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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,則公比的值為(
)A. B. C.或 D.或2.已知雙曲線:的焦距為,焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.3.已知銳角滿足則()A. B. C. D.4.上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1),充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平,也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意圖,圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計),夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽光線)與春秋分日光(當(dāng)日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知,黃赤交角近1萬年持續(xù)減小,其正切值及對應(yīng)的年代如下表:黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息,通過計算黃赤交角,可估計該骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年5.已知直線,,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.甲、乙、丙三人參加某公司的面試,最終只有一人能夠被該公司錄用,得到面試結(jié)果以后甲說:丙被錄用了;乙說:甲被錄用了;丙說:我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯誤,則下列結(jié)論正確的是()A.丙被錄用了 B.乙被錄用了 C.甲被錄用了 D.無法確定誰被錄用了7.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.8.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的表面積為()A.8 B. C. D.9.已知函數(shù),若所有點(diǎn),所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,則()A. B. C.1 D.10.如圖所示的程序框圖,當(dāng)其運(yùn)行結(jié)果為31時,則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是()A. B. C. D.11.馬林●梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士,也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物,梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計算、驗(yàn)證工作,人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn),將形如2P﹣1(其中p是素數(shù))的素數(shù),稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.612.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)滿足,則的最大值為________.14.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,則的取值范圍為__________.15.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,已知,,若對任意都有成立,則的值為__________.16.函數(shù)的極大值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),函數(shù).(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若時,對任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.18.(12分)設(shè)的內(nèi)角、、的對邊長分別為、、.設(shè)為的面積,滿足.(1)求;(2)若,求的最大值.19.(12分)設(shè)數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)A(1,0)的直線與橢圓C交于點(diǎn)M,N,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且OM+ON=t21.(12分)已知,.(1)解;(2)若,證明:.22.(10分)已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋耶?dāng)時,.(1)求函數(shù)的解析式;(2)記函數(shù),若函數(shù)有3個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
由成等差數(shù)列得,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合,利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵,對于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟練.2.A【解析】
利用雙曲線:的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,求出,的關(guān)系式,然后求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線:的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,可得:,可得,,則的漸近線方程為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,構(gòu)建出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,考查計算能力,屬于中檔題.3.C【解析】
利用代入計算即可.【詳解】由已知,,因?yàn)殇J角,所以,,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.4.D【解析】
先理解題意,然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形,在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,即可得到正確選項(xiàng).【詳解】解:由題意,可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為,春秋分日光與垂直線夾角為,則即為冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,將圖3近似畫出如下平面幾何圖形:則,,.,估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的能力,運(yùn)用了兩角和與差的正切公式,考查了轉(zhuǎn)化思想,數(shù)學(xué)建模思想,以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬中檔題.5.C【解析】
先得出兩直線平行的充要條件,根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍,可得到答案.【詳解】直線,,的充要條件是,當(dāng)a=2時,化簡后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的,故舍去,最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點(diǎn)睛】判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.6.C【解析】
假設(shè)若甲被錄用了,若乙被錄用了,若丙被錄用了,再逐一判斷即可.【詳解】解:若甲被錄用了,則甲的說法錯誤,乙,丙的說法正確,滿足題意,若乙被錄用了,則甲、乙的說法錯誤,丙的說法正確,不符合題意,若丙被錄用了,則乙、丙的說法錯誤,甲的說法正確,不符合題意,綜上可得甲被錄用了,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理能力,屬基礎(chǔ)題.7.B【解析】
執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計算,得到程序框圖的計算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐,即可求出幾何體的表面積.【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐,如圖,且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,四棱錐的底面是正方形,邊長為2,棱錐的高為2,所以,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體,棱錐表面積的計算,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.9.D【解析】
依題意,可得,在上單調(diào)遞增,于是可得在上的值域?yàn)?,繼而可得,解之即可.【詳解】解:,因?yàn)?,,所以,在上單調(diào)遞增,則在上的值域?yàn)?,因?yàn)樗悬c(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,所以,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,理解題意,得到是關(guān)鍵,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.10.C【解析】
根據(jù)程序框圖的運(yùn)行,循環(huán)算出當(dāng)時,結(jié)束運(yùn)行,總結(jié)分析即可得出答案.【詳解】由題可知,程序框圖的運(yùn)行結(jié)果為31,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.此時輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu),已知輸出結(jié)果求條件框,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
模擬程序的運(yùn)行即可求出答案.【詳解】解:模擬程序的運(yùn)行,可得:p=1,S=1,輸出S的值為1,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=3,S=7,輸出S的值為7,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=5,S=31,輸出S的值為31,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=7,S=127,輸出S的值為127,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=9,S=511,輸出S的值為511,此時,不滿足條件p≤7,退出循環(huán),結(jié)束,故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
令,則,由圖象分析可知在上有兩個不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令,則,如圖與頂多只有3個不同交點(diǎn),要使關(guān)于的方程有六個不相等的實(shí)數(shù)根,則有兩個不同的根,設(shè)由根的分布可知,,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程根的個數(shù)問題,涉及到一元二次方程根的分布,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
設(shè),由可得,整理得,即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,所以當(dāng)雙曲線的漸近線與圓相切時,取得最大值,此時,解得.14.【解析】
真數(shù)有最小值,根據(jù)已知可得的范圍,求出函數(shù)的最小值,建立關(guān)于的不等量關(guān)系,求解即可.【詳解】,且(且)有最小值,,的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由已知條件得出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組,解出這兩個量,計算出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值及其對應(yīng)的值,即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,解得,.所以,當(dāng)時,取得最大值,對任意都有成立,則為數(shù)列的最大值,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的計算,一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解,考查計算能力,屬于中等題.16.【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意,得.所以當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以當(dāng)時,函數(shù)有極大值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意得到的解析式和定義域,求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性.(Ⅱ)分析題意可得對任意,恒成立,構(gòu)造函數(shù),則有對任意,恒成立,然后通過求函數(shù)的最值可得所求.試題解析:(I)由題意得,,∴.當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,令,解得;令,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(II)由題意知.,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增.不妨設(shè),又函數(shù)單調(diào)遞減,所以原問題等價于:當(dāng)時,對任意,不等式恒成立,即對任意,恒成立.記,由題意得在上單調(diào)遞減.所以對任意,恒成立.令,,則在上恒成立.故,而在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上的最大值為.由,解得.故實(shí)數(shù)的最小值為.18.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)條件形式選擇,然后利用余弦定理和正弦定理化簡,即可求出;(2)由(1)求出角,利用正弦定理和消元思想,可分別用角的三角函數(shù)值表示出,即可得到,再利用三角恒等變換,化簡為,即可求出最大值.【詳解】(1)∵,即,∴變形得:,整理得:,又,∴;(2)∵,∴,由正弦定理知,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值.故的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,余弦定理,三角形面積公式的應(yīng)用,以及利用三角恒等變換求函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題19.(1);(2).【解析】
(1)令可求得的值,令時,由可得出,兩式相減可得的表達(dá)式,然后對是否滿足在時的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn),由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論,利用奇偶分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】(1),當(dāng)時,;當(dāng)時,由得,兩式相減得,.滿足.因此,數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(2).①當(dāng)為奇數(shù)時,;②當(dāng)為偶數(shù)時,.綜上所述,.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求解,同時也考查了奇偶分組求和法,考查計算能力,屬于中等題.20.(1)x24+【解析】試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問,先利用離心率、a2=b2+c2、四邊形的面積列出方程,解出a和b的值,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,討論直線MN的斜率是否存在,當(dāng)直線MN的斜率存在時,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消參,利用韋達(dá)定理,得到x1+x2、x1x試題解析:(1)∵e=22,??∴又S=12×2a×2b=4∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)由題意
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