列問題：(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的直線，都可以用關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)表示嗎？提示：可以，坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線，都可以用關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)表示.(2)坐標(biāo)平面內(nèi)的直線與關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0是否為一一對應(yīng)關(guān)系？提示：不構(gòu)成一一對應(yīng).坐標(biāo)平面內(nèi)的直線都可以看成關(guān)于x,y的二元一次方程，且方程有無數(shù)個.但一個關(guān)于x,y的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線.(3)對于直線的一般式方程Ax+By+C=0，當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時，A,B滿足什么條件？當(dāng)C=0時，表示怎樣的直線？提示：當(dāng)A=0,B≠0時，直線方程化為表示與y軸垂直的直線；當(dāng)A≠0,B=0時，直線方程化為，表示與x軸垂直的直線；當(dāng)C=0時，方程表示過原點(diǎn)的直線.【探究提升】對直線一般式方程的理解(1)表示形式Ax+By+C=0(A,B不同時為0),是關(guān)于x,y的二元一次方程.(2)A,B不同時為0,分三種情況：①A≠0,B≠0;②A≠0,B=0;③A=0,B≠0.(3)適用范圍：坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線.二、直線方程的互化探究1：已知直線l過點(diǎn)(2,0),(0,3)，思考下列問題：(1)能否寫出直線l的方程的五種形式？提示：能.直線l的斜率點(diǎn)斜式方程y-0=-(x-2)；斜截式方程y=-x+3；兩點(diǎn)式方程截距式方程一般式方程3x+2y-6=0.(2)直線的一般式方程與其他形式比較，有什么優(yōu)點(diǎn)？提示：坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線，都可以用一般式表示，而其他形式都有一定的局限性.探究2：根據(jù)直線的一般式方程Ax+By+C=0，思考下列問題：(1)已知直線的一般式方程Ax+By+C=0，如何求直線的斜率？提示：若B≠0，直線方程可化為故直線的斜率為若B=0，則直線的斜率不存在.(2)直線Ax+By+C=0，在x軸,y軸上的截距是多少？提示：當(dāng)A,B,C均不為0時，一般式方程Ax+By+C=0可化為此時在x軸,y軸上的截距分別為當(dāng)A=0,B,C均不為0時，直線平行于x軸，此時在y軸上的截距為；當(dāng)B=0,A,C均不為0時，直線平行于y軸，此時在x軸上的截距為【探究提升】1.五種直線方程的常數(shù)的意義與適用范圍名稱方程的形式常數(shù)的意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直線上的定點(diǎn),k是斜率不垂直于x軸斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率,b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸名稱方程的形式常數(shù)的意義適用范圍兩點(diǎn)式(x1,y1),(x2,y2)是直線上兩定點(diǎn)不垂直于坐標(biāo)軸截距式a,b分別是直線在x軸,y軸上的截距不垂直于坐標(biāo)軸,且不過原點(diǎn)一般式Ax+By+C=0A,B,C為系數(shù)任何位置的直線2.直線方程的五種形式的兩點(diǎn)說明(1)點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式均能直接化成一般式.(2)各種形式互化的實(shí)質(zhì)是方程的同解變形.類型一直線的一般式方程嘗試解答下列題目,理解直線方程的一般式,并能夠利用直線的一般式方程解決有關(guān)問題.1.過點(diǎn)(2,-1)和(3,2)的直線的一般式方程為

.2.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+1=0表示直線,求實(shí)數(shù)m的范圍.【解題指南】1.根據(jù)直線方程的兩點(diǎn)式,寫出直線的兩點(diǎn)式方程,再化為一般式方程;或者設(shè)出直線方程的一般式,得出有關(guān)參數(shù)的方程組,從而得出直線的一般式方程.2.根據(jù)直線方程的一般式的條件求解.【解析】1.方法一：由直線方程的兩點(diǎn)式，可得直線的方程為整理得3x-y-7=0.方法二：設(shè)所求直線的方程為x+my+n=0，把點(diǎn)(2,-1),(3,2)代入,得解得所以所求直線的方程為整理得3x-y-7=0.答案：3x-y-7=02.由解得m=2,因?yàn)榉匠?m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+1=0表示直線,所以(m2-3m+2)與(m-2)不同時為0，即m≠2.【技法點(diǎn)撥】直線的一般式方程的求法(1)利用題目條件求出直線的其他形式，再化為一般式.(2)設(shè)直線的一般式方程，若A≠0，則方程可設(shè)為只需確定若B≠0，則方程可設(shè)為只需確定【變式訓(xùn)練】求滿足下列條件的直線的一般式方程.(1)斜率為4，在y軸上的截距為-2.(2)斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)A(5，3).【解析】(1)由直線方程的斜截式，可得所求直線的方程為y=4x-2，即4x-y-2=0；(2)由直線方程的點(diǎn)斜式，可得所求直線的方程為y-3=(x-5)，即x-y+3-5=0.類型二直線方程的互化嘗試解答下列題目，掌握直線方程的五種形式即各自的適用范圍，并能夠根據(jù)直線方程之間的聯(lián)系解決有關(guān)問題.1.在x軸,y軸上的截距分別為2,-3的直線的一般式方程為()A.3x+2y-6=0B.3x-2y-6=0C.3x+2y+6=0D.3x-2y+6=02.設(shè)直線l的方程(m2-2m-3)x+(2m2+m+1)y-2m+6=0，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)l在x軸上的截距為-3.(2)l的斜率為1.【解題指南】1.根據(jù)截距式寫出直線的方程，再化成一般式.2.(1)令y=0得出l在x軸上的截距.(2)把直線方程的一般式化成斜截式，根據(jù)題中的條件得出關(guān)于m的方程，從而求出m的值.【解析】1.選B.由直線方程的截距式，可知所求直線的方程為整理得3x-2y-6=0.2.(1)令y=0，得所以=-3，解得m1=-,m2=3(舍去)，故當(dāng)m=-時，l在x軸上的截距為-3.(2)直線l的方程可化為所以解得m1=-,m2=1，故當(dāng)m=-或1時，直線l的斜率為1.【互動探究】把題2(1)“l(fā)在x軸上的截距為-3”改為“l(fā)在y軸上的截距為-3”，求m的值.【解析】令x=0，得所以解得故當(dāng)時，l在y軸上的截距為-3.【技法點(diǎn)撥】直線方程互化的兩點(diǎn)說明(1)直線的一般式可以表示任何直線，但特征不明顯，解決問題時，把直線的一般式化成其他形式.(2)求直線的一般式方程，通常根據(jù)題中的條件求出對應(yīng)形式的方程，再化為一般式.類型三直線一般式方程的應(yīng)用嘗試解答下列題目,體會用直線的一般式解決直線位置關(guān)系的過程,歸納總結(jié)用一般式解決有關(guān)問題的方法.1.已知點(diǎn)A(2,2)與直線l：3x+4y-20=0,(1)過點(diǎn)A且與直線l平行的直線的方程為

.(2)過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線的方程為

.2.已知直線l的方程為(m+1)x+y+2-m=0(m∈R),若直線l不經(jīng)過第二象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題指南】1.根據(jù)兩直線平行與垂直時方程系數(shù)之間的關(guān)系設(shè)出含參數(shù)的直線方程,由題意得出參數(shù)的值,從而得出所求直線的方程.2.利用直線的斜率與截距的范圍,得出關(guān)于m的不等式組求解.【解析】1.(1)設(shè)所求直線的方程為3x+4y+c=0,因?yàn)辄c(diǎn)A(2,2)在直線上,所以3×2+4×2+c=0,所以c=-14,所以所求直線的方程為3x+4y-14=0.(2)設(shè)所求直線的方程為4x-3y+n=0,因?yàn)辄c(diǎn)A(2,2)在直線上,所以4×2-3×2+n=0,所以n=-2,所以所求直線的方程為4x-3y-2=0.答案：(1)3x+4y-14=0

(2)4x-3y-2=02.把直線方程(m+1)x+y+2-m=0化為y=-(m+1)x+m-2，因?yàn)橹本€l不經(jīng)過第二象限，所以【技法點(diǎn)撥】與已知直線平行和垂直的直線的求法(1)當(dāng)直線l1,l2平行時,若l1：Ax+By+C1=0,根據(jù)平行的等價條件,可設(shè)直線l2：Ax+By+C2=0,且C1≠C2.(2)當(dāng)直線l1,l2垂直時,若l1：Ax+By+C1=0,根據(jù)垂直的等價條件,可設(shè)直線l2：Bx-Ay+C2=0.提醒：在解決有關(guān)直線平行與垂直的問題時,注意直線的斜率存在條件的討論.【變式訓(xùn)練】已知直線l1：(a+2)x+(1-a)y-3=0與l2：(a-1)x+(3+2a)y+2=0,求下列情況下a的值.(1)直線l1,l2平行.(2)直線l1,l2垂直.【解析】(1)由l1∥l2得(a+2)·(3+2a)-(a-1)(1-a)=0,整理得3a2+5a+7=0,無解.(2)由l1⊥l2得(a+2)(a-1)+(1-a)·(3+2a)=0,解得a=±1.【拓展延伸】利用一般式直線方程判斷直線位置關(guān)系的方法若直線l1：A1x+B1y+C1=0l2：A2x+B2y+C2=0則：(1)當(dāng)A1B2-A2B1≠0時,l1與l2相交.(2)當(dāng)A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0時,l1∥l2.(3)當(dāng)A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0時,l1與l2重合.(4)特別地,當(dāng)A1A2+B1B2=0時,l1⊥l2.【拓展類型】定點(diǎn)直線系

嘗試解答下列問題,體會定點(diǎn)直線系的用法,并能夠利用定點(diǎn)直線系的有關(guān)結(jié)論解決有關(guān)問題.1.若直線mx-y+(2m+1)=0恒過一定點(diǎn),則此定點(diǎn)是(

)A.(-2,1)B.(2,1)C.(1,-2)D.(1,2)2.求證：直線l：(k+1)x-y-2k-1=0恒過第一象限.【解題指南】1.利用直線的點(diǎn)斜式方程,求出直線恒過的定點(diǎn).2.利用直線恒經(jīng)過的定點(diǎn)證明結(jié)論.【解析】1.選A.把直線mx-y+(2m+1)=0,化為點(diǎn)斜式得y-1=m(x+2),所以直線過點(diǎn)(-2,1).2.方法一：直線l：(k+1)x-y-2k-1=0,化為點(diǎn)斜式得y-1=(k+1)(x-2),可知直線恒過點(diǎn)(2,1).而點(diǎn)(2,1)在第一象限,所以直線l恒過第一象限.方法二：把直線轉(zhuǎn)化為斜截式,得y=(k+1)x-(2k+1),①若k+1>0,則直線過第一象限;②若k+1=0,則k=-1,此時,直線的方程為y=1,過第一象限;③若k+1<0,則k<-1,-(2k+1)>1,即直線與y軸交于正半軸,所以直線過第一象限.綜上可知直線恒過第一象限.【技法點(diǎn)撥】證明直線過定點(diǎn)的方法(1)把直線的方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式,從而得出直線恒過的定點(diǎn).(2)將直線方程變形,把x,y看作參數(shù)的系數(shù),利用此式對任意實(shí)數(shù)都成立,故需系數(shù)為0,解方程組可得x,y的值,即得直線過的定點(diǎn).1.經(jīng)過點(diǎn)A(-4,7),且傾斜角為45°的直線的一般式方程為

(

)A.x-y-11=0B.x+y-11=0C.x-y+11=0D.x+y+11=0【解析】選C.因?yàn)橹本€傾斜角為45°,所以直線的斜率k=1,所以直線的點(diǎn)斜式方程為y-7=x-(-4),整理得x-y+11=0.2.直線3x+y+6=0的斜率為k,在y軸上的截距為b,則(

)A.k=3,b=6B.k=-3,b=-6C.k=-3,b=6D.k=3