2017-2018版高中數(shù)學第二章平面向量4.1平面向量的坐標表示4.2平面向量線性運算的坐標表示學案4

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4．1平面向量的坐標表示4．2平面向量線性運算的坐標表示學習目標1。了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標表示。2.掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標運算法則。3。正確理解向量坐標的概念，要把點的坐標與向量的坐標區(qū)分開來．知識點一平面向量的正交分解思考如果向量a與b的夾角是90°，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b。互相垂直的兩個向量能否作為平面內所有向量的一組基底？梳理把一個向量分解為________________的向量，叫作把向量正交分解．知識點二平面向量的坐標表示思考1如圖，向量i，j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且｜a｜＝4,以向量i，j為基底，如何表示向量a？思考2在平面直角坐標系內，給定點A的坐標為A(1，1），則A點位置確定了嗎？給定向量a的坐標為a＝(1，1)，則向量a的位置確定了嗎?思考3設向量eq\o（BC,\s\up6(→)）＝(1,1),O為坐標原點，若將向量eq\o（BC，\s\up6（→))平移到eq\o(OA,\s\up6(→))，則eq\o（OA,\s\up6（→))的坐標是多少？A點坐標是多少？梳理(1）平面向量的坐標①在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個____________i、j作為基底．對于平面內的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y,使得a＝xi＋yj.我們把實數(shù)對（x,y）叫作向量a的坐標，記作a＝(x,y)．②在平面直角坐標平面中，i＝（1,0），j＝（0,1），0＝（0，0)．（2)點的坐標與向量坐標的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別表示形式不同向量a＝(x，y）中間用等號連接，而點A（x，y)中間沒有等號意義不同點A(x，y）的坐標（x，y）表示點A在平面直角坐標系中的位置，a＝(x，y）的坐標（x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外（x，y）既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應指明點（x，y）或向量（x，y）聯(lián)系當平面向量的始點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同知識點三平面向量的坐標運算思考設i、j是分別與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設a＝（x1，y1），b＝(x2，y2)，則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j,根據(jù)向量的線性運算性質，向量a＋b,a－b，λa（λ∈R）如何分別用基底i、j表示？梳理設a＝(x1,y1）,b＝(x2，y2），A(x1，y1),B(x2，y2)．數(shù)學公式文字語言表述向量加、減法a±b＝(x1±x2，y1±y2）向量和與差的坐標分別等于各向量相應坐標的和與差向量數(shù)乘λa＝（λx1，λy1)實數(shù)與向量積的坐標分別等于實數(shù)與向量的相應坐標的乘積向量坐標eq\o（AB，\s\up6（→））＝(x2－x1,y2－y1)一個向量的坐標等于其終點的坐標減去始點的相應坐標類型一平面向量的坐標表示例1如圖,在平面直角坐標系xOy中,OA＝4，AB＝3,∠AOx＝45°，∠OAB＝105°,eq\o（OA，\s\up6(→））＝a，eq\o（AB,\s\up6(→)）＝b。四邊形OABC為平行四邊形．(1)求向量a，b的坐標；（2)求向量eq\o(BA，\s\up6（→））的坐標;(3）求點B的坐標．反思與感悟在表示點、向量的坐標時，可利用向量的相等、加減法運算等求坐標，也可以利用向量、點的坐標的定義求坐標．一般利用不等式思想求解，即把問題條件轉化為關于參數(shù)的不等式(組），再解不等式（組)就可以求得參數(shù)的取值范圍．跟蹤訓練1已知邊長為2的正三角形ABC，頂點A在坐標原點，AB邊在x軸上，點C在第一象限，D為AC的中點，分別求向量eq\o(AB，\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→)），eq\o(BC，\s\up6（→)），eq\o(BD，\s\up6（→))的坐標．類型二平面向量的坐標運算例2已知A（－2,4），B(3，－1)，C(－3，－4)．設eq\o(AB，\s\up6（→)）＝a，eq\o（BC，\s\up6(→））＝b，eq\o(CA，\s\up6（→)）＝c.（1)求3a＋b－3c；（2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n的值．反思與感悟向量坐標運算的方法(1）若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行．（2）若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算．(3）向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行．跟蹤訓練2已知a＝(－1，2），b＝(2，1),求：(1）2a＋3b;(2）a－3b；（3）eq\f(1，2）a－eq\f(1,3）b.類型三平面向量坐標運算的應用例3已知點A（2,3），B（5,4）,C（7，10)．若eq\o（AP，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6（→)）(λ∈R），試求當λ為何值時：（1)點P在第一、三象限的角平分線上；（2)點P在第三象限內．反思與感悟(1)待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學方法之一，實質是先將未知量設出來，建立方程（組)求出未知數(shù)的值，是待定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應用．（2)坐標形式下向量相等的條件：相等向量的對應坐標相等;對應坐標相等的向量是相等向量．由此可建立相等關系求某些參數(shù)的值．跟蹤訓練3已知向量a＝（2，1)，b＝（1,－2)，若ma＋nb＝(9，－8）（m，n∈R)，則m－n的值為________．1．設平面向量a＝（3，5），b＝（－2，1），則a－2b等于（）A．(7,3）B．(7，7)C．(1，7）D．（1,3)2．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→））＝(3，－2），eq\o(OB,\s\up6（→))＝（－5，－1)，則向量eq\f(1,2）eq\o(AB，\s\up6(→)）的坐標是()A.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－4，\f(1，2）)) B。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,－\f(1,2））)C．（－8，1) D．(8,1)3．已知四邊形ABCD的三個頂點A（0，2），B（－1，－2），C（3,1）,且eq\o(BC，\s\up6（→））＝2eq\o（AD，\s\up6（→))，則頂點D的坐標為()A。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2，\f（7，2))）B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2,－\f（1，2）））C．（3，2）D．(1,3)4．已知點A(0,1）,B(3,2）,向量eq\o（AC,\s\up6(→)）＝（－4，－3）,則向量eq\o(BC,\s\up6（→）)等于()A．(－7,－4）B．(7，4)C．（－1，4)D．（1，4）5．如圖，在6×6的方格紙中,若起點和終點均在格點的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb（x，y∈R)，則x＋y＝________.1．向量的正交分解是把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，是向量坐標表示的理論依據(jù)．向量的坐標表示,溝通了向量“數(shù)”與“形”的特征,使向量運算完全代數(shù)化．2．要區(qū)分向量終點的坐標與向量的坐標．由于向量的起點可以任意選取,如果一個向量的起點是坐標原點，這個向量終點的坐標就是這個向量的坐標；若向量的起點不是原點，則向量的終點坐標不是向量的坐標，此時eq\o（AB,\s\up6(→）)＝（xB－xA，yB－yA)．3．向量和、差的坐標就是它們對應向量坐標的和、差，數(shù)乘向量的坐標等于這個實數(shù)與原來向量坐標的積．

答案精析問題導學知識點一思考互相垂直的兩個向量能作為平面內所有向量的一組基底．梳理兩個互相垂直知識點二思考1a＝2eq\r（3)i＋2j。思考2對于A點,若給定坐標為A（1，1）,則A點位置確定．對于向量a，給定a的坐標為a＝（1,1)，此時給出了a的方向和大小，但因為向量的位置由起點和終點確定，且向量可以任意平移,因此a的位置還與其起點有關，所以不確定．思考3向量eq\o（OA,\s\up6(→）)的坐標為eq\o(OA，\s\up6(→))＝（1,1)，A點坐標為A（1，1）．梳理（1)①單位向量知識點三思考a＋b＝(x1＋x2）i＋（y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2）j，λa＝λx1i＋λy1j.題型探究例1解（1）作AM⊥x軸于點M，則OM＝OA·cos45°＝4×eq\f(\r(2),2）＝2eq\r(2)，AM＝OA·sin45°＝4×eq\f（\r（2),2）＝2eq\r（2）.∴A(2eq\r(2）,2eq\r(2）)，故a＝(2eq\r（2），2eq\r(2)）．∵∠AOC＝180°－105°＝75°,∠AOy＝45°,∴∠COy＝30°.又∵OC＝AB＝3，∴Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3，2）,\f(3\r(3），2))）,∴eq\o(AB，\s\up6(→））＝eq\o(OC，\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(3,2)，\f（3\r(3），2))）,即b＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3，2)，\f(3\r（3),2)))。（2)eq\o(BA，\s\up6（→）)＝－eq\o（AB，\s\up6（→）)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3,2），－\f（3\r(3)，2))).（3）eq\o(OB，\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6（→)）＋eq\o(AB，\s\up6(→))＝(2eq\r(2),2eq\r（2））＋(－eq\f（3，2)，eq\f（3\r(3），2）)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2\r（2）－\f(3，2),2\r(2）＋\f（3\r（3），2)））。跟蹤訓練1解如圖,正三角形ABC的邊長為2，則頂點A(0，0），B（2，0)，C（2cos60°，2sin60°），∴C(1，eq\r（3）),D（eq\f(1,2)，eq\f（\r（3)，2))．∴eq\o（AB，\s\up6（→))＝(2，0）,eq\o(AC，\s\up6(→）)＝(1，eq\r(3）)，eq\o(BC，\s\up6（→))＝(1－2，eq\r(3)－0）＝(－1,eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝（eq\f（1，2)－2，eq\f（\r(3)，2)－0）＝（－eq\f(3，2）,eq\f（\r(3），2））．例2解由已知得a＝(5，－5），b＝（－6，－3)，c＝（1，8)．（1）3a＋b－3c＝3(5，－5）＋(－6，－3）－3（1,8）＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42）．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n）＝a＝(5，－5）,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5,,－3m＋8n＝－5，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝－1，，n＝－1.)）跟蹤訓練2解(1)2a＋3b＝2（－1，2)＋3(2,1）＝（－2,4)＋(6,3)＝(4,7）．(2)a－3b＝（－1,2）－3（2,1）＝(－1，2）－（6,3)＝（－7，－1）．（3)eq\f（1，2)a－eq\f（1，3)b＝eq\f（1,2)（－1，2）－eq\f(1,3）(2，1)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)）－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1，3)))＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(7,6），\f（2，3))）.例3解設點P的坐標為（x,y)，則eq\o(AP，\s\up6(→))＝(x，y）－（2,3)＝(x－2,y－3),eq\o(AB,\s\up6（→))＋λeq\o（AC,\s\up6(→））＝(5,4）－（2,3）＋λ[(7，10）－(2,3）]＝（3,1)＋λ（5，7）＝（3＋5λ，1＋7λ)．∵eq\o（AP,\s\up6(→））＝eq\o（AB，\s\up6(→）)＋λeq\o(AC，\s\up6(→))，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，，y－3＝1＋7λ，）)則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝5＋5λ，，y＝4＋7λ。））(1)若點P在