微積分3-2-4隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)

一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

第三章一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y

是

x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對x求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).例1.

求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:

方程兩邊對

x

求導(dǎo)得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)例2.

求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對x求導(dǎo)故切線方程為即例3、函數(shù)y=y(x)由方程所確定,求解：方程兩邊同時對ｘ求導(dǎo)例5.

求的導(dǎo)數(shù).解:

兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x

求導(dǎo)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:

消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?若參數(shù)方程可確定一個y與

x

之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時,有時,有(此時看成x是

y的函數(shù))關(guān)系,若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得?已知解:注意:例4.(1)

設(shè)求例4.(2)

設(shè),且求解:

三、相關(guān)變化率為兩關(guān)于t可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率例8.設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對t

求導(dǎo),得故內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2.對數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3.參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4.相關(guān)變化率問題列出依賴于t的相關(guān)變量關(guān)系式對t求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式作業(yè):P90第4題(2);第5題(1)2.設(shè)求提示:分別用對數(shù)求導(dǎo)法求答案:3.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對x求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時,故由①得再代入②得求①例9.

拋射體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運(yùn)動速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時,傾角為達(dá)到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向例10.

一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為,則兩邊對t求導(dǎo)已知

h=500m時,求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時對求導(dǎo)備用題1.設(shè),求解：

2.設(shè)方程組兩邊同時對t求導(dǎo),得例４設(shè)y=y(x)由方程ey=xef(y)確定,f(x)二階可導(dǎo),

f(x)1,求y.解方程兩邊對x求導(dǎo):eyy=e

f(y)+xe

f(y)f(y)y故對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:1)對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)