電磁場與電磁波第二章

電磁場與電磁波

第二章靜電場回顧梯度、散度、旋度惟一性定理亥姆霍茲定理無旋場與無散場靜電場主要內(nèi)容：電場強度與電通場方程（真空）電位電偶極子與介質(zhì)極化與電通密度靜電場的邊界條件電容電場能量電場力靜電場靜電場：當靜止電荷的電荷量不隨時間變化時，其產(chǎn)生的電場也不隨時間變化。電荷周圍場的特性與觀察者和電荷之間的相對運動狀態(tài)有關。電場強度、電通及電場線電場強度：電場對某點單位正電荷的作用力稱為該點的電場強度，以表示：式中q

為試驗電荷的電量，為電荷q

受到的作用力。電通：電場強度通過任一曲面的通量稱為電通，以

表示,即電場強度、電通及電場線電場線：為形象描述電場強度的分布特性，引入一組曲線，令曲線上各點的切線方向表示該點的電場強度方向，該曲線稱為電場線。電場線方程：帶電平行板

負電荷

正電荷

幾種典型的電場線分布電場線的疏密程度可以顯示電場強度的大小。

電場強度、電通及電場線真空中靜電場方程積分方程：物理實驗表明，真空中靜電場的電場強度

滿足（高斯定律）

左式表明真空中靜電場的電場強度通過任一封閉曲面的電通等于該封閉曲面所包圍的電量與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場的電場強度沿任一條閉合曲線的環(huán)量為零（保守性）。真空中靜電場方程微分方程：利用高斯散度定理和斯托克斯旋度定理，可得左式表明，真空中靜電場的電場強度在某點的散度等于該點的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場的電場強度的旋度處處為零。真空中靜電場是有散無旋場。電位已知靜電場的電場強度的散度及旋度以后，根據(jù)亥姆霍茲定理，有：式中因此xPzy0標量函數(shù)稱為電位，寫為

真空中靜電場在某點的電場強度等于該點電位梯度的負值。

取B點作為參考零點（無窮遠處），則A點電位可表為靜電場中某點電位的物理意義：單位正電荷在電場力的作用下，自該點沿任一條路徑移至無限遠處過程中電場力作的功。靜電場中任意兩點間電場強度的線積分（電位差）等于電場力作的功，與路徑無關。電位等位面：電位相等的點組成的曲面。由于電場強度的方向為電位梯度的負方向，而電位梯度方向總是垂直于等位面，因此，電場線與等位面一定處處保持垂直。若規(guī)定相鄰的等位面之間的電位差保持恒定，那么等位面密集處表明電位變化較快，因而場強較強。這樣，等位面分布的疏密程度也可表示電場強度的強弱。電場線等位面E電位靜電場特性高斯定律中的電量q

應理解為封閉面S所包圍的全部正負電荷的總和。靜電場的電場線是不可能閉合的，而且也不可能相交。任意兩點之間電場強度的線積分與路徑無關。真空中的靜電場和重力場一樣，它是一種保守場。靜電場求解：高斯定律、分布電荷、微分方程＋邊值條件靜電場問題的求解方法高斯定律：電場分布具有對稱性時，可先嘗試用高斯定律求解電場強度。（例2－2－1，2－2－3）要點：1、“左邊”電場在空間任意封閉面的總流出通量2、“右邊”封閉面包圍的總電荷除以…已知電荷分布，求解電場強度(例2－2－4)若電荷分布在一個有限的表面上，或者分布在一個有限的線段內(nèi)，那么可以類推獲知此時電位及電場強度與電荷的面密度及線密度的關系分別為靜電場問題的求解方法電偶極子電偶極子：由間距“很小”的2個等量正負“點”電荷組成。

間距：l“點”電荷：q1=q、q2=-q解決問題的入手點——矢量疊加原理！電矩矢量式中

的方向規(guī)定由負電荷指向正電荷。-q+ql電偶極子電偶極子產(chǎn)生的電位為利用關系式，求得電偶極子的電場強度為電偶極子的電位與距離平方成反比，電場強度的大小與距離的三次方成反比。而且兩者均與方位角有關。介質(zhì)極化自由電荷：導體中的電子通常稱為自由電子，它們所攜帶的電荷稱為自由電荷。束縛電荷：低于擊穿場強的電場作用下，介質(zhì)中的電荷是不會自由運動的，這些電荷稱為束縛電荷。介質(zhì)擊穿：如果外加電場很強，介質(zhì)中的電子也可能脫離原子核而運動，即形成自由電子，從而使介質(zhì)能夠?qū)щ?，這種現(xiàn)象稱為介質(zhì)擊穿。有極分子無極分子無極分子有極分子Ea介質(zhì)極化極化：在電場作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移的現(xiàn)象。無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。因極化產(chǎn)生的面分布及體分布的束縛電荷又稱為極化電荷。介質(zhì)的極化介質(zhì)中“束縛電荷”受電場影響感應出的電偶極子——極化研究感應出的電偶極子電場=原+偶極子電場介質(zhì)極化電極化強度：單位體積中電矩的矢量和。極化率：實驗結(jié)果表明，大多數(shù)介質(zhì)在電場的作用下發(fā)生極化時，其電極化強度與合成的電場強度成正比，即其中稱為電極化率，為正實數(shù)。介質(zhì)極化更一般的情況各向同性介質(zhì)各向異性介質(zhì)（電場強度的方向）均勻介質(zhì)非均勻介質(zhì)（空間坐標）線性介質(zhì)非線性介質(zhì)（電場強度的大?。?/p>

靜止介質(zhì)運動介質(zhì)（時間）介質(zhì)極化為正實常數(shù)，表明…。方向相同？介質(zhì)極化束縛電荷面分布:介質(zhì)表面上一定有“束縛電荷”分布。束縛電荷體分布:如果介質(zhì)內(nèi)部是不均勻的，則極化產(chǎn)生的電偶極子的分布也是不均勻的，這樣，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷的體分布。介質(zhì)內(nèi)部體分布的束縛電荷總量與介質(zhì)塊的表面束縛電荷總量是等值異性的。介質(zhì)中的靜電場介質(zhì)＋電場束縛電荷束縛電荷束縛電荷產(chǎn)生電場束縛電荷電場＋原有電場新電場

令（電通密度、電位移），有介質(zhì)中穿過任一閉合面的電通密度的通量等于該閉合面包圍的自由電荷，與束縛電荷無關。介質(zhì)中的靜電場方程介質(zhì)中束縛電荷產(chǎn)生的仍為靜電場，其場強旋度仍處處為零，因此場方程可寫為積分形式微分形式介質(zhì)中的靜電場由各向同性介質(zhì)的電極化強度定義可知令則

稱為介質(zhì)的介電常數(shù)。已知極化率e為正實數(shù)，因此，一切介質(zhì)的介電常數(shù)均大于真空的介電常數(shù)。相對介電常數(shù)：任何介質(zhì)的相對介電常數(shù)大于1。介質(zhì)中的靜電場對于均勻線性各向同性介質(zhì)，介電常數(shù)與空間坐標及場強無關，因此場方程可寫為積分形式微分形式介質(zhì)中的靜電場束縛電荷的分布特性均勻介質(zhì)內(nèi)自由電荷為零的區(qū)域中，束縛電荷體密度為零。靜電場的邊界條件邊界條件：當討論的空間存在多種介質(zhì)時，由于介質(zhì)特性不同，場量在兩種介質(zhì)的交界面上發(fā)生突變，其變化規(guī)律即為靜電場的邊界條件。邊界條件的討論：場量突變時，函數(shù)的連續(xù)性無法保證，因而描述點特性的散度和旋度在邊界上不存在。因此邊界條件的討論歸結(jié)為積分形式下的靜電場方程在分界面上任一點處極限情況的表述。兩種邊界條件：兩種介質(zhì)、介質(zhì)與導體兩種介質(zhì)的邊界條件切向分量：將方程應用于跨越分界面的一狹小矩形回路，其長度為l，高度為h，則電場強度沿該矩形曲線的環(huán)量為

令h0，則線積分

令l足夠短，以致于在l

內(nèi)可以認為場量是相等的，則上述環(huán)量為

兩種介質(zhì)的邊界條件已知靜電場中電場強度的環(huán)量處處為零，因此——在兩種介質(zhì)形成的邊界上，兩側(cè)的電場強度的切向分量相等，即電場強度的切向分量連續(xù)。（無條件）對于各向同性的線性介質(zhì)——在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電通密度的切向分量不連續(xù)。兩種介質(zhì)的邊界條件法向分量：將方程應用于跨分界面的一個扁平圓柱面，其高度為h，端面為S。令h0，則通過側(cè)面的通量為零，又考慮到S必須足夠小，則上述通量應為hS

1

2enD2D1

D1n及D2n分別代表對應介質(zhì)中電通密度與邊界垂直的法向分量。邊界法線的正方向規(guī)定為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2，有兩種介質(zhì)的邊界條件考慮到在兩種介質(zhì)形成的邊界上通常不可能存在表面自由電荷，因此——在分界面無自由電荷面分布的條件下，兩種介質(zhì)邊界上電通密度的法向分量相等，即電通密度的法向分量連續(xù)。對于各向同性的線性介質(zhì)

——在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電場強度的法向分量不連續(xù)。兩種介質(zhì)的邊界條件邊界上束縛電荷與法向分量的關系因故

——分界面兩側(cè)電場強度法向分量不連續(xù)是由分界面上的束縛電荷引起的。hS

1

2enD2D1介質(zhì)和導體的邊界條件靜電平衡：導體內(nèi)部和表面都沒有電荷定向移動的狀態(tài)。過程：當孤立導體放入靜電場中以后，導體中自由電子發(fā)生運動，這一運動將改變導體上的電荷分布，這電荷的分布反過來又改變導體內(nèi)部和周圍的電場分布。這種電荷和電場的分布將一直改變到導體內(nèi)部場強處處為零方才停止。介質(zhì)和導體的邊界條件靜電平衡時導體內(nèi)部場強處處為零：1、導體內(nèi)部不可能存在自由電荷的體分布（高斯定律）?！杂呻姾芍荒芊植荚趯w的表面上。2、導體中的電位梯度為零?！獙w中電位不隨空間變化?！幱陟o電平衡狀態(tài)的導體是一個等位體，導體表面是一個等位面。介質(zhì)和導體的邊界條件3、切向分量連續(xù)——電場強度垂直于導體的表面，即4、導體表面可以存在表面自由電荷，因此

對各向同性的線性介質(zhì)，有由知介質(zhì)E,D導體en導體圍成的封閉空腔靜電屏蔽：當封閉的導體空腔中沒有自由電荷時，即使腔外存在電荷，腔中靜電場仍然為零。這就意味著封閉的導體腔可以屏蔽外部靜電場，這種效應稱為靜電屏蔽。

當金屬空殼處于靜電平衡時，殼體內(nèi)的場強為零。這時如果在殼體內(nèi)作一個封閉面包圍空腔，由高斯定律可知空腔內(nèi)表面上的凈電荷為零。這有兩種情況。一種情況是空腔內(nèi)表面上沒有電荷，則此時腔中不可能存在電場；另一種情況是內(nèi)表面有等量的正負電荷，此時若以正負電荷間任一根電場線和腔壁中任一根曲線組成閉合曲線，則沿該曲線的電場強度的環(huán)量不為零，這就違背了靜電場的基本特性，因此這種情況是不存在的。求極板間電場。假定兩種介質(zhì)中只存在垂直與極板的電場

邊界條件

唯一性定理

電容電容：由物理學得知，平板電容器正極板上攜帶的電量q與極板間的電位差U的比值是一個常數(shù)，此常數(shù)稱為平板電容器的電容，即電容為事實上，任意兩個導體間的電容都可以用上式來表示。電容的單位F（法拉）太大。例如半徑大如地球的弧立導體的電容只有F。實際中，通常取F（微法）及pF（皮法）作為電容單位。電容孤立導體的電容：和無限遠處的另一個導體組成一個電容器。對于多導體之間的電容計算，需要引入部分電容概念。多導體系統(tǒng)中，每個導體的電位不僅與導體本身電荷有關，同時還與其他導體上的電荷有關，因為周圍導體上電荷的存在必然影響周圍空間靜電場的分布，而多導體的電場是由它們共同產(chǎn)生的。半徑為a的孤立導體球電容：b例一平行板電容器，兩極板間距為b、面積為S，在其間平行地插入一厚度為t，相對介電常數(shù)為r，面積為S/2的均勻介質(zhì)板。設極板帶電Q，忽略邊緣效應。

求(1)該電容器的電容C，(2)兩極板間的電位差U。(3)Q在極板上均勻分布嗎？Ue1R1e2R2例

同軸電纜內(nèi)外導體半徑分別為R1和R2，中間為兩種介質(zhì)，介電常數(shù)分別為1和2，分界面過直徑，電壓為U。試求該電纜單位長度電容。邊界上電場強切線分量

E1t=E2t因此，根據(jù)唯一性定理，可知E1=E2小結(jié)介質(zhì)中的靜電場方程（電通密度、介電常數(shù)的引入、特殊形式）介質(zhì)中：

均勻線性各向同性介質(zhì)中：小結(jié)無自由電荷有自由電荷hS

1

2enE2E1小結(jié)兩種介質(zhì)形成的邊界條件（注意條件）切向分量：

無條件：有條件（各向同性線性介質(zhì)中）：法向分量：

無自由電荷面密度：

無自由電荷面密度且各向同性線性介質(zhì)中：無自由電荷,束縛電荷與電場強度法向分量的關系：小結(jié)介質(zhì)和導體形成的邊界條件靜電平衡時導體內(nèi)部場強處處為零。切向分量,無條件滿足：

法向分量：

有自由電荷面密度：

有自由電荷面密度且各向同性線性介質(zhì)中：束縛電荷、自由電荷與電場強度法向分量的關系：一體電荷密度為ρ的帶電球體中，現(xiàn)已挖去一球形空腔，求空腔內(nèi)任意一點的場強。假定該球由半徑為R電荷密度為ρ的帶電球體1和半徑為r電荷密度為-ρ的帶電球2體組合而成。利用矢量疊加原理電場能量靜電場具有能量：根據(jù)電場力作功或外力作功與靜電場能量之間的轉(zhuǎn)換關系，可以計算靜電場能量。

孤立帶電體能量：電位為φ，電荷量為Q的帶電體電場能為電場能量多個帶電體的靜電場具有的總能量

線性媒質(zhì)中，設各個帶電體的電量增加一倍時，各個帶電體的電位也升高一倍。第i

個帶電體的電位最終值為i，電量的最終值為Qi

，若某一時刻第i

個帶電體的電量為qi=Qi

，

<1，則此時刻該帶電體的電位為i

=i。那么當各個帶電體的電量均以同一比例

增長，且同時分別增至最終值時，該系統(tǒng)的總電場能為

平板電容電場的能量：電場能量能量守恒：雖然上述推導中假定電荷同時增長，但外力所作的功全部轉(zhuǎn)化為靜電場的能量，與過程無關。帶電體電荷連續(xù)分布時，靜電場具有的總能量電場能量靜電場的能量分布在電場所占據(jù)的整個空間——區(qū)域特性靜電場的能量分布密度——點特性由得:

兩個導體攜帶的電量為Q1和Q2，其表面積分別為S1和S2，電荷分布在導體的表面上，因此，該系統(tǒng)的總能量為

S2Q2Q1S1Venen電場能量在無限遠處再作一個無限大的球面S，由于電荷分布在有限區(qū)域，無限遠處的電位及場強均趨于零。因此，積分SS2Q2Q1S1Venen式中。閉合面S包圍了靜電場所占據(jù)的整個空間。那么，利用高斯定理，上式可寫區(qū)域V中沒有自由電荷，又因此電場能量能量分布密度：各向同性的線性介質(zhì)中靜電場能量與電場強度平方成正比。因此，能量不符合疊加原理。這是因為在多電荷系統(tǒng)中，當一個帶電體引入系統(tǒng)中時，外力必須反抗已有其它帶電體對該帶電體產(chǎn)生的電場力而作功，此功也轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿芰?，這份能量通常稱為互有能，而帶電體單獨存在時具有的能量稱為固有能。靜電場能量的兩種求解思路課堂作業(yè)求半徑為R0，體電荷密度為ρ的電荷球(如：電子云)所具有的電場能量。分析：什么物理概念？球的對稱性有沒有用途？用什么解法？題解解法1：直接利用能量密度公式

需要求解：題解解法2：按照物理過程——“糊泥”——外力做功“糊到”距離球心R處時，這個半徑為R的“半成品”球的電位：糊上厚度為dR的球殼（“泥”）：糊上厚度為dR的球殼（“泥”）外力需要做的功：總的功（能量）：例兩半徑為R的平行長直導線，中心間距為d，且dR,求沿導線方向，單位長度的電場能量.設兩金屬線的電荷線密度為解例一球形電容器由兩個同心導體球殼組成，其間充滿相對介電常數(shù)為r的各向同性均勻電介質(zhì)，外球殼以外為真空。內(nèi)球殼半徑為R1，帶電量為q1；外球殼內(nèi)、外半徑分別為R2和R3，帶電量為q2。求：(1)空間的電場分布；(2)該電容器的電容；(3)電介質(zhì)中的電場能量。解(1)由高斯定理有：oR1R2R3roq1-q1q1+q2

(2)兩球的電勢差為：電容為q1(3)電介質(zhì)中的電場能量：電場能量也可用下式求得：rdrR1R2R3roq1-q1q1+q2電場力庫侖定律：靜電學基礎，適用于電荷分布簡單的系統(tǒng)。虛位移法：電荷分布復雜的系統(tǒng)，為了計算分布電荷的帶電體之間的電場力，通常采用虛位移法——假定帶電體在電場作用下發(fā)生一定的位移，根據(jù)位移過程中電場能量的變化與外力及電場力所作的功之間的關系計算電場力。電場力平板電容器兩極板上的電量分別為+q及-q，板間距離為l。為了計算方便，假定在電場力作用下，極板之間的距離增量為dl。而兩極板間的相互作用力實際上導致板間距離減小。因此，求出的作用力應為負值。dll-q+q電場力若認為作用力F導致位移增加，因此，作用力F的方向為位移的增加方向。這樣，為了產(chǎn)生dl

位移增量，電場力作的功為根據(jù)能量守恒定律，這部分功應等于電場能量的減小值，即由此求得——常電荷系統(tǒng)電場力已知平板電容器的能量為。對于常電荷系統(tǒng)，發(fā)生位移時電量q未變，只有電容C

改變了。平板電容器的電容平板電容器兩極板之間的作用力為負號表明作用力的實際方向是指向位