2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量4.1平面向量的坐標(biāo)表示4.2平面向量線性運算的坐標(biāo)表示學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4．1平面向量的坐標(biāo)表示4．2平面向量線性運算的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標(biāo)表示。2.掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運算法則。3。正確理解向量坐標(biāo)的概念，要把點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開來．知識點一平面向量的正交分解思考如果向量a與b的夾角是90°，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b?；ハ啻怪钡膬蓚€向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？梳理把一個向量分解為________________的向量，叫作把向量正交分解．知識點二平面向量的坐標(biāo)表示思考1如圖，向量i，j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且｜a｜＝4,以向量i，j為基底，如何表示向量a？思考2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，給定點A的坐標(biāo)為A(1，1），則A點位置確定了嗎？給定向量a的坐標(biāo)為a＝(1，1)，則向量a的位置確定了嗎?思考3設(shè)向量eq\o（BC,\s\up6(→)）＝(1,1),O為坐標(biāo)原點，若將向量eq\o（BC，\s\up6（→))平移到eq\o(OA,\s\up6(→))，則eq\o（OA,\s\up6（→))的坐標(biāo)是多少？A點坐標(biāo)是多少？梳理(1）平面向量的坐標(biāo)①在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個____________i、j作為基底．對于平面內(nèi)的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y,使得a＝xi＋yj.我們把實數(shù)對（x,y）叫作向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x,y)．②在平面直角坐標(biāo)平面中，i＝（1,0），j＝（0,1），0＝（0，0)．（2)點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別表示形式不同向量a＝(x，y）中間用等號連接，而點A（x，y)中間沒有等號意義不同點A(x，y）的坐標(biāo)（x，y）表示點A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a＝(x，y）的坐標(biāo)（x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外（x，y）既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點（x，y）或向量（x，y）聯(lián)系當(dāng)平面向量的始點在原點時，平面向量的坐標(biāo)與向量終點的坐標(biāo)相同知識點三平面向量的坐標(biāo)運算思考設(shè)i、j是分別與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設(shè)a＝（x1，y1），b＝(x2，y2)，則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j,根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)，向量a＋b,a－b，λa（λ∈R）如何分別用基底i、j表示？梳理設(shè)a＝(x1,y1）,b＝(x2，y2），A(x1，y1),B(x2，y2)．?dāng)?shù)學(xué)公式文字語言表述向量加、減法a±b＝(x1±x2，y1±y2）向量和與差的坐標(biāo)分別等于各向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差向量數(shù)乘λa＝（λx1，λy1)實數(shù)與向量積的坐標(biāo)分別等于實數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積向量坐標(biāo)eq\o（AB，\s\up6（→））＝(x2－x1,y2－y1)一個向量的坐標(biāo)等于其終點的坐標(biāo)減去始點的相應(yīng)坐標(biāo)類型一平面向量的坐標(biāo)表示例1如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,OA＝4，AB＝3,∠AOx＝45°，∠OAB＝105°,eq\o（OA，\s\up6(→））＝a，eq\o（AB,\s\up6(→)）＝b。四邊形OABC為平行四邊形．(1)求向量a，b的坐標(biāo)；（2)求向量eq\o(BA，\s\up6（→））的坐標(biāo);(3）求點B的坐標(biāo)．反思與感悟在表示點、向量的坐標(biāo)時，可利用向量的相等、加減法運算等求坐標(biāo)，也可以利用向量、點的坐標(biāo)的定義求坐標(biāo)．一般利用不等式思想求解，即把問題條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組），再解不等式（組)就可以求得參數(shù)的取值范圍．跟蹤訓(xùn)練1已知邊長為2的正三角形ABC，頂點A在坐標(biāo)原點，AB邊在x軸上，點C在第一象限，D為AC的中點，分別求向量eq\o(AB，\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→)），eq\o(BC，\s\up6（→)），eq\o(BD，\s\up6（→))的坐標(biāo)．類型二平面向量的坐標(biāo)運算例2已知A（－2,4），B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB，\s\up6（→)）＝a，eq\o（BC，\s\up6(→））＝b，eq\o(CA，\s\up6（→)）＝c.（1)求3a＋b－3c；（2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n的值．反思與感悟向量坐標(biāo)運算的方法(1）若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進(jìn)行．（2）若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算．(3）向量的線性坐標(biāo)運算可完全類比數(shù)的運算進(jìn)行．跟蹤訓(xùn)練2已知a＝(－1，2），b＝(2，1),求：(1）2a＋3b;(2）a－3b；（3）eq\f(1，2）a－eq\f(1,3）b.類型三平面向量坐標(biāo)運算的應(yīng)用例3已知點A（2,3），B（5,4）,C（7，10)．若eq\o（AP，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6（→)）(λ∈R），試求當(dāng)λ為何值時：（1)點P在第一、三象限的角平分線上；（2)點P在第三象限內(nèi)．反思與感悟(1)待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一，實質(zhì)是先將未知量設(shè)出來，建立方程（組)求出未知數(shù)的值，是待定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應(yīng)用．（2)坐標(biāo)形式下向量相等的條件：相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相等;對應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量．由此可建立相等關(guān)系求某些參數(shù)的值．跟蹤訓(xùn)練3已知向量a＝（2，1)，b＝（1,－2)，若ma＋nb＝(9，－8）（m，n∈R)，則m－n的值為________．1．設(shè)平面向量a＝（3，5），b＝（－2，1），則a－2b等于（）A．(7,3）B．(7，7)C．(1，7）D．（1,3)2．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→））＝(3，－2），eq\o(OB,\s\up6（→))＝（－5，－1)，則向量eq\f(1,2）eq\o(AB，\s\up6(→)）的坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－4，\f(1，2）)) B。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,－\f(1,2））)C．（－8，1) D．(8,1)3．已知四邊形ABCD的三個頂點A（0，2），B（－1，－2），C（3,1）,且eq\o(BC，\s\up6（→））＝2eq\o（AD，\s\up6（→))，則頂點D的坐標(biāo)為()A。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2，\f（7，2))）B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2,－\f（1，2）））C．（3，2）D．(1,3)4．已知點A(0,1）,B(3,2）,向量eq\o（AC,\s\up6(→)）＝（－4，－3）,則向量eq\o(BC,\s\up6（→）)等于()A．(－7,－4）B．(7，4)C．（－1，4)D．（1，4）5．如圖，在6×6的方格紙中,若起點和終點均在格點的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb（x，y∈R)，則x＋y＝________.1．向量的正交分解是把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)．向量的坐標(biāo)表示,溝通了向量“數(shù)”與“形”的特征,使向量運算完全代數(shù)化．2．要區(qū)分向量終點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)．由于向量的起點可以任意選取,如果一個向量的起點是坐標(biāo)原點，這個向量終點的坐標(biāo)就是這個向量的坐標(biāo)；若向量的起點不是原點，則向量的終點坐標(biāo)不是向量的坐標(biāo)，此時eq\o（AB,\s\up6(→）)＝（xB－xA，yB－yA)．3．向量和、差的坐標(biāo)就是它們對應(yīng)向量坐標(biāo)的和、差，數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于這個實數(shù)與原來向量坐標(biāo)的積．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考互相垂直的兩個向量能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底．梳理兩個互相垂直知識點二思考1a＝2eq\r（3)i＋2j。思考2對于A點,若給定坐標(biāo)為A（1，1）,則A點位置確定．對于向量a，給定a的坐標(biāo)為a＝（1,1)，此時給出了a的方向和大小，但因為向量的位置由起點和終點確定，且向量可以任意平移,因此a的位置還與其起點有關(guān)，所以不確定．思考3向量eq\o（OA,\s\up6(→）)的坐標(biāo)為eq\o(OA，\s\up6(→))＝（1,1)，A點坐標(biāo)為A（1，1）．梳理（1)①單位向量知識點三思考a＋b＝(x1＋x2）i＋（y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2）j，λa＝λx1i＋λy1j.題型探究例1解（1）作AM⊥x軸于點M，則OM＝OA·cos45°＝4×eq\f(\r(2),2）＝2eq\r(2)，AM＝OA·sin45°＝4×eq\f（\r（2),2）＝2eq\r（2）.∴A(2eq\r(2）,2eq\r(2）)，故a＝(2eq\r（2），2eq\r(2)）．∵∠AOC＝180°－105°＝75°,∠AOy＝45°,∴∠COy＝30°.又∵OC＝AB＝3，∴Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3，2）,\f(3\r(3），2))）,∴eq\o(AB，\s\up6(→））＝eq\o(OC，\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(3,2)，\f（3\r(3），2))）,即b＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3，2)，\f(3\r（3),2)))。（2)eq\o(BA，\s\up6（→）)＝－eq\o（AB，\s\up6（→）)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3,2），－\f（3\r(3)，2))).（3）eq\o(OB，\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6（→)）＋eq\o(AB，\s\up6(→))＝(2eq\r(2),2eq\r（2））＋(－eq\f（3，2)，eq\f（3\r(3），2）)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2\r（2）－\f(3，2),2\r(2）＋\f（3\r（3），2)））。跟蹤訓(xùn)練1解如圖,正三角形ABC的邊長為2，則頂點A(0，0），B（2，0)，C（2cos60°，2sin60°），∴C(1，eq\r（3）),D（eq\f(1,2)，eq\f（\r（3)，2))．∴eq\o（AB，\s\up6（→))＝(2，0）,eq\o(AC，\s\up6(→）)＝(1，eq\r(3）)，eq\o(BC，\s\up6（→))＝(1－2，eq\r(3)－0）＝(－1,eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝（eq\f（1，2)－2，eq\f（\r(3)，2)－0）＝（－eq\f(3，2）,eq\f（\r(3），2））．例2解由已知得a＝(5，－5），b＝（－6，－3)，c＝（1，8)．（1）3a＋b－3c＝3(5，－5）＋(－6，－3）－3（1,8）＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42）．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n）＝a＝(5，－5）,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5,,－3m＋8n＝－5，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝－1，，n＝－1.)）跟蹤訓(xùn)練2解(1)2a＋3b＝2（－1，2)＋3(2,1）＝（－2,4)＋(6,3)＝(4,7）．(2)a－3b＝（－1,2）－3（2,1）＝(－1，2）－（6,3)＝（－7，－1）．（3)eq\f（1，2)a－eq\f（1，3)b＝eq\f（1,2)（－1，2）－eq\f(1,3）(2，1)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)）－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1，3)))＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(7,6），\f（2，3))）.例3解設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y)，則eq\o(AP，\s\up6(→))＝(x，y）－（2,3)＝(x－2,y－3),eq\o(AB,\s\up6（→))＋λeq\o（AC,\s\up6(→））＝(5,4）－（2,3）＋λ[(7，10）－(2,3）]＝（3,1)＋λ（5，7）＝（3＋5λ，1＋7λ)．∵eq\o（AP,\s\up6(→））＝eq\o（AB，\s\up6(→）)＋λeq\o(AC，\s\up6(→))，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，，y－3＝1＋7λ，）)則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝5＋5λ，，y＝4＋7λ。））(1)若點P在