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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則A. B.C. D.2.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.33.已知正方體的體積為,點(diǎn),分別在棱,上,滿足最小,則四面體的體積為A. B. C. D.4.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()A. B. C. D.5.若數(shù)列滿足且,則使的的值為()A. B. C. D.6.設(shè)向量,滿足,,,則的取值范圍是A. B.C. D.7.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.108.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部相等,則的值為()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B.2 C.4 D.310.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.11.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.12.如圖,內(nèi)接于圓,是圓的直徑,,則三棱錐體積的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.,則f(f(2))的值為____________.14.一次考試后,某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為正數(shù),若把當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù),與原來的50個(gè)分?jǐn)?shù)一起,算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為,則_________.15.已知變量(m>0),且,若恒成立,則m的最大值________.16.若實(shí)數(shù),滿足不等式組,則的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn),且動(dòng)圓被軸截得的弦長(zhǎng)為,記圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,,為圓與曲線的公共點(diǎn),若直線的斜率,且,求的值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè),過點(diǎn)的直線與圓相切,且與拋物線相交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)在區(qū)間上變動(dòng)時(shí),求中點(diǎn)的軌跡;(2)設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,求的周長(zhǎng)(用表示),并寫出時(shí)該周長(zhǎng)的具體取值.19.(12分)在△ABC中,分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面積.20.(12分)已知函數(shù).(1)若對(duì)任意x0,f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x1x2),證明:.21.(12分)已知,.(1)解;(2)若,證明:.22.(10分)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓上在第一象限的一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),問與面積之差是否為定值?說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,即,所以,故選C.2、D【解析】
利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結(jié)果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個(gè)向量垂直,,且與的夾角為,說明以向量,為鄰邊,為對(duì)角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由題意畫出圖形,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,可得當(dāng)時(shí)最小,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,得,進(jìn)一步求出四面體的體積即可.【詳解】解:如圖,
∵點(diǎn)M,N分別在棱上,要最小,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,三線共線時(shí),最小,
∴
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則,∴.
取,連接,則共面,在中,設(shè)到的距離為,
設(shè)到平面的距離為,
.
故選D.【點(diǎn)睛】本題考查多面體體積的求法,考查了多面體表面上的最短距離問題,考查計(jì)算能力,是中檔題.4、C【解析】
根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項(xiàng).【詳解】由圖可知,ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱,C選項(xiàng)不是三棱柱展開圖.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】因?yàn)?,所以是等差?shù)列,且公差,則,所以由題設(shè)可得,則,應(yīng)選答案C.6、B【解析】
由模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】,當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,考查模長(zhǎng)公式,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】
畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,計(jì)算得到答案.【詳解】,驗(yàn)證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,圖像共有8個(gè)交點(diǎn),故所有解之和等于.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.8、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法,以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】,又的實(shí)部與虛部相等,,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.9、A【解析】
由復(fù)數(shù)除法求出,再由模的定義計(jì)算出模.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則,考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo),利用求得參數(shù)m,再用計(jì)算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.11、C【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時(shí),,求得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
根據(jù)已知證明平面,只要設(shè),則,從而可得體積,利用基本不等式可得最大值.【詳解】因?yàn)?,所以四邊形為平行四邊?又因?yàn)槠矫妫矫?,所以平面,所以平?在直角三角形中,,設(shè),則,所以,所以.又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線面垂直同,得棱錐的高,然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為,用建立體積與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
先求f(1),再根據(jù)f(1)值所在區(qū)間求f(f(1)).【詳解】由題意,f(1)=log3(11–1)=1,故f(f(1))=f(1)=1×e1–1=1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值,考查對(duì)應(yīng)性以及基本求解能力.14、1【解析】
根據(jù)均值的定義計(jì)算.【詳解】由題意,∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查均值的概念,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
在不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,設(shè)f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,m)上為增函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函數(shù)f(x)的最大增區(qū)間為(0,e),則m的最大值為e故答案為:e【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用,根據(jù)條件利用取對(duì)數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù),是解決本題的關(guān)鍵16、5【解析】
根據(jù)題意,畫出圖像,數(shù)形結(jié)合,將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求動(dòng)直線縱截距的最值,即可求解【詳解】畫出不等式組,表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示,令,則.分析知,當(dāng),時(shí),取得最小值,且.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】
(1)設(shè),則點(diǎn)到軸的距離為,因?yàn)閳A被軸截得的弦長(zhǎng)為,所以,又,所以,化簡(jiǎn)可得,所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,因?yàn)橹本€的斜率,所以可設(shè)直線的方程為,由及,消去可得,所以,,所以.設(shè)線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則,,所以直線的斜率為,所以,所以,所以.易得圓心到直線的距離,由圓經(jīng)過點(diǎn),可得,所以,整理可得,解得或,所以或,又,所以.18、(1).(2)的周長(zhǎng)為,時(shí),的周長(zhǎng)為【解析】
(1)設(shè)的方程為,根據(jù)題意由點(diǎn)到直線的距離公式可得,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得,設(shè)?坐標(biāo)分別是?,利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式消參即可求解.(2)根據(jù)拋物線的定義可得,由(1)可得,再利用弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】(1)設(shè)的方程為于是聯(lián)立設(shè)?坐標(biāo)分別是?則設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則消去參數(shù)得:(2)設(shè),,由拋物線定義知,,∴由(1)知∴,,的周長(zhǎng)為時(shí),的周長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的定義、弦長(zhǎng)公式,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)整理得:,再由余弦定理可得,問題得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【詳解】(1)由題意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式,考查了轉(zhuǎn)化思想及化簡(jiǎn)能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)求出,判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即求的范圍;(2)由(1)可知,.對(duì)分和兩種情況討論,構(gòu)造函數(shù),利用放縮法和基本不等式證明結(jié)論.【詳解】(1)由,得.令.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,.對(duì)任意恒成立,.(2)證明:由(1)可知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,.若,則,令在上單調(diào)遞增,,.又,在上單調(diào)遞減,.若,則顯然成立.綜上,.又以上兩式左右兩端分別相加,得,即,所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于難題.21、(1);(2)見解析.【解析】
(1)在不等式兩邊平方化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為二次不等式,解此二次不等式即可得出結(jié)果;(2)利用絕對(duì)值三角不等式可證得成立.【詳解】(1),,由得,不等式兩邊平方得,即,解得或.因此,不等式的解集為;(2),,由絕對(duì)值三角不等式可得.因
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