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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知為正項(xiàng)等比數(shù)列,是它的前項(xiàng)和,若,且與的等差中項(xiàng)為,則的值是()A.29 B.30 C.31 D.322.()A. B. C. D.3.已知盒中有3個(gè)紅球,3個(gè)黃球,3個(gè)白球,且每種顏色的三個(gè)球均按,,編號(hào),現(xiàn)從中摸出3個(gè)球(除顏色與編號(hào)外球沒有區(qū)別),則恰好不同時(shí)包含字母,,的概率為()A. B. C. D.4.對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分析.①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對(duì)稱性,故平均成績?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績每一次均有明顯進(jìn)步.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.15.若雙曲線:的一條漸近線方程為,則()A. B. C. D.6.己知,,,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.8.若函數(shù),在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.10.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.512.已知焦點(diǎn)為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,則當(dāng)取得最大值時(shí),直線的方程為()A.或 B.或 C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,、為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,若,且直線的斜率為,則__________,雙曲線的離心率為__________.14.已知,,且,則最小值為__________.15.若實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最小值是___16.設(shè)為正實(shí)數(shù),若則的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).18.(12分)已知.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;(Ⅱ)若的最小值為1,求的最小值.19.(12分)為了響應(yīng)國家號(hào)召,促進(jìn)垃圾分類,某校組織了高三年級(jí)學(xué)生參與了“垃圾分類,從我做起”的知識(shí)問卷作答隨機(jī)抽出男女各20名同學(xué)的問卷進(jìn)行打分,作出如圖所示的莖葉圖,成績大于70分的為“合格”.(Ⅰ)由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2聯(lián)表,是否有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān)?男女總計(jì)合格不合格總計(jì)(Ⅱ)從上述樣本中,成績?cè)?0分以下(不含60分)的男女學(xué)生問卷中任意選2個(gè),記來自男生的個(gè)數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)的最小值為,求的最小值.21.(12分)某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級(jí)過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個(gè)二級(jí)過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級(jí)過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)在使用過程中,一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換(每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯,則一級(jí)濾芯每個(gè)160元,二級(jí)濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購買濾芯則一級(jí)濾芯每個(gè)400元,二級(jí)濾芯每個(gè)200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖.表1:一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.22.(10分)高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動(dòng)了我國經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計(jì),在2018年這一年內(nèi)從市到市乘坐高鐵或飛機(jī)出行的成年人約為萬人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344(1)在樣本中任取個(gè),求這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機(jī)選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機(jī)?并說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì),求出公比,再由等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算即可得到所求.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,則a4=16q3,a7=16q6,a4與a7的等差中項(xiàng)為,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(負(fù)值舍去),則有S5===1.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用,同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.2、B【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.3、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:從9個(gè)球中摸出3個(gè)球,則基本事件總數(shù)為(個(gè)),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母,,”記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,則.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式,考查了排列組合的知識(shí),解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績的比較,說明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對(duì)稱性,最高130分,平均成績?yōu)榈陀?30分,①錯(cuò)誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績較上一次成績有退步,故④不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)雙曲線的漸近線列方程,解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為,可化為,則,解得.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
先將三個(gè)數(shù)通過指數(shù),對(duì)數(shù)運(yùn)算變形,再判斷.【詳解】因?yàn)?,,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.7、C【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵,.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時(shí),則時(shí),,在上單調(diào)遞減,時(shí),,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個(gè)零點(diǎn),只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.8、D【解析】
利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小,根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?,,所以在上遞減,在上遞增,在處取得極小值也即是最小值,,,,,所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則需恒成立,且,也即,也即當(dāng)、時(shí),成立,即,且,解得.所以的取值范圍是.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查恒成立問題的求解,屬于中檔題.9、C【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知,雙曲線的漸近線方程是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用.10、D【解析】
由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于向量問題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€(gè)向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡、整理.11、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)樗?故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、A【解析】
過作與準(zhǔn)線垂直,垂足為,利用拋物線的定義可得,要使最大,則應(yīng)最大,此時(shí)與拋物線相切,再用判別式或?qū)?shù)計(jì)算即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直,垂足為,,則當(dāng)取得最大值時(shí),最大,此時(shí)與拋物線相切,易知此時(shí)直線的斜率存在,設(shè)切線方程為,則.則,則直線的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,涉及到拋物線的定義,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得坐標(biāo),利用可得到點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程,結(jié)合直線斜率可求得,進(jìn)而求得;將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得,進(jìn)而得到離心率.【詳解】左焦點(diǎn)為,雙曲線的半焦距.設(shè),,,,,,即,,即,又直線斜率為,即,,,,在雙曲線上,,即,結(jié)合可解得:,,離心率.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用問題,涉及到直線截雙曲線所得線段長度的求解、雙曲線離心率的求解問題;關(guān)鍵是能夠通過設(shè)點(diǎn)的方式,結(jié)合直線斜率、垂直關(guān)系、點(diǎn)在雙曲線上來構(gòu)造方程組求得所需變量的值.14、【解析】
首先整理所給的代數(shù)式,然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.【詳解】,結(jié)合可知原式,且,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即最小值為.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件,就是“一正——各項(xiàng)均為正;二定——積或和為定值;三相等——等號(hào)能否取得”,若忽略了某個(gè)條件,就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.15、-1【解析】作出可行域,如圖:由得,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值,A(1,0)所以-1故答案為-116、【解析】
根據(jù),可得,進(jìn)而,有,而,令,得到,再用導(dǎo)數(shù)法求解,【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,令,,所以,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),取得最大值,又,所以取值范圍是,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)求導(dǎo)后分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)再判斷單調(diào)性即可.(2),有零點(diǎn)等價(jià)于方程實(shí)數(shù)根,再換元將原方程轉(zhuǎn)化為,再求導(dǎo)分析的圖像數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】(1)的定義域?yàn)?,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.(2),有零點(diǎn)等價(jià)于方程實(shí)數(shù)根,令則原方程轉(zhuǎn)化為,令,.令,,∴,,,,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.如圖可知①當(dāng)時(shí),有唯一零點(diǎn),即有唯一零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)時(shí),有唯一零點(diǎn),即有唯一零點(diǎn);④時(shí),此時(shí)無零點(diǎn),即此時(shí)無零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性的方法,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)零點(diǎn)的問題,屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),令,作出的圖像,結(jié)合圖像即可求解;(Ⅱ)結(jié)合絕對(duì)值三角不等式可得,再由“1”的妙用可拼湊為,結(jié)合基本不等式即可求解;【詳解】(Ⅰ)令,作出它們的大致圖像如下:由或(舍),得點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,由對(duì)稱性知,點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2,因此不等式的解集為.(Ⅱ)..取等號(hào)的條件為,即,聯(lián)立得因此的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式、基本不等式,屬于中檔題19、(Ⅰ)填表見解析,有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān);(Ⅱ)分布列見解析,【解析】
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖填寫列聯(lián)表,計(jì)算得到答案.(Ⅱ),計(jì)算,,,得到分布列,再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖可得:男女總計(jì)合格101626不合格10414總計(jì)202040,故有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果””有關(guān).(Ⅱ)從莖葉圖可知,成績?cè)?0分以下(不含60分)的男女學(xué)生人數(shù)分別是4人和2人,從中任意選2人,基本事件總數(shù)為,,,,012.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn),分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20、(1)(2)【解析】
(1)用分類討論思想去掉絕對(duì)值符號(hào)后可解不等式;(2)由(1)得的最小值為4,則由,代換后用基本不等式可得最小值.【詳解】解:(1)討論:當(dāng)時(shí),,即,此時(shí)無解;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所求不等式的解集為(2)分析知,函數(shù)的最小值為4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.的最小值為4.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式,考查用基本不等式求最小值.解絕對(duì)值不等式的方法是分類討論思想.21、(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯,兩個(gè)二級(jí)過濾器均需要更換4個(gè)濾芯,而由一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表和二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6,二級(jí)過濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個(gè)二級(jí)過濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計(jì)算兩種情況下的所需總費(fèi)用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯,兩個(gè)二級(jí)過濾器均需要更換4個(gè)濾芯,設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16”為事件,因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6,二級(jí)過濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個(gè)二級(jí)過濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意的可能取值為8,9,10,11,12,從而,,.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16(個(gè)).或用分?jǐn)?shù)表示也可以為89101112(個(gè)).(3)解法一:記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用(單位:元)因?yàn)?,且?°若,則,(元);2°若,則,(元).因?yàn)?,故選擇方案:
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