高中數(shù)學(xué)人教A版第三章概率 學(xué)業(yè)分層測評17

學(xué)業(yè)分層測評(十七)概率的基本性質(zhì)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1．若A、B是互斥事件，則()A．P(A∪B)＜1 B．P(A∪B)＝1C．P(A∪B)＞1 D．P(A∪B)≤1【解析】∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1.(當(dāng)A、B對立時，P(A∪B)＝1)【答案】D2．對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一炮彈擊中飛機}，D＝{至少有一炮彈擊中飛機}，下列關(guān)系不正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D【解析】“恰有一炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一炮彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一炮彈擊中，一種是兩炮彈都擊中，∴A∪B≠B∪D.【答案】D3．從1，2，3，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述事件中，是對立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③【解析】從1～9中任取兩數(shù)，有以下三種情況：(1)兩個均為奇數(shù)；(2)兩個均為偶數(shù)；(3)一個奇數(shù)和一個偶數(shù)，故選C.【答案】C4．某城市2023年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時，空氣質(zhì)量為輕微污染．該城市2023年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為()\f(3,5) B．eq\f(1,180)\f(1,19) D．eq\f(5,9)【解析】所求概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).故選A.【答案】A5．對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進行抽樣檢測，如圖3-1-2為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20，25)上的為一等品，在區(qū)間[15，20)和區(qū)間[25，30)上的為二等品，在區(qū)間[10，15)和[30，35)上的為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取一件，則其為二等品的概率為()圖3-1-2A． B．C． D．【解析】由題圖可知抽得一等品的概率為，抽得三等品的概率為，則抽得二等品的概率為1－－＝.【答案】D二、填空題6．在擲骰子的游戲中，向上的數(shù)字為5或6的概率為________．【解析】記事件A為“向上的數(shù)字為5”，事件B為“向上的數(shù)字為6”，則A與B互斥．所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)×2＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)7．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．【解析】連續(xù)射擊兩次有以下四種情況：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，兩次都中和兩次都不中．故“至少一次中靶”的互斥事件為“兩次都不中靶”．【答案】“兩次都不中靶”8．同時拋擲兩枚骰子，既不出現(xiàn)5點也不出現(xiàn)6點的概率為eq\f(4,9)，則5點或6點至少出現(xiàn)一個的概率是________．【解析】記既沒有5點也沒有6點的事件為A，則P(A)＝eq\f(4,9)，5點或6點至少出現(xiàn)一個的事件為B.因為A∩B＝?，A∪B為必然事件，所以A與B是對立事件，則P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).故5點或6點至少出現(xiàn)一個的概率為eq\f(5,9).【答案】eq\f(5,9)三、解答題9．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點，2點，3點，4點，5點，6點的概率均為eq\f(1,6)，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B為“向上的數(shù)不超過3”，求P(A∪B)．【解】記事件“出現(xiàn)1點”，“出現(xiàn)2點”，“出現(xiàn)3點”，“出現(xiàn)5點”分別為A1，A2，A3，A4.這四個事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).10．在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分以上的概率是，在80分～89分的概率是，在70分～79分的概率是，在60分～69分的概率是，在60分以下的概率是，計算：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概率；(2)小明考試及格的概率.【導(dǎo)學(xué)號：28750055】【解】記小明的成績“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”為事件A，B，C，D，這四個事件彼此互斥．(1)小明成績在80分以上的概率是：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.(2)小明及格的概率是：P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.∴小明及格的概率為.[能力提升]1．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么，互斥而不對立的事件是()A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．至少有一個紅球與至少有一個白球D．恰有一個紅球與恰有兩個紅球【解析】A項中，若取出的3個球是3個紅球，則這兩個事件同時發(fā)生，故它們不是互斥事件，所以A項不符合題意；B項中，這兩個事件不能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，則它們是互斥事件且是對立事件，所以B項不符合題意；C項中，若取出的3個球是1個紅球2個白球時，它們同時發(fā)生，則它們不是互斥事件，所以C項不符合題意；D項中，這兩個事件不能同時發(fā)生，是互斥事件，若取出的3個球都是紅球，則它們都沒有發(fā)生，故它們不是對立事件，所以D項符合題意．【答案】D2．(2023·北京西城質(zhì)檢)如圖3-1-3所示莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為()圖3-1-3\f(2,5) B．eq\f(7,10)\f(4,5) D．eq\f(9,10)【解析】記其中被污損的數(shù)字為x，依題意得甲的五次綜合測評的平均成績是eq\f(1,5)(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次綜合測評的平均成績是eq\f(1,5)(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq\f(1,5)(442＋x)，令90＞eq\f(1,5)(442＋x)，解得x＜8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).【答案】C3．一個口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出一個球，摸出紅球或白球的概率為，摸出紅球或黑球的概率為，那么摸出紅球的概率為________．【解析】由題意知A＝“摸出紅球或白球”與B＝“摸出黑球”是對立事件，又P(A)＝，∴P(B)＝1－P(A)＝，又C＝“摸出紅球或黑球”與D＝“摸出白球”也是對立事件，∵P(C)＝，∴P(D)＝.設(shè)事件E＝“摸出紅球”，則P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－－＝.【答案】4．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率是eq\f(5,12)，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？【解】從袋中任取一球，記事件“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A、B、C、D，則有：P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)；P(C∪D)＝P(C)＋P(