云南省昭通市鹽津縣一中2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析_第1頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱 D.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱2.已知復(fù)數(shù)z滿足(其中i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的虛部是()A. B.1 C. D.i3.羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成.某班級(jí)從名男生,,和名女生,,中各隨機(jī)選出兩名,把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽,則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為()A. B. C. D.4.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.5.若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個(gè)交點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.337.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個(gè)面中,最大面積為()A. B. C. D.8.a(chǎn)為正實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A.2 B. C. D.19.已知向量,,且,則()A. B. C.1 D.210.已知函數(shù),則下列判斷錯(cuò)誤的是()A.的最小正周期為 B.的值域?yàn)镃.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱11.定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”,對(duì)任意,滿足下列運(yùn)算性質(zhì):①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.12.如果直線與圓相交,則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是()A.點(diǎn)M在圓C上 B.點(diǎn)M在圓C外C.點(diǎn)M在圓C內(nèi) D.上述三種情況都有可能二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為_(kāi)_______.14.三對(duì)父子去參加親子活動(dòng),坐在如圖所示的6個(gè)位置上,有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法有________種(比如:B與D、B與C是相鄰的,A與D、C與D是不相鄰的).15.如圖,是圓的直徑,弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證:16.割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法,由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立,他用圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積,從而得出圓周率.現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,時(shí),在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)若,,,求證:當(dāng)時(shí),.18.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面為菱形,.(1)求證:平面;(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知橢圓的上頂點(diǎn)為,圓與軸的正半軸交于點(diǎn),與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在軸上,(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求橢圓的方程;(2)已知點(diǎn),不過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),證明:直線與直線的斜率互為相反數(shù).21.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積22.(10分)已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)實(shí)數(shù)為的最小值,若實(shí)數(shù),,滿足,求的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

依題意可得,即函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;【詳解】解:由,,所以函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,又,在上不單調(diào).故正確的只有C,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性的判定,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】

由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)可得,則答案可求.【詳解】解:∵,∴,,則化為,∴z的虛部為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】

根據(jù)組合知識(shí),計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為,然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為,最后簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:分別從3名男生、3名女生中選2人:將選中2名女生平均分為兩組:將選中2名男生平均分為兩組:則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為:和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,對(duì)平均分組的問(wèn)題要掌握公式,比如:平均分成組,則要除以,即,審清題意,細(xì)心計(jì)算,考驗(yàn)分析能力,屬中檔題.4.D【解析】

求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,則=2,化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率,動(dòng)點(diǎn)軌跡,屬于中檔題.5.C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程,可得圓心到漸近線的距離,由點(diǎn)到直線的距離公式可得的范圍,再由離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍.【詳解】雙曲線的一條漸近線為,即,由題意知,直線與圓相切或相離,則,解得,因此,雙曲線的離心率.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.6.C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí),,n=2時(shí),,n=3時(shí),,n=4時(shí),,n=5時(shí),.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7.B【解析】

由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)闉榈冗吶切?,所?所以該三棱錐的四個(gè)面中,最大面積為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.8.B【解析】

,選B.9.A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程,解方程求得的值.【詳解】由于向量,,且,所以解得.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】

先將函數(shù)化為,再由三角函數(shù)的性質(zhì),逐項(xiàng)判斷,即可得出結(jié)果.【詳解】可得對(duì)于A,的最小正周期為,故A正確;對(duì)于B,由,可得,故B正確;對(duì)于C,正弦函數(shù)對(duì)稱軸可得:解得:,當(dāng),,故C正確;對(duì)于D,正弦函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為:解得:若圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則解得:,故D錯(cuò)誤;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換,三角函數(shù)的性質(zhì),熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì),考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】

根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項(xiàng).【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算,關(guān)鍵在于理解,運(yùn)用新定義進(jìn)行求值,屬于中檔題.12.B【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件,利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交,圓心到直線的距離,即.也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑.即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外.故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì),考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.40【解析】

先求出的展開(kāi)式的通項(xiàng),再求出即得解.【詳解】設(shè)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令r=3,則,令r=2,則,所以展開(kāi)式中含x3y3的項(xiàng)為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為:40【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14.192【解析】

根據(jù)題意,分步進(jìn)行分析:①,在三對(duì)父子中任選1對(duì),安排在相鄰的位置上,②,將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分步進(jìn)行分析:①,在三對(duì)父子中任選1對(duì),有3種選法,由圖可得相鄰的位置有4種情況,將選出的1對(duì)父子安排在相鄰的位置,有種安排方法;②,將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,有種安排方法,則有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法種;故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15.證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析:四點(diǎn)共圓,所以,又△∽△,所以,即,得證.試題解析:A.連接,因?yàn)闉閳A的直徑,所以,又,則四點(diǎn)共圓,所以.又△∽△,所以,即,∴.16.【解析】

求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積,再用幾何概型公式求出即可.【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形,可分割為12個(gè)頂角為,腰為1的等腰三角形,∴該正十二邊形的面積為,根據(jù)幾何概型公式,該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面積型幾何概型的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)在上單調(diào)遞減等價(jià)于在恒成立,分離參數(shù)即可解決.(2)先對(duì)求導(dǎo),化簡(jiǎn)后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷唯一零點(diǎn)所在區(qū)間,構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式求解即可.【詳解】(1),時(shí),,,∵在上單調(diào)遞減.∴,.令,,時(shí),;時(shí),,∴在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).∴,∴.∴的取值范圍為.(2)若,,時(shí),,,令,顯然在上為增函數(shù).又,,∴有唯一零點(diǎn).且,時(shí),,;時(shí),,,∴在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).∴.又,∴,,.∴.,.∴當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調(diào),和零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)點(diǎn),難點(diǎn)為找到最值后的構(gòu)造函數(shù)求值域,屬于較難題目.18.(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)根據(jù)菱形性質(zhì)可知,結(jié)合可得,進(jìn)而可證明,即,即可由線面垂直的判定定理證明平面;(2)結(jié)合(1)可證明兩兩互相垂直.即以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長(zhǎng)度,建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,即可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:設(shè),連接,如下圖所示:∵側(cè)面為菱形,∴,且為及的中點(diǎn),又,則為直角三角形,,又,,即,而為平面內(nèi)的兩條相交直線,平面.(2)平面,平面,,即,從而兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長(zhǎng)度,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,為等邊三角形,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,∴可取,設(shè)平面的法向量為,則.同理可取,由圖示可知二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定方法,利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值,注意建系時(shí)先證明三條兩兩垂直的直線,屬于中檔題.19.(1)(2)【解析】

(1)判斷公比不為1,運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式,解方程可得公比,進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式;(2)求得,運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和,以及等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算可得所求和.【詳解】解:(1)設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,可得時(shí),,不成立;當(dāng)時(shí),,即,解得(舍去),則;(2),前項(xiàng)和,,兩式相減可得,化簡(jiǎn)可得.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.20.(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)條件可得,進(jìn)而得到,即可得到橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,分別表示出直線和直線斜率,相加利用根與系數(shù)關(guān)系即可得到.【詳解】解:(1)圓與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在軸上,所以,又,,解得,故橢圓的方程為;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,整理可得,則,解得,設(shè)點(diǎn),,則,,所以,故直線與直線的斜率互為相反數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及橢圓的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,屬于中檔題.21.(1).(2).【解析】

由已知利用正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,結(jié)合范圍,可求,由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得,結(jié)合范圍,可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的余弦函數(shù)公式,三角形的內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)

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