小專題(八) 教材P90習(xí)題第14題的變式與應(yīng)用

小專題(八)

教材P90習(xí)題第14題的變式與應(yīng)用【例】(人教版九年級(jí)上冊(cè)教材第90頁(yè)第14題)如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．證明：因?yàn)椤螦PC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC，又因?yàn)椤螦PC＝∠CPB＝60°.所以∠ABC＝∠BAC＝60°.于是∠ACB＝60°.所以△ABC為等邊三角形．1．如圖，延長(zhǎng)BP至E，若∠EPA＝∠CPA，判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論．△ABC是等腰三角形，理由：因?yàn)椤螩PA＝∠ABC，四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，所以∠EPA＝∠ACB.因?yàn)椤螮PA＝∠CPA，所以∠ACB＝∠ABC.所以AB＝AC.故△ABC是等腰三角形．2．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，DB＝DC.求證：AD是△ABC外角∠EAC的平分線．證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠DCB＋∠DAB＝180°.又

∠DAE＋∠DAB＝180°，

∴∠DCB＝∠EAD.

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB.

∵∠DBC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠EAD.

∴AD平分∠EAC.

3．如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點(diǎn)，且滿足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)求圓心O到BC的距離OD.(1)證明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°.

∴△ABC是等邊三角形．4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P為弧AB上異于A，B兩點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，PA能否平分∠BPC的外角∠CPE.若能，請(qǐng)證明，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．當(dāng)AB＝AC時(shí)，PA平分∠BPC的外角∠CPE.理由：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠APE＋∠APB＝180°，

∠ACB＋∠APB＝180°，

∴∠APE＝∠ACB.又∵∠APC＝∠ABC，

∴∠APE＝∠APC.即AB＝AC時(shí)，PA平分∠BPC的外角∠CPE.

5．(1)如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為∠BAC的平分線，過(guò)D作DE垂直于AB于E，AE與△ABC的兩邊AB，AC有怎樣的關(guān)系呢？(2)如圖2，若AD為△ABC的外角∠CAG的平分線時(shí)，AE與△ABC的兩邊AB，AC又有怎樣的關(guān)系呢？6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O′為y軸上一點(diǎn)，⊙O′交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C，D兩點(diǎn)．直線AE交⊙O′于F點(diǎn)，連接FC.過(guò)C作CH垂直AF交其延長(zhǎng)線于H.試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)F在弧AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)B－FA與FH的比值是否為定值？并說(shuō)明理由．7．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在⊙O上，∠BAC與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)I，延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，DC.(1)求證：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半徑為10cm，∠BAC＝120°，

求△BDC的面積．(1)證明：∵AI平分∠BAC，

∵∠BAD＝∠DAC，

∴BD＝DC.

∵BI平分∠ABC，

∴∠ABI＝∠CBI.

∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，

∴∠BAD＝∠DBC.又∠DBI＝∠DBC