隨機變量及其分布(一)

2.1.1離散型隨機變量高二數(shù)學選修2-3

在必修3中,我們學習了概率有關(guān)知識.知道概率是描述某個隨機事件發(fā)生可能性大小的量.

同時我們還研究了一些的隨機事件的概率,下面我們作一個簡單的回顧.1.定義：隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件。必然事件：在條件S下必然要發(fā)生的事件叫必然事件。不可能事件：在條件S下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件,一般用大寫字母A,B,C…表示。

一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A（或稱事件A

包含于事件B）.2.事件的關(guān)系和運算：（1）包含關(guān)系（2）相等關(guān)系

一般地，對事件A與事件B，若，那么稱事件A與事件B相等.A=B（3）并事件（和事件）

若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A和事件B的并事件（或和事件）.（4）交事件（積事件）

若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A和事件B的交事件（或積事件）.（5）互斥事件

若為不可能事件（），那么稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中都不會同時發(fā)生。（6）互為對立事件

若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生。3.概率的基本性質(zhì)4、古典概型的兩個特點:(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個.(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.計算古典概型的公式：定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型.5.幾何概型：幾何概型的公式:新課引入:問題1：擲一顆骰子,結(jié)果有哪些?發(fā)生的概率各是多少?若用X表示出現(xiàn)的點數(shù)，X有哪些取值？X可取1、2、3、4、5、6，共6種結(jié)果問題2：某紡織公司某次檢驗產(chǎn)品，在可能含有10次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件，其中可能含有幾件次品？若用Y表示所含次品數(shù)，Y有哪些取值？Y可取

0、1、2、3、4,共5種結(jié)果問題3：把一枚硬幣向上拋，可能會出現(xiàn)哪幾種結(jié)果？能否用數(shù)字來刻劃這種隨機試驗的結(jié)果呢？X=0，表示正面向上；X=1，表示反面向上正面朝上反面朝上01

在問題1、2、3中，我們確定了一個對應關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字來表示。出現(xiàn)1點出現(xiàn)2點……出現(xiàn)6點12……60件次品1件次品……4件次品01……4

在以上的各例說明，在隨機試驗中，我們可以確定一個對應關(guān)系，使得每一個試驗的結(jié)果都用一個確定的數(shù)字來表示。

在這種對應關(guān)系下，數(shù)字是隨著試驗結(jié)果的變化而變化的。

象這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量.

注:這種對應事實上是一個映射。思考1：隨機變量與函數(shù)有類似的地方嗎？

隨機變量和函數(shù)都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結(jié)果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)。在這兩種映射之間，試驗結(jié)果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數(shù)的值域。

例如，在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取4件，可能含有的次品件數(shù)X將隨著抽取結(jié)果的變化而變化，是一個隨機變量。其取值范圍是{0,1,2,3,4}.(1)從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張，被取出的卡片的號數(shù)X．(2)一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球數(shù)X．(3)拋擲兩個骰子，所得點數(shù)之和X．(4)某單位的某部電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)η．練習:寫出下列各隨機變量的取值范圍:{1、2、3、···、10}{0、1、2、3}{2、3、···、12}{1、2、3……}離散型隨機變量：

所有取值可以一一列出的隨機變量，就稱為離散型隨機變量。

如果隨機變量可能取的值是某個區(qū)間的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.問題6:某林場樹木最高達30m,那么這個林場的樹木高度的情況有那些?是否為隨機變量？(0，30]內(nèi)的一切值可以取某個區(qū)間內(nèi)的一切值則此林場樹木的高度是一個隨機變量。思考4：電燈泡的壽命X是離散型隨機變量嗎？X取(0,+∞)內(nèi)的一切值,故X并非離散性隨機變量.

若我們僅關(guān)心該電燈泡的壽命是否超過1000小時，并如下定義一個隨機變量Y，Y是一個離散型隨機變量嗎？0，壽命<1000小時1，壽命≥1000小時Y=

與電燈泡的壽命X相比，隨機變量Y的構(gòu)造顯然比X要簡單，它只取0和1兩個不同的值，是一個離散型隨即機變量。所以更便于研究，為了我們研究的可操作性，有些問題往往可以考慮從不同的角度去構(gòu)造隨機變量。思考5：（2）如果規(guī)定壽命在1500小時以上的燈泡為一等品，壽命在1000到1500小時之間的為二等品，壽命在1000小時以下的為不合格品。如果我們關(guān)心燈泡是否為合格品，應如何定義隨機變量？如果我們關(guān)心燈泡是否為一等品或二等品，又如何定義隨機變量？思考6：0，不合格品(壽命<1000小時)1，合格品(壽命≥1000小時)Y=0，一等品(壽命>1500小時)1，二等品(1000<壽命<1500小時)Y=例1、(1)某座大橋一天經(jīng)過的中華轎車的輛數(shù)為；(2)某網(wǎng)站中歌曲《愛我中華》一天內(nèi)被點擊的次數(shù)為；(3)一天內(nèi)的溫度為；(4)射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用表示該射手在一次射擊中的得分。上述問題中的是離散型隨機變量的是（）

A.(1)(2)(3)(4)

B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)B例2、寫出下列隨機變量可能的取值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果：（1）一個袋中裝有2個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)；（2）一個袋中裝有5個同樣大小的球，編號為1，2，3，4，5，現(xiàn)從中隨機取出3個球，被取出的球的最大號碼數(shù)。（3）投擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和為X，所得點數(shù)之和是偶數(shù)為Y。2.將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是()(A)兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和(B)兩次擲出的最大點數(shù)(C)第一次減去第二次的點數(shù)差(D)拋擲的次數(shù)D3.袋中有大小相同的5個小球，分別標有1、2、3、4、5五個號碼，現(xiàn)在在有放回的條件下取出兩個小球，設兩個小球號碼之和為X，則X所有可能值的個數(shù)是___個；“X=4”表示

．9“第一次抽1號、第二次抽3號，或者第一次抽3號、第二次抽1號，或者第一次、第二次都抽2號．1、把一枚硬幣先后拋擲兩次，如果出現(xiàn)兩個正面得5分，出現(xiàn)兩個反面得-3分，其他結(jié)果得0分，用X表示得分的分值，列表寫出可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應的X值。課堂練習：課時小結(jié)：

如果隨機試驗的