【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(步步高)】第二章 §2.2 第2課時(shí) 奇偶性、對(duì)稱性與周期性

222222第課時(shí)

奇偶性、稱性與周期題型一函數(shù)奇偶性的判定例判下函數(shù)的奇偶性：f()＝3＋x－；2f()＝；－－，f()＝>0f()＝log(x＋x＋1)．解

(1)

x2x±3(){33}(x)x30.(xfx)f(x()(1,0)∪lg∴x2<0∴2∴f(x.xlg[1lg∵(xfx)x∴f(x)f)∞0)∪∞)∵x<0x>0f()(x2

xx

x(xx>0f()(x2

xx2()(x(x∴f()f)fx)log[log(2

x

2211112222333344422111122223333444log(2

x)log(2

x)fxf()思維升華判函數(shù)的奇偶性，中包括兩個(gè)必備條件定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，以首先考慮定義域；判斷(x)f－x)是否具有等量關(guān)系判奇偶性的運(yùn)中以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系fx)f(－x＝0(奇函數(shù)或f(－f－x)＝偶函數(shù))是否成立．跟蹤訓(xùn)練(1)下列函數(shù)是偶函數(shù)的()Af()＝x

－sinxBf()＝3

－C．f(x)＝x＋tanD．()＝x·ln(x2

＋1－x答案D解析ABD設(shè)函數(shù)fx)(x的定義域?yàn)镽f(x是奇函數(shù)()是偶函數(shù)下結(jié)論正確的()Af()g(x)是偶函數(shù)Bf)(x是奇函數(shù)C．fx()是偶函數(shù)D．(|x|)()是奇函數(shù)答案解析x)()g(x∴(xf(x(xf())F()∴(x)A)fx)()|∴(x)fx(xf(xgx)|fx)gxx))B)fx()∴(xf)|g)fx)|gx)()∴(x)C)(|xgx)∴(xf(|x()(|x|)g()x)

411411x∴(x)D題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用命題點(diǎn)利用奇偶性求參的值例若數(shù)f)＝x＋

為偶函數(shù)，則a的值為．答案

解析方法一()∵()∴()()∴(x)3

ax3

a1

∴2

x12x1

1∴a方法二)f()∴(f(1)f(a(1)∴1命題點(diǎn)利用奇偶性求解式例全國)f(x)奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)fx)＝

－，則當(dāng)x<0時(shí)f(x)于()Ax

－1

Be

＋1C．e－1答案D解析x<0x>0∵x≥0fx)x1∴()e∵(x)∴()fx1.命題點(diǎn)利用奇偶性求函值

D．＋例已函f()＝3m＝

＋5若fx在區(qū)間[－，]上的最大值為M最小值為，則＋

minminmin023πminminmin023π答案解析gxax

bx

gx)x∈[]g(x)()0f()g)2∴()g()∴gx)g)24.思維升華利函數(shù)奇偶性可以決以下問題求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知解析式的區(qū)間上的數(shù)值．求解析式待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上用奇偶性的定義求出．求解析式中的參數(shù)利用待定系數(shù)法求解根據(jù)f()±－)到關(guān)于參數(shù)的恒等式由系數(shù)的對(duì)等性得方程(組，進(jìn)而得出參數(shù)的值．畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖．求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊構(gòu)的函數(shù)值．跟蹤訓(xùn)練(1)已知函數(shù)(x是定義在R上奇數(shù)，且當(dāng)≥0時(shí)f(x)＝x＋，則f－1)的值為()AbB－－．－2D．2答案解析∵x)∴(0)020

b0∴b1∴(f(1)(211b已知函數(shù)f)＝asinx＋tanx＋1若f(a)＝－，則(－a)＝答案解析gxsintangx)(x)1∵()ga)2∴(a∴(a(a1(a1題型三函數(shù)的周期性、對(duì)稱性命題點(diǎn)函數(shù)的周期性x例5已知函數(shù)fx)任意x∈，都有f＋2π＝fx，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f(x＝2sin，f

3

等于()

023π674πffπ023π674πffπ22B.C．1D.32答案解析f(2)fxf(2π.f

3

π×f

xx∈(0π)fxππf西模已知定義在R上函數(shù)(x)足fx)－f＋，當(dāng)x∈時(shí)，f)

＋logx，則f(2等()A5C2D．－5答案D解析∵x)fx∴()4f(0)f(2)(222)5.思維升華函周期性常用結(jié)論對(duì)fx)義域內(nèi)任一自變量的值x：若f(＋)＝－()，則T＝2(a>0)．若f(＋)＝，則＝2(a>0)f若f(＋)＝－，＝(>0)．f若f(＋)＋()＝，則T＝a>0c常數(shù)．命題點(diǎn)函數(shù)的對(duì)稱性例多)已知函數(shù)f(x的定義域?yàn)镽對(duì)任意都有f＋＝(2－x)且－)＝()，則下列結(jié)論正確的是()Af()的圖象關(guān)于x＝對(duì)Bf()的圖象關(guān)于(2,0)對(duì)稱C．f(x)的最小正周期為D．＝fx＋4)偶函數(shù)答案ACD解析∵(2xfx)(xx2AB

＋＋2∵fx)x2(x)(4)f(f(x∴x4)f(x)∴T4C∵T4f)y(x4)D思維升華對(duì)性的三個(gè)常用結(jié)＋若函數(shù)fx)足f＋x)＝(－x)，則y＝()的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)．若函數(shù)fx)足f＋x)＝－(－x)，則y＝(的象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)．若函數(shù)fx)足f＋x)＋(－x)＝c，則函數(shù)f()的圖象關(guān)于點(diǎn)

，對(duì)．跟蹤訓(xùn)練(1)設(shè)定義在R上函數(shù)f(x滿足fx＋＝f(且當(dāng)∈[0,3)時(shí)fx＝x－x

＋1則f＋f＋f＋…f(2＝________.答案解析∵x()∴x∈f(x)221∴(0)1(1)f∴(0)(1)f2∴(0)(1)ff×4696.已知函數(shù)f)的定義域?yàn)?，且fx)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)．當(dāng)x∈時(shí)，fx)2x，則f＝答案解析∵x)x∴()(4)f()∴()f(x)f(fx)T∵2022×8∴f(6)f(f(2)4.我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用y＝()表示，抽象函數(shù)問題可全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象集于一身，是考查函數(shù)的良好載體．例若數(shù)f

)的定義域是[－1,1]，則f(log)的定義域?yàn)開_______．

222222答案

[24]解析yf

)≤x≤1∴

1

≤2

≤yf(logx)2

≤log≤∴2≤y(log)[4]例已函f()對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，b都有fab＝)＋f(b)成立．求f(1)，f(－的值；求證：f

x

＝－f)；若f(2)＝，f＝(p為常)，求f的．解abf(1)(1)f(1)0ab1∴(1)(1)(1)∴(0.證明a，bxf(1)f

(x)∴f

fx)解a2(4)(2)f(2)2pabf(9)f(3)fa49f(4)f(9)2p2q.例3已函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽滿fx＋y＝f(x)f(y

＝1>0時(shí))>0.求f(0)的；判斷函數(shù)的奇偶性并證明；判斷函數(shù)的單調(diào)性，并解不等式f＋f(2＋x)<2.解

(1)f(0)(0)f∴(0)0.f()yxf(0)f(x()0∴()f(x)()R

112121211121112112f112121211121112112fff()Rx∈R<xx∴(xf(xf(x)(x)(x(xf(x)(x)>0∴(xff()∵f

∴f

f

2∴()f)(xx(22)<

y(x)Rx2x<，∈∞課時(shí)精練．重慶一中下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)(，＋∞)上單調(diào)遞增的是A＝－1B．y＋

)cosC．yx

D．y＝－答案Bk－2x．函數(shù)f(x)在義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的為)＋k·2xA2B．0C．1－1D答案解析f()k2(xfx)k·2x

2xk

k1k±1.

9x＋．南昌聯(lián)考函數(shù)f(x)的圖象)A關(guān)于軸稱B關(guān)于軸稱C．于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D．于線＝對(duì)稱答案B1解析f)3xxfx3x∴()()f()．知函數(shù)fx)是定義在R上周期為奇函數(shù)，當(dāng)0<<1時(shí)fx)，等于()A2B．0C．2．答案A解析∵f()∴(1)f1)(12)f(1)∴(1)0

－＋(1)f

1ff

2∴f

f(1)．(多選已知y＝()是定義在R上奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的()A＝f(|x|)C．yxf()

B＝(－x)D．y＝f(x)＋x答案BD解析f)(xAffx|)Bf[(x)]f)f)Cxf(x)·[fx)]()D(x()[()xBD選)若定義域?yàn)镽的數(shù)fx)在(4上單調(diào)遞減數(shù)＝f(x＋4)偶函數(shù))Af(2)>C．f＝f答案解析∵fx4)

Bf＝D．(3)>

∴(4)f(4)∴y(x)x4∴(2)(6)ffy(x)(∞)∴(5)>f∴f(3)>f(6)．知f(x)2是定義[a1,2a]上的偶函數(shù)，那么a值是________．答案

解析

f)ax2

bxb[aa]a1a∴a，∴.≤0，．咸陽模擬已知函數(shù)f(x＝>0

為奇函數(shù)，則＝________.答案－解析ff(x)f(f(1)a1)函f(x)對(duì)?∈R滿足f(1)＝(1)＋2)－ff(0)＝1f＝答案解析∵x(x∴()4∴f∵?∈Rfx)f(1x)∴()1∴(2)(0)1．知函數(shù)fx)＝x3＋，對(duì)任意的m∈[－2,2]f(－2)＋(恒成立，則x的值范圍為．答案－2，解析Rf2)f(f(2)<fx)fx)xm∈[2,2]gm)22<<

＋x，x>011已知函數(shù)(x)＝x＝，，x

是奇函數(shù)．求實(shí)數(shù)m的；若函數(shù)fx)區(qū)間[－1－上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)取值范圍．解

(1)<0x(xx)2

2()x

2xf()(xfx)x<0f)x2xxm2.

fx)[(x)()

1<a≤3a(1,3]設(shè)f(x是定義在R上奇數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)有f＋＝－fx)當(dāng)∈時(shí)()＝2－2

求證：f(x是周期函數(shù)；當(dāng)∈時(shí)求f)解析式．證明∵f(x2)()∴(fxf)∴()4解∈∴x∈[2]∴4∈∴x)2(4x(4xx68.∵x)(x(x∴(x)2

6x∈f)x．f()＝

－a

為奇函數(shù)，則滿足fx－1)>－2e2

的x的值范圍是)

11223112231212A(－2＋∞C．(2，＋∞

B(－1，＋∞D(zhuǎn)．(3，＋∞)答案B解析∵x)∴(0)101∴()x∴()f(

2

e2

2e2

∴fxf∴x1>2>．知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿f－x＋f(x)＝2，若函數(shù)y＝的圖象與y＋1有三個(gè)交點(diǎn)(x，)(x，，(x，，則y＋＋＝答案解析f()fx2f()(0,1)yx(y(x)x(0,1)(0,1)y23.．多選已知fx)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且函fx＋2)為偶函數(shù)，則下列論正確的是()A函數(shù)＝f(x)圖象關(guān)于直線x＝1稱Bf(4)＝0C．f(x＋＝f(x)D．f(5)＝－1，則f＝－答案解析f)Rf()fx)(2)()x2(xf(4)(x4)()

1112121111212112121212f(fxfx)()Af)x2AB()Rff(x)xf(4)0BCfx)8fx8)()D，