第二章運動定律和力學(xué)中的守恒律

牛頓第二章運動定律和力學(xué)中的守恒律

前言§2-1牛頓運動定律*§2-2非慣性系慣性力§2-3動量動量守恒定律

§2-4功動能勢能機械能守恒定律

*§2-5角動量角動量守恒定律*§2-6剛體的定軸轉(zhuǎn)動*§2-7理想流體的伯努利方程1§2－1牛頓運動定律2.1.1慣性定律慣性參照系在運動的描述中，各種參考系都是等價的。但實驗表明，動力學(xué)規(guī)律并非是在任何參考系中都成立。這就引出了慣性參考系的問題。1、慣性定律“孤立質(zhì)點”的模型：不受其它物體作用或離其他物體都足夠遠的質(zhì)點。例如，太空中一遠離所有星體的飛船。慣性定律：一孤立質(zhì)點將永遠保持其原來靜止或勻速直線運動狀態(tài)。2BA靜止時AB慣性和慣性運動慣性運動：物體不受外力作用時所作的運動。問題的提出：慣性定律是否在任何參照系中都成立？慣性：任何物體都有保持其原有運動狀態(tài)的特性，慣性是物質(zhì)固有的屬性。慣性和第一定律的發(fā)現(xiàn)，使人們最終把運動和力分離開來。２、慣性系和非慣性系左圖中，地面觀察者和車中觀察者對于慣性定律運用的認(rèn)知相同嗎？3

什么是慣性系：孤立物體相對于某參照系為靜止或作勻速直線運動時，該參照系為慣性系。如何確定慣性系──只有通過力學(xué)實驗。*1地球是一個近似程度很好的慣性系但相對于已知慣性系作勻速直線運動的參照系也是慣性系。一切相對于已知慣性系作加速運動的參照系為非慣性系。*2太陽是一個精度很高的慣性系太陽對銀河系核心的加速度為馬赫認(rèn)為：所謂慣性系，其實質(zhì)應(yīng)是相對于整個宇宙的平均加速度為零的參照系──因此，慣性系只能無限逼近，而無最終的慣性系。4※牛頓第二定律：物體受到外力作用時，它所獲得加速度的大小與合外力的大小成正比；與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與合外力F

的方向相同。比例系數(shù)k與單位制有關(guān)，在國際單位制中k=1。2.1.2牛頓第二定律慣性質(zhì)量引力質(zhì)量其數(shù)學(xué)形式為２o物體之間的四種基本相互作用；arxiv:1001.07851、關(guān)于力的概念１o力是物體與物體間的相互作用，這種作用可使物體產(chǎn)生形變，也可使物體獲得加速度。力的概念是物質(zhì)的相互作用在經(jīng)典物理中的一種表述。53o

力的疊加原理若一個物體同時受到幾個力作用，則合力產(chǎn)生的加速度，等于這些力單獨存在時所產(chǎn)生的加速度之矢量和。力的疊加原理的成立，不能自動地導(dǎo)致運動的疊加。2、關(guān)于質(zhì)量的概念

3、牛頓第二定律給出了力、質(zhì)量、加速度三者間瞬時的定量關(guān)系１o質(zhì)量是物體慣性大小的量度：２o引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的問題：調(diào)節(jié)引力常數(shù)Ｇ，使m引，m慣的比值為1。慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量等價是廣義相對論的出發(fā)點之一。62.1.3牛頓第三定律

1o作用力與反作用力是分別作用在兩個物體上的，不是一對平衡力。2o作用力與反作用力是同一性質(zhì)的力。3o若A給B一個作用，則A受到的反作用只能是B給予的。*：牛頓第三定律只在實物物體之間，且運動速度遠小于光速時才成立。72.1.4牛頓定律的應(yīng)用1、牛頓定律只適用于慣性系；在平面直角坐標(biāo)系在平面自然坐標(biāo)系2、牛頓定律只適用于質(zhì)點模型；3、具體應(yīng)用時，要寫成坐標(biāo)分量式。8若F=常量，則若F=F(v)

，則

若F=F(r)

，則

４、要根據(jù)力函數(shù)的形式選用不同的方程形式運用舉例：9

[例題1]

阿特伍德機可求得加速度與物體質(zhì)量以及重力加速度的關(guān)系，用于驗證牛頓定律。

[解]由牛頓第二定律因繩子不伸長，有求導(dǎo)，得，又因得到最后解出10一個有趣的例子：誰先到達？11

例2：質(zhì)量為m的小球，在水中受的浮力為常力F，當(dāng)它從靜止開始沉降時，受到水的粘滯阻力為f=kv

(k為常數(shù)），證明小球在水中豎直沉降的速度v與時間t的關(guān)系為fFmgax式中t為從沉降開始計算的時間證明：取坐標(biāo)，作受力圖。根據(jù)牛頓第二定律，有12初始條件：t=0時v=013

例3．質(zhì)量為M＝0.01kg的小環(huán)在—剛度系數(shù)為20N/m

的彈簧作用下沿一光滑彎管滑下，在圖中所示的位置上小環(huán)速率為20cｍ/s，求在此處小環(huán)的加速度及環(huán)對管子的壓力．彈簧自然伸展的長度為50cm。142.3.1質(zhì)點的動量定理１、動量的引入在牛頓力學(xué)中，物體的質(zhì)量可視為常數(shù)故即§2-3動量動量守恒定律力的瞬時效應(yīng)→力的積累效應(yīng)──加速度：牛頓定律15１）式中 叫做動量，是物體運動量的量度。２）動量 是矢量，方向與 同；動量是相對量，與參照系的選擇有關(guān)。 ２、沖量的概念１）恒力的沖量２）變力的沖量此時沖量的方向不能由某瞬時力的方向來決定。

指兩個物體相互作用持續(xù)一段時間的過程中，在物體間傳遞著的物理量。力在某一段時間間隔內(nèi)的沖量沖量的方向與力的方向相同。作用力F＝恒量，作用時間t1t2，力對質(zhì)點的沖量，16即其表示：物體所受外力的沖量等于物體動量的增量。3、質(zhì)點的動量定理在直角坐標(biāo)系中的分量式17平均沖力概念１）峰值沖力的估算ff0tt+△tt３）當(dāng)相互作用時間極短，相互間沖力極大，此時某些有限主動外力（如重力等）可忽略不計。

４、動量定理的應(yīng)用２）當(dāng)動量的變化是常量時，有182.3.2質(zhì)點系的動量定理1、內(nèi)力與外力

i質(zhì)點所受的內(nèi)力i質(zhì)點所受合力2、i質(zhì)點動量定理193、質(zhì)點系的動量定理（對i求和）因為內(nèi)力成對出現(xiàn)這說明內(nèi)力對系統(tǒng)的總動量無貢獻，但對每個質(zhì)點動量的增減是有影響的。20質(zhì)點系合外力的沖量=質(zhì)點系動量的增量。于是有或212.3.3質(zhì)點系的動量守恒定律若系統(tǒng)所受的合外力系統(tǒng)總動量守恒

一個孤立的力學(xué)系統(tǒng)（即無外力作用的系統(tǒng)）或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量可以交換，但系統(tǒng)的總動量保持不變。這就是動量守恒定律。

注意：動量守恒式是矢量式(1)守恒條件是而不是22若，但若某一方向的合外力零，則該方向上 動量守恒；

(3)必須把系統(tǒng)內(nèi)各量統(tǒng)一到同一慣性系中；

(4)若作用時間極短，而系統(tǒng)又只受重力作用，則可略去重力，運用動量守恒。(2)若

表示系統(tǒng)與外界無動量交換，表示系統(tǒng)與外界的動量交換為零。則系統(tǒng)無論沿那個方向的動量都守恒；23

例4：一戰(zhàn)車置于無摩擦的鐵軌上，車身質(zhì)量為m1，炮彈質(zhì)量為m2，炮筒與水平面夾角，炮彈以相對于炮口的速度射出，求炮身后坐速率。

[解]水平方向的動量可看作近似守恒，有解出242.4.1功功率1、恒力的功

即某力的功等于力與質(zhì)點在該力作用下位移的標(biāo)積。

(中學(xué)）力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘積。

由矢量標(biāo)積定義式，有§2-４功動能勢能

252、

變力的功１）力的元功

XYZObaL物體在變力的作用下從a運動到b

b262）變力在一段有限位移上的功功的直角坐標(biāo)系表示式因為功是標(biāo)量，所以總功等于各方向上的分量之代數(shù)和。27★一對作用力與反作用力的功只與相對位移有關(guān)0所以一般情況下

式中drij為相對位移28３、功率

單位時間內(nèi)所作的功稱為功率

功率的單位：在SI制中為瓦特（w）

29

重力的功力函數(shù)

元位移

4、保守力的功12y2y130彈簧彈性力的功力函數(shù)元位移oXo31萬有引力的功

由圖知元位移

力函數(shù)

Mm321)保守力如重力、彈簧彈性力、萬有引力、靜電力、分子作用力等均為保守力。即保守力沿任一閉合路徑的功為零。abcc/

如果某力的功只與始末位置有關(guān)而與具體路徑無關(guān)，則該力謂之保守力。33LmS+保守力的共同特征：a、力函數(shù)或為常數(shù)，或者僅為位置的函數(shù)；

b、保守力的功總是“原函數(shù)”增量的負(fù)值。

2)非保守力若力的功值與具體路徑有關(guān),則為非保守力，

如摩擦力、爆炸力等。如在一水平面上342.4.2動能定理1、動能是一個獨立的物理量，與力在空間上的積累效應(yīng)對應(yīng)?！镞@說明又，m為常數(shù)35★是質(zhì)點作機械運動時所具有的能量的量度，稱之為動能；★是狀態(tài)量，相對量，與參照系的選取有關(guān)。

2、動能定理或即，作用于物體上合外力的功等于物體動能的增量。合力對質(zhì)點作用一段距離所產(chǎn)生的積累作用，從而導(dǎo)致動能的有限變化。36動能與動量的區(qū)別引入兩種度量作用37例2.10一質(zhì)量為10kg的物體沿x軸無摩擦地滑動，t＝0時物體靜止于原點，(1)若物體在力F＝3＋4tN的作用下運動了3s，它的速度增為多大？(2)物體在力F＝3＋4xN的作用下移動了3m，它的速度增為多大？解(1)由動量定理

，得(2)由動能定理，得382.4.3勢能描述機械運動的狀態(tài)參量是

對應(yīng)于：

彈簧彈性力的功

萬有引力的功重力的功

1、勢函數(shù)為此我們回顧一下保守力的功39

由上所列保守力的功的特點可知，其功值僅取決于物體初、終態(tài)的相對位置，故可引入一個由相對位置決定的函數(shù)；由定積分轉(zhuǎn)換成不定積分，則是

式中c為積分常數(shù)，在此處是一個與勢能零點的選取相關(guān)的量。

又由于功是體系能量改變量的量度。因此，這個函數(shù)必定具有能量的性質(zhì)；而這個具有能量性質(zhì)的函數(shù)又是由物體相對位置所決定，故把這種能量稱之為勢能（或曰位能），用ＥＰ表示。則有：402、已知保守力求勢能函數(shù)

彈性勢能：

保守力的力函數(shù)若取坐標(biāo)原點，即彈簧原長處，為勢能零點，則c=0于是

重力勢能保守力的力函數(shù)若取坐標(biāo)原點為勢能零點，則c=0

41引力勢能保守力的力函數(shù)

若取無窮遠處為引力勢能零點，則

勢能函數(shù)的一般特點rij1)對應(yīng)于每一種保守力都可引進一種相關(guān)的勢能；2)勢能大小是相對量，與所選取的勢能零點有關(guān)；3)一對保守力的功等于相關(guān)勢能增量的負(fù)值；4)勢能是彼此以保守力作用的系統(tǒng)所共有。

422.4.4質(zhì)點系的動能定理與功能原理1、質(zhì)點系的動能定理

質(zhì)點系的內(nèi)力和外力對于單個質(zhì)點

43

對i

求和—質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系總動能的增量等于外力的功與質(zhì)點系內(nèi)部保守力的功、非保守力的功三者之和。44若引入(機械能）則可得

系統(tǒng)機械能的增量等于外力的功與內(nèi)部非保守力功之和。2、功能原理由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，而對每一對內(nèi)部保守力均有

45２）功能原理只適用于慣性系（從牛頓定律導(dǎo)出)；3)具體應(yīng)用時，一是要指明系統(tǒng)，二是要交待相關(guān)的勢能零點；注意的問題：１）功能原理是屬于質(zhì)點系的規(guī)律（因涉及ＥP），與質(zhì)點系的動能定理不同；質(zhì)點系動能定理質(zhì)點系功能原理4）當(dāng)質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點有相對運動時，注意將各量統(tǒng)一到同一慣性系中。462.4.5機械能守恒定律由功能原理可知機械能守恒的條件：系統(tǒng)與外界無機械能的交換；系統(tǒng)內(nèi)部無機械能與其他能量形式的轉(zhuǎn)換。

當(dāng)系統(tǒng)機械能守恒時，應(yīng)有即系統(tǒng)內(nèi)，動能的增量＝勢能增量的負(fù)值若和,則系統(tǒng)的機械能保持不變。472.4.6能量轉(zhuǎn)換與守恒定律在一個孤立的系統(tǒng)內(nèi)，各種形態(tài)的能量可以相互轉(zhuǎn)換，但無能怎樣轉(zhuǎn)換，這個系統(tǒng)的總能量將始終保持不變。48解由題知，雖然力的大小不變，但其方向在不斷變化，故仍然是變力做功.如題圖所示，以岸邊為坐標(biāo)原點，向左為x軸正向，則力F在坐標(biāo)為x處的任一小段元位移dx上所做元功為即

例2.8在離水面高為H的岸上，有人用大小不變的力F拉繩使船靠岸，如圖2.21所示，求船從離岸

處移到

處的過程中，力F對船所做的功.由于，所以F做正功.49解如圖2.26所示，設(shè)子彈對沙箱作用力為f′，沙箱位移為s；沙箱對子彈作用力為f，子彈的位移為s＋l，f＝－f′.A＝－f(s＋l)＋f′s＝－fl≠0說明沙箱對子彈做功－f(s＋l)與子彈對沙箱做的功f′s＝－f

s兩者不相等；而這一對內(nèi)力做功之和不為零，它等于子彈與沙箱組成的系統(tǒng)的機械能的損失.損失的機械能轉(zhuǎn)化為熱能.則這一對內(nèi)力的功例2.13在光滑的水平臺面上放有質(zhì)量為M的沙箱，一顆從左方飛來質(zhì)量為m的彈丸從箱左側(cè)擊入，在沙箱中前進一段距離l后停止.在這段時間內(nèi)沙箱向右運動的距離為s，此后沙箱帶著彈丸以勻速運動.求此過程中內(nèi)力所做的功.(假定子彈所受阻力為一恒力)50例2.15試分析航天器的三種宇宙速度.解(1)第一宇宙速度.航天器繞地球運動所需的最小速度稱為第一宇宙速度.以地心為原點，航天器在距地心為r處繞地球作圓周運動的速度為

，則有式中為地球表面處的重力加速度.若r＝R時，則這就是第一宇宙速度.51這就是第二宇宙速度.(2)第二宇宙速度.在地球表面處的航天器要脫離地球引力范圍而必須具有的最小速度，稱為第二宇宙速度.以地球和航天器為一系統(tǒng)，航天器在地球表面處的引力勢能為，動能為，航天器能脫離地球時，地球的引力可忽略不計，系統(tǒng)勢能為零，動能的最小量為零，由機械能守恒定律，有52力學(xué)第四章動能和勢能*對心碰撞·非對心碰撞

一、碰撞的特點和簡化處理①碰撞時間短，相互作用強，可不考慮外界的影響；

②碰撞前后狀態(tài)變化突然且明顯，可以認(rèn)為：速度發(fā)生變化，但位置不發(fā)生變化。二、對心碰撞1.

對心碰撞：碰撞前后的速度都沿兩球的連心線，也叫一維碰撞。53力學(xué)第四章動能和勢能2.碰撞過程：

①壓縮過程：從兩小球開始接觸到兩小球達到共同速度。（b）和（c）圖，特點：②恢復(fù)過程：從共同速度到分離的過程。（d）（e）圖，特點：（恢復(fù)沖量）54力學(xué)第四章動能和勢能3.牛頓碰撞公式實驗表明：對于材料一定的球，碰撞后分開的相對速度與碰撞前接近的相對速度成正比，比值稱為恢復(fù)系數(shù)：完全彈性碰撞：彈性形變→動勢能相互轉(zhuǎn)化非完全彈性碰撞：塑性形變→機械能有損失完全非彈性碰撞：→機械能有損失55力學(xué)第四章動能和勢能4.完全彈性碰撞（）動量守恒：（1）機械能守恒：（2）56力學(xué)第四章動能和勢能5.完全非彈性碰撞（）動量守恒：損失的動能：57力學(xué)第四章動能和勢能6.非完全彈性碰撞（）動量守恒：58力學(xué)第四章動能和勢能三、非對心碰撞定義：如果兩球相碰之前的速度不沿它們的中心連線，叫非對心碰撞，也叫斜碰。x

方向：y方向：59力學(xué)第四章動能和勢能例題：

1、一質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來，使彈簧伸長10cm，今有一質(zhì)量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開始落進框架。求此框架向下移動的最大距離。彈簧質(zhì)量不計，空氣阻力不計。60力學(xué)第四章動能和勢能61力學(xué)第四章動能和勢能

2、質(zhì)量為m1=0.790kg和m2=0.800kg的物體以剛度系數(shù)為10N/m的輕彈簧相連，置于光滑水平桌面上。最初彈簧自由伸張、質(zhì)量為0.01kg的子彈以速度v=100m/s沿水平方向射于m1內(nèi)，問彈簧最多壓縮了多少？

62力學(xué)第四章動能和勢能63第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動5.1剛體的運動學(xué)5.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

5.3轉(zhuǎn)動慣量的計算5.4剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用5.5*轉(zhuǎn)動中的功和能

5.6*對定軸的角動量守恒5.7*進動

64§5.1剛體和剛體的基本運動描述剛體是這樣的一種特殊質(zhì)點系統(tǒng)，它在外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終保持不變大小、形狀不變前面：質(zhì)點（理想模型，無大?。┈F(xiàn)考慮物體大小，但不考慮受力形變-----剛體（理想化的模型）；二、剛體的運動一、剛體剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動或結(jié)合。平動（translation）：各個點的運動都一致，位移、速度、加速度等。當(dāng)剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動。65剛體轉(zhuǎn)動（rotation）：剛體運動時，如果剛體的各個質(zhì)點在運動中都繞同一直線圓周運動，這種運動就叫做轉(zhuǎn)動，這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。

平動d轉(zhuǎn)動復(fù)雜運動=平動+轉(zhuǎn)動66剛體的定軸轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)軸固定）

剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運動，且在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。67特點：

質(zhì)點在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運動；角位移，角速度和角加速度均相同；但質(zhì)點的線速度，線加速度？？角位移角速度角加速度角量與線量的關(guān)系：S=r68特例：勻加速轉(zhuǎn)動，即角加速度β不變假定t=0時刻，角速度為ω0，角位置θ

為0；t時刻分別為ω、θ類似地，與質(zhì)點做勻加速直線運動公式比較！。O69

沿Z

軸分量為對Z軸力矩對O點的力矩：一.力矩§5.2力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動平面70

力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)1）在定軸轉(zhuǎn)動問題中，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。只能引起軸的變形,對轉(zhuǎn)動無貢獻(Mz=0)。討論：轉(zhuǎn)動平面Z71

是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為力臂。2）

3）

對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，在定軸轉(zhuǎn)動中不予考慮。

4）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+、-號表示。轉(zhuǎn)動平面d72二.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用牛頓第二定律，可得：對剛體中任一質(zhì)量元-外力-內(nèi)力沿切向分量式為：ωOO’73用乘以上式左右兩端：

設(shè)剛體由N

個點構(gòu)成，對每個質(zhì)點可寫出上述類似方程，將N

個方程左右相加，得：

根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)(每一對內(nèi)力等值、反向、共線,對同一軸力矩之代數(shù)和為零)，得：74得到：上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以M

表示；右端求和符號內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)無關(guān)，稱為剛體轉(zhuǎn)動慣量，以J表示。于是得到剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律75討論：

（3）J和質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸有關(guān)

J（1）一定，則，M

是