第三章-力系的平衡

工程力學第三章力系的平衡力系的平衡匯交力系的平衡方程1.空間匯交力系平衡的充要條件將上式兩邊向x、y、z軸投影，可得平衡方程

可以求解3個未知量。2.平面匯交力系

力系的平衡力偶系的平衡方程1.空間力偶系平衡的充要條件（幾何條件）

將上式兩邊向x、y、z軸投影，可得平衡方程

可以求解3個未知量。

2.平面力偶系

力系的平衡平衡的充要條件:力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零.任意力系的平衡方程空間任意力系：平衡的充要條件:力系的主矢和對任一點的主矩均為零。將上式向x、y、z軸投影，可得空間任意力系的平衡方程

可以求解6個未知量。力系的平衡空間平行力系選擇z軸與力系的作用線平行空間平行力系的平衡方程可以求解3個未知量力系的平衡平面任意力系

如果取平面任意力系的作用平面為oxy平面，則

平面任意力系的平衡方程（一般形式）：

可以求解3個未知量yxzO力系的平衡二力矩的形式限制條件：力矩中心A、B兩點的連線不能與投影軸x軸垂直力系的平衡三力矩的形式限制條件：力矩中心A、B、C三點不在同一條直線上。

已知：P1=4KN，P2=10KN，尺寸如圖，求：BC桿受力及鉸鏈A受力。例題(1)解：取AB梁，畫受力圖。解得例題又可否列下面的方程？能否從理論上保證三組方程求得的結果相同？可否列下面的方程：例題圖示結構，若FP和l已知，確定下面結構的約束力llABDCFPllABDCM=FP2

l例題例：簡支梁受力如圖，已知F＝300N,q=100N/m,求A,B處的約束反力。FqABCD2m2m4m解：簡支梁受力如圖所示：代入（1）式例題求圖示伸出梁的支座反力。2mBA2m3m2mF=5KN1F=20KN2q=4KN/m12mq=2KN/mm=8KN·mo例題求如圖所示懸臂梁的支座反力.例題力系的平衡平面平行力系選y軸或者x軸與力系的作用線平行，則一般式，二力矩式或條件：AB連線不能平行于力的作用線均質(zhì)桿AB和BC在B端固結成60°角，A端用繩懸掛，已知BC=2AB,求當剛桿ABC平衡時，BC與水平面的傾角ɑ。例題塔式起重機已知:G1,G2,a,b,e,L求：起重機滿載時不向右和空載時不向左翻倒時，平衡重的重量G3所應滿足的條件。解：以起重機為研究對象(1)滿載時不翻倒條件：FNA≥0(1)由得：由(1)、(2)式得：(2)空載時不翻倒條件：FNB≥0(4)

由得：由(4)、(5)式得：

由式(3)和(6)可得，起重機滿載和空載均不致翻倒時，平衡重的重量G3所應滿足的條件為：3.4.1單個物體平衡方程的應用單個物體平衡問題的研究，可按以下步驟進行：（1）根據(jù)物體平衡問題正確選定研究對象。

(要畫出研究對象的形狀)（2）分析研究對象的受力情況，正確畫出其受力圖。

(研究對象本身對周圍的作用力不要畫出.)（3）選擇恰當?shù)钠胶夥匠獭⑼队拜S和力矩中心，求解未知力。力系的平衡

水平梁AB中點C作用著力F，其大小等于2kN，方向與梁的軸線成60o角，支承情況如圖a所示，試求固定鉸鏈支座A和活動鉸鏈支座B的約束力。梁的自重不計。

A60oFB30oaaC(a)例題FBFADC60o30o(b)FEFFBFA60o30oHK(c)

1.取梁AB作為研究對象。

4.由力多邊形解出：

FA=Fcos30=17.3kN

FB=Fsin30=10kN2.畫出受力圖。3.作出相應的力多邊形。BA解：例題解：(1)取制動蹬ABD作為研究對象。(2)畫出受力圖。OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)P246ACBOED(a)(3)應用平衡條件畫出P、SB和ND的閉和力三角形。圖示是汽車制動機構的一部分。司機踩到制動蹬上的力P=212N，方向與水平面成=45角。當平衡時，BC水平，AD鉛直，試求拉桿所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm點E在鉛直線DA上，又B、C、D都是光滑鉸鏈，機構的自重不計。例題（5）代入數(shù)據(jù)求得：

SB=750N。（4）由幾何關系得：由力三角形可得：OPASBBNDD(b)JNDKSBPI(c)P246ACBOED(a)例題TBD300FAB150150TBCTBD=G

EB例題

井架起重裝置簡圖如圖所示，重物通過卷揚機D由繞過滑輪B

的鋼索起吊。起重臂的A端支承可簡化為固定鉸支座，B端用鋼索BC

支承。設重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑輪的大小和重量索及鋼

的重量均不計。求當重物E勻速上升時起重臂AB和鋼索BC所受的力。解：1、取滑輪連同重物E為研究對象，受力分析：G300600150A

BCD

Ex300150150TBDTBCGTBD=GY

=0X

=0FAB=45kN-TBCcos300-TBDcos450+FABcos600=0

EBTBC=9.65kNFABy-TBCcos600-TBDcos450+FABcos300-G=02、取匯交點B為坐標原點，建立坐標系：3、列平衡方程并求解：300300600150A

BCD

E300150150TBDTBCGTBD=Gxy

EB-TBDsin150+FABsin300-Gsin600=0FAB=45kNY

=0FAB解二：300600150A

BCD

EX

=0-TBC-TBDcos150+FABcos300-Gcos600=0TBC=9.65kN靜力學1、一般地，對于只受三個力作用的物體，且角度特殊時用幾何法（解力三角形）比較簡便。

解題技巧及說明：3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中只有一個未知數(shù)。

2、一般對于受多個力作用的物體，且角度不特殊或特殊，都用解析法。靜力學5、解析法解題時，力的方向可以任意設，如果求出負值，說明力方向與假設相反。對于二力構件，一般先設為拉力，如果求出負值，說明物體受壓力。4、對力的方向判定不準的，一般用解析法。靜力學n個物體組成的物體系統(tǒng)2

單個物體平面一般力系33n平面平行力系22n平面匯交力系2n平面力偶系1n獨立平衡方程數(shù)力系的平衡3.4.2物體平衡方程的應用

（1）靜定問題與靜不定問題的概念1.靜定問題未知量的個數(shù)≤獨立平衡方程數(shù)2.超靜定問題（或靜不定問題）未知量的個數(shù)＞獨立平衡方程數(shù)超靜定次數(shù)=未知量的個數(shù)-獨立平衡方程數(shù)

力系的平衡判斷下面結構是否靜定？判斷下面結構是否靜定？力系的平衡（2）物體系的平衡問題物體系統(tǒng)（物系）：由若干個物體通過適當?shù)募s束相互連接而成的系統(tǒng)。TheoreticalMechanics求解過程中應注意以下幾點

在一般情況下，首先以系統(tǒng)的整體為研究對象，這樣則不出現(xiàn)未知的內(nèi)力，易于解出未知量。當不能求出未知量時應立即選取單個物體或部分物體的組合為研究對象，一般應先選受力簡單而作用有已知力的物體為研究對象，求出部分未知量后，再研究其他物體。

返回首頁首先判斷物體系統(tǒng)是否屬于靜定問題

恰當?shù)剡x擇研究對象

物系平衡問題的應用①首先從二力構件入手，可使受力圖較簡單，有利于解題。②解除約束時，要嚴格地按照約束的性質(zhì)，畫出相應的約束力，切忌憑主觀想象畫力。③畫受力圖時，關鍵在于正確畫出鉸鏈約束力，除二力構件外，通常用二分力表示鉸鏈反力。④不畫研究對象的內(nèi)力。⑤兩物體間的相互作用力應該符合作用與反作用定律。列平衡方程，求出全部未知力

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受力分析，畫隔離體的受力圖物系平衡問題的應用[例]已知：圖示梁，求：A、B、C處約束力。mA分析：整體：四個反力→不可直接解出拆開：BC桿三個反力→可解故先分析BC桿，再分析整體或AC桿，可解。mAAC桿五個反力→不可解解：1、取BC桿為研究對象2、取整體為研究對象mAXA=0靜力分析XA=0（↓）（↓）∴（↑）（）例1：已知F＝500N,q=250N/m,M=500N.m,求A,B,E處的約束反力。解(1)取CE桿為研究對象，受力如圖(b)qFM11222ABCDE(a)MDECq(b)對CE桿

qFM11222ABCDE(2)取整體為研究對象，受力如圖F＝500N,q=250N/m,M=500N.m例已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,P,各構件自重不計。求:A,E支座處約束力及BD桿受力。解:取整體,畫受力圖。解得解得解得取DCE桿,畫受力圖.解得(拉)TheoreticalMechanics

例

水平傳動軸上安裝著帶輪和圓柱直齒輪。帶輪所受到的緊邊膠帶拉力FT1沿水平方向，松邊膠帶拉力FT2與水平線成＝30角，如圖所示。齒輪在最高點C與另一軸上的齒輪相嚙合，受到后者作用的圓周力F和徑向力Fn

。已知帶輪直徑d1＝0.5m，直齒輪直徑d2＝0.2m，嚙合角＝20，b＝0.2m，c＝e＝0.3m，

F＝

2kN，零件自身重量不計，并假設FT1＝2FT2。轉(zhuǎn)軸可以認為處于平衡狀態(tài)。試求支承轉(zhuǎn)軸的向心軸承A、B的約束力。

例題空間力系的平衡