第5講 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2

《控制工程基礎(chǔ)》

BasisofControlEngineering

任課教師：李建民 電話 教學(xué)方式：講授為主

學(xué)習(xí)方式：聽課+自學(xué)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

教學(xué)要求：（教材第二章）主要內(nèi)容：Laplace變換；微分方程模型；系統(tǒng)模型的線性化；傳遞函數(shù)模型、框圖和信號流圖模型及其化簡?；疽螅赫莆湛刂颇Ｐ徒?、線性化、化簡方法。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院第五次課授課內(nèi)容：1）信號流圖模型2）Mason公式化簡3）微分方程與框圖模型流圖模型關(guān)系4）本章總結(jié)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.1引言控制是使被控對象按照我們預(yù)定方式工作控制目的：y(t)r(t)控制器被控

對象預(yù)期輸出r(t)實(shí)際輸出y(t)比較器測量

裝置誤差

e(t)控制量

u(t)被測變量測量值控制要求：快、準(zhǔn)、穩(wěn)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.1引言線性系統(tǒng)輸入R(s)輸出Y(s)微分方程傳遞函數(shù)Laplace變換輸入r(t)輸出y(t)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.6框圖模型及其化簡綜合練習(xí)：例4：求傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)G1G2G3HR(s)Y(s)三種典型結(jié)構(gòu)、信號的前移后移、比較點(diǎn)的前移后移、多輸入法則應(yīng)用等等技巧三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院1.框圖模型與信號流圖模型的區(qū)別與聯(lián)系2.7信號流圖模型及其化簡G(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)G(s)節(jié)點(diǎn)支路Y(s)=G(s)R(s)G(s)支路的增益三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院1.框圖模型與信號流圖模型的區(qū)別與聯(lián)系2.7信號流圖模型及其化簡R1(s)R2(s)Y1(s)Y2(s)G11(s)G21(s)G22(s)G12(s)++++R1(s)R2(s)Y1(s)Y2(s)G11(s)G21(s)G22(s)G12(s)框圖模型和信號流圖模型本質(zhì)上是一樣的，都是描述信號間的代數(shù)關(guān)系。只是采用了不同形式三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡R1(s)R2(s)Y1(s)Y2(s)G11(s)G21(s)G22(s)G12(s)++++R1(s)R2(s)Y1(s)Y2(s)G11(s)G21(s)G22(s)G12(s)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院

2.通路是指從一個信號節(jié)點(diǎn)到另一個信號節(jié)點(diǎn)的一條或多條相連支路構(gòu)成的路徑。2.7信號流圖模型及其化簡a11r1r211a22a21a12x2x1L1L2L3三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院

2.通路用其增益表示，通路增益為其包含的支路增益的乘積。例如：2.7信號流圖模型及其化簡r1到x1通路P1為：r1到x2通路P2為：r2到x1通路P3為：r2到x2通路P4為：三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡

3.回路則是指起始節(jié)點(diǎn)和終止節(jié)點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，且不與其它節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)多于1次的封閉通路。

a11r1r211a22a21a12x2x1L1L2L3三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院

3.回路用其增益表示，回路增益為其包含的支路增益的乘積。例如：2.7信號流圖模型及其化簡x1x1回路L1:x1x2x1回路L2為：x2x2回路L3為：其中回路L1和L3互不接觸三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院

4接觸性是在信號流圖化簡中非常重要的概念。2.7信號流圖模型及其化簡回路L1和L3互不接觸a11r1r211a22a21a12x2x1L1L2L3通路P1和L3不接觸通路P4和L1不接觸三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡5.信號流圖的本質(zhì)：信號間的代數(shù)關(guān)系a11r1r211a22a21a12x2x1L1L2L3框圖模型、信號流圖模型化簡過程本質(zhì)上是矩陣求逆過程。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡5.信號流圖的本質(zhì)：信號間的代數(shù)關(guān)系框圖模型、信號流圖模型化簡過程本質(zhì)上是矩陣求逆過程。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡5.信號流圖的本質(zhì)：信號間的代數(shù)關(guān)系分母只跟回路增益有關(guān)：三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡5.信號流圖的本質(zhì)：信號間的代數(shù)關(guān)系分母只跟回路增益有關(guān)：=1-(所有不同回路的增益之和) +（所有兩兩互不接觸的回路增益乘積之和） -（所有3個互不接觸的回路增益乘積之和） +…稱為流圖特征式三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡5.信號流圖的本質(zhì)：信號間的代數(shù)關(guān)系r1到x1的傳遞函數(shù)：三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡5.信號流圖的本質(zhì)：信號間的代數(shù)關(guān)系r1到x1的傳遞函數(shù)：1：通路P1在中的余因子，是特征式中除去所有與通路P1相接觸的回路增益項后剩下的余因式1：特征余因子三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡5.信號流圖的本質(zhì)：信號間的代數(shù)關(guān)系r1到x2的傳遞函數(shù)：三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡5.信號流圖的本質(zhì)：信號間的代數(shù)關(guān)系r1到x2的傳遞函數(shù)：2：通路P2在中的余因子，是特征式中除去所有與通路P2相接觸的回路增益項后剩下的余因式2：特征余因子三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院6.Mason信號流圖增益公式：2.7信號流圖模型及其化簡Pk：輸入變量到輸出變量第k條前向通路增益：流圖的特征式k：特征余因子，通路Pk在中的余因子，是特征式中除去所有與通路Pk相接觸的回路增益項后剩下的余因式三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院6.流圖的特征式定義為：2.7信號流圖模型及其化簡=1-(所有不同回路增益之和) +(所有兩兩互不接觸回路增益乘積之和) -(所有3個互不接觸回路增益乘積之和) +…其中Lq為第q條回路增益。三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院應(yīng)用Mason公式求取傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)步驟：步驟1：列寫出輸入R(s)到輸出Y(s)的所有前向通路步驟2：列寫信號流圖的所有回路步驟3：判斷所有回路的接觸性，利用流圖的特征式公式計算流圖的特征式步驟4：判斷前向通路與所有回路的接觸性，計算所有前向通路的特征余因子步驟5：利用Mason公式計算輸入R(s)到輸出Y(s)的傳遞函數(shù)

2.7信號流圖模型及其化簡三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院例1：負(fù)反饋控制系統(tǒng)2.7信號流圖模型及其化簡輸入R(s)G(s)+-H(s)輸出Y(s)偏差E(s)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡R(s)E(s)Y(s)G(s)-H(s)1(1)前向通路1條：P1=G(s)(2)回路1條：L=-G(s)H(s)(3)流圖特征式為：=1-L=1+G(s)H(s)(4)P1和L接觸，特征余子式為：(5)傳遞函數(shù)為：三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡例2求傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)+-2輸出Y(s)1-輸入R(s)R(s)E(s)Y(s)1/s-211/s-1sY(s)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡R(s)E(s)Y(s)1/s-211/s-1sY(s)(1)前向通路1條：P1=1/s2(2)回路2條：L1=-2/s,L2=-1/s2,互相接觸(3)流圖特征式為：=1-L1-L2=1+2/s+1/s2(4)P1和L1、L2接觸，特征余子式為：(5)傳遞函數(shù)為：三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡例3：求Y(s)/R(s)R(s)G1-G2++G3G4H1H2Y(s)+三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡R(s)G1-G2++G3G4H1H2Y(s)+R(s)Y(s)G2G1G3-H2G4H1三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡R(s)G1-G2++G3G4H1H2Y(s)+(1)前向通路1條：(2)回路2條：互相接觸(3)流圖特征式為：(4)P1和L1、L2接觸，特征余子式為：(5)傳遞函數(shù)為：三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡例4：求傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)G1G2G3HR(s)Y(s)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡R(s)E(s)Y(s)G11G2-HsY(s)G3三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.7信號流圖模型及其化簡(1)前向通路2條：(2)回路1條：(3)流圖特征式為：(4)P1和L接觸，特征余子式為：(5)傳遞函數(shù)為：P2和L接觸，特征余子式為：三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院微分方程與信號流圖模型已知系統(tǒng)微分方程模型為：試畫出系統(tǒng)信號流圖模型，并求Y(s)/R(s)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院微分方程與信號流圖模型解法1：微分算子三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院微分方程與信號流圖模型解法2：積分實(shí)現(xiàn)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院微分方程與信號流圖模型三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院微分方程與信號流圖模型數(shù)值法（仿真）：Simulink三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院微分方程與信號流圖模型5系統(tǒng)時間響應(yīng)的繪制：2）數(shù)值法（仿真）：Simulink三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院微分方程與信號流圖模型數(shù)值法（仿真）：Simulink非線性方程：線性方程近似：θ質(zhì)量M長度L三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院微分方程與信號流圖模型數(shù)值法（仿真）：Simulink三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院第二章總結(jié)對控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述微分方程模型傳遞函數(shù)模型方框圖模型信號流圖模型三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院特點(diǎn)：最基本，通常采用機(jī)理建模策略、線性化等手段處理。線性定常系統(tǒng)微分方程一般形式：其中，y(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入。1、微分方程模型三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院在求解微分方程的過程中，可以有如下結(jié)論：由微分方程決定的系統(tǒng)特征多項式，決定了解的結(jié)構(gòu)特征方程即特征多項式等于0，其解即為特征根求解微分方程的目的，不在于多么精確地求解微分方程，而要善于抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，弄清微分方程的本質(zhì)。例如本系統(tǒng)的輸入——輸出關(guān)系，完全可以用如下的傳遞函數(shù)加以刻畫。微分方程的求解三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院比如：特征多項式：特征方程：特征根：微分方程解的構(gòu)型：微分方程解的構(gòu)型三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院微分方程的特征根決定了微分方程解的結(jié)構(gòu)：即：三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院在零初始條件下，對微分方程兩邊取拉氏變換，則有：優(yōu)點(diǎn)：最方便：便于系統(tǒng)組合，便于求取系統(tǒng)響應(yīng)微分關(guān)系的代數(shù)化是圖示化模型的基礎(chǔ)不足：僅僅表示了輸入輸出關(guān)系

2、傳遞函數(shù)模型三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)：定義：（1）零點(diǎn)：使G(s)=0的所有的解s（2）極點(diǎn)：使G(s)=的所有的解s三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)有限零點(diǎn)2個：有限極點(diǎn)5個：其中s=-15，為二重極點(diǎn)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)零點(diǎn)5個：極點(diǎn)5個：顯然：當(dāng)s→時,F(s)0。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是F(s)的零點(diǎn)三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院輸入R(s)G(s)輸出Y(s)多項式形式零極點(diǎn)形式時間常數(shù)形式傳遞函數(shù)既是問題的描述又是問題的解三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院以傳遞函數(shù)和代數(shù)關(guān)系為基礎(chǔ)，反映了系統(tǒng)內(nèi)部的信號變換、傳遞關(guān)系，表示了系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方式。構(gòu)圖特點(diǎn)：

信號在線上，變換因子在框內(nèi)。優(yōu)點(diǎn)：圖示化模型，直觀。除輸入輸出外，有新的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)信息。不足：框圖的一致性、等效性需要仔細(xì)驗(yàn)證?；疽螅鹤x懂框圖！

3、框圖模型三江學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院特別提醒：熟知典型形式輸入R(s