排列組合解題方法

排列組合解法一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略排列組合問(wèn)題聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問(wèn)題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問(wèn)題、組合問(wèn)題還是排列與組合綜合問(wèn)題；其次要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理。復(fù)習(xí)鞏固分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理）完成一件事，有n類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m1+m2+?…+mn種不同的方法.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有：nN=m1Xm2X...xmn種不同的方法.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類(lèi)計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件.解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下：認(rèn)真審題弄清要做什么事怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類(lèi)，或是分步與分類(lèi)同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及多少類(lèi)。確定每一步或每一類(lèi)是排列問(wèn)題（有序）還是組合（無(wú)序）問(wèn)題,元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素.解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類(lèi)與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置.先排末位共有C1然后排首位共有C14最后排其它位置共有A34由分步計(jì)數(shù)原理得C1C1A3=28834位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素，再處理其它元素.若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件練習(xí)題：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.練習(xí)題:某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)?槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為/三不相鄰問(wèn)題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有A5種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的56個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種A4不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理，節(jié)目的不同順6序共有A5A4種6元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為項(xiàng)定序問(wèn)題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解：（倍縮法）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：A7/A37 3（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有A4種方法，其余的三個(gè)位置甲7乙丙共有」種坐法，則共有A4種方法。7思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎？（插入法）先排甲乙丙三個(gè)人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有—方法定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插練習(xí)題：10人身高各不相等，排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？C510重排問(wèn)題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有_J種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間也有7種分依此類(lèi)推,由分步計(jì)數(shù)原理共有76種不同的排法允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為mn種練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為L(zhǎng)42_某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法竺環(huán)排問(wèn)題線排策略例6.8人圍桌而坐，共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）!種排法即7!ABCDEFGHAABCDEFGHA一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有（n-1）!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有—Ammn練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120七多排問(wèn)題直排策略例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排,共有多少排法解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有A2種，4再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有A1種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有A5種,5則共有A2A1A5種4 4 5昂aa昂醇昂有昂J前~排1J后-排1一般地，元素分成多排的排列問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研究.練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是346排列組合混合問(wèn)題先選后排策略例8.有5個(gè)不同的小球，裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球，共有多少不同的裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有C2種方法.再把4個(gè)元素（包含一個(gè)復(fù)合元素）裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有A4種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有C2A4解決排列組合混合問(wèn)題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎？練習(xí)題：一個(gè)班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加，則不同的選法有業(yè)七種小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,5在兩個(gè)奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把1,5,2,4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有A2種法，廠1段廠廠3、'?：再排小集團(tuán)內(nèi)部共有些種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有空四種排法.小集團(tuán)排列問(wèn)題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。練習(xí)題：計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà)，4幅油畫(huà)，5幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為A2A5A425 45男生和5女生站成一排照像，男生相鄰,女生也相鄰的排法有A2A5A5種255十.元素相同問(wèn)題隔板策略例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個(gè)空隙。在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C6種分法。將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為Czn-1練習(xí)題：10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中，每盒至少一有多少裝法？ C492.X+y+z+w=100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù) C3103十一.正難則反總體淘汰策略

例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種？解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù)，所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有￡3,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有qc；,和為偶數(shù)的取法共有C1C2+C3。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有C1C2+C3-955 5有些排列組合問(wèn)題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面，再?gòu)恼w中淘汰?練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué)，從中任抽5人，正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種？十二.平均分組問(wèn)題除法策略例12.6本不同的書(shū)平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？解：分三步取書(shū)得C2C2C2種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象，不妨記6本書(shū)為642ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF)，則C2C2C2中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有642A3種取法，而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有C；C：C；/A3種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要一定要除以A〃(〃為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。 n 練習(xí)題：1將13個(gè)球隊(duì)分成3組，一組5個(gè)隊(duì)，其它兩組4個(gè)隊(duì)，有多少分法？(C53C4C4/A2)同的分組方法(1540)某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為(C2C2A2/A2=90)42 6 2十三.合理分類(lèi)與分步策略例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有C2C2種,只會(huì)唱的5人中只有1人33選上唱歌人員CCCL種，只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有C；C；種，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有C;C;+C5C3C：+C;C;種。解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。練習(xí)題：從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座 談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有陞3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船，這3人共有多少乘船方法.(27)本題還有如下分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：*以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)。都可得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略2.10名學(xué)生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組，2.10名學(xué)生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組，有多少種不相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種?解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有C3種_5卡不同的分配方式有多少種？ （9）給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題宜觀解決則不同的著色方法有72種十六?分解與合成策略例16.30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2X3X5X7練習(xí)題：某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）X11X13依題意可知偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，34號(hào)盒45號(hào)盒34號(hào)盒45號(hào)盒卜五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少投解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有C2種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球，3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法，同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原理有吃3號(hào)盒對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果所有的偶因數(shù)為：C;+C5+C;+C5+C5練習(xí):正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共C4-12=58,每個(gè)四面體有83對(duì)異面直線，正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成3x58=174對(duì)異面直線分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題策略，把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決，然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu),用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成，從而得到問(wèn)題的答案，每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例17.25人排成5X5方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少種？解：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3X3方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后，把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去練習(xí)題：1.同一寢室4人,每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái)，然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年從3X3方隊(duì)中選3人的方法有CCC種。再?gòu)?X5方陣選出3X3方陣便可解決問(wèn)題.從5X5方隊(duì)中選取3行3列有C3C3選法所以從5X5方陣選不在同一行也不55在同一列的3人有C3C3C1C1C1選法。55321處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來(lái)的問(wèn)題練習(xí)題:某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？(C3=35) —7十八.數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略例18.由0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)A 沒(méi)有重復(fù)的比324105大的數(shù)？解:N=2A5+2A4+A3+A;+A1=297數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法，查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個(gè)數(shù),根據(jù)