山東建筑大學(xué)大一高等數(shù)學(xué)8-3新

衛(wèi)星接收裝置(旋轉(zhuǎn)拋物面).化工廠或熱電廠的冷卻塔(旋轉(zhuǎn)雙曲面)1四、二次曲面第三節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面

三、柱面曲面及其方程第八章2定義1.

如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).一、曲面方程的概念（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面）3解(2)若球心在原點，則球面的方程為半徑為R的球面方程.就是以球心,(3)例1求到點M0(x0,y0,

z0)的距離等于R的點的軌跡方程.設(shè)軌跡上的動點為M(x,y,z)即則4解例2

求到A(1,2,3),B(2,-1,4)兩點距離相等的點的軌跡方程.設(shè)軌跡上的動點為M(x,y,z)即整理得即為所求點的軌跡方程.線段的垂直平分面.則5例3研究方程解配方得可見此方程表示一個球面說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是表示怎樣的曲面.半徑為球心為一個球面,或點,或虛軌跡.目錄6一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.二、旋轉(zhuǎn)曲面觀察旋轉(zhuǎn)曲面的形成過程:旋轉(zhuǎn)軸母線旋轉(zhuǎn)曲線稱為母線.7例如:8以下建立yOz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:點到軸的距離將代入(4)得就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.(5)，點M1(0,y1,z1)在曲線C,則9當(dāng)曲線C

繞y

軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？思考：10同理，繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為xOy面上曲線C:zOx面上曲線C:11解這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.旋轉(zhuǎn)一周,求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.將zOx平面上的雙曲線例4繞x

軸旋轉(zhuǎn)得繞

z

軸旋轉(zhuǎn)得分別繞x軸和z軸單葉雙曲面雙葉雙曲面12兩邊平方例5建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解在yOz面上的直線L的方程為:L繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為的大小與圓錐面的張口大小有何關(guān)系？思考：13例6試判斷方程表示何種曲面?并作圖.

yOz

面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面.或zOx面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面.1解思考：目錄14三、柱面引例

分析方程表示怎樣的曲面.解在xoy面上，表示圓C,此曲面可以看作是由平行于z

軸的直線l沿xoy面上的圓移動而成.過此點作平行z在圓C上任取一點軸的直線l

,準(zhǔn)線母線圓柱面由于方程少z,故15平行于定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線,柱面,動直線l叫做柱面的母線.觀察柱面的形成過程:

柱面的概念16o拋物柱面橢圓柱面過

z

軸的平面柱面舉例母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xOy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.表示母線平行于z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)17一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線xOz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線xOy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線yOz面上的曲線l2.母線目錄18四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)19(2)截痕法用z=h截曲面(h<c)用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo1.橢球面(1)范圍20abcyx

zo只需做出與坐標(biāo)面的交線：橢圓當(dāng)a＝b

時為旋轉(zhuǎn)橢球面;當(dāng)a＝b＝c

時為球面.212.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)特別,當(dāng)p=q時為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.22xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面(1)橢圓拋物面23畫出的圖形只需做出三個坐標(biāo)面上的截痕：（1）用截得點（0，0，0）用截（2）用截（3）用截實際上，24用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法（馬鞍面）(2)雙曲拋物面

25xzy0263.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:27虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:28(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面圖形294.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y方向的伸縮變換得到,見P28)30yx

zo單葉雙曲面：雙葉雙曲面：橢圓錐面：雙曲面的漸進錐面31內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面曲面表示母線平行z

軸的柱面.如橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.如旋轉(zhuǎn)雙曲面,旋轉(zhuǎn)拋物面等.322.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:作業(yè)：12~14結(jié)束目錄33斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為