大學微積分第一章 函數

第一章函數一.區(qū)間和鄰域六.基本初等函數三.函數概念四.函數的特性五.復合函數七.初等函數八.經濟學中常用的函數二.映射一.區(qū)間和鄰域⑴【區(qū)間】是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區(qū)間的端點.開區(qū)間閉區(qū)間預備知識有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.半開區(qū)間無限區(qū)間⑵【鄰域】設

>0則開區(qū)間

稱為點

的

鄰域。記作其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:【定義】以點為中心的任何開區(qū)間稱為點的鄰域。記作a

a

(1)【定義4】設X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應規(guī)則f

,使得有唯一確定的與之對應,則稱f為從X

到Y

的映射,記作元素y稱為元素x

在映射f

下的像

,記作元素

x

稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;記作Df

=XY

的子集稱為

f的值域

.二、映射1、映射【注意的問題】①映射具備三要素②映射的特點對映射若,則稱f為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.(2)【定義】①滿射②單射③雙射2.【逆映射與復合映射】⑴【逆映射】是單射定義稱映射為映射的逆映射【注】滿且單，故而是雙射①只有f

是單射才存在逆映射.②②【復合映射】定義【注意】1.【定義】因變量函數值自變量函數定義域函數值值域三、函數概念自變量因變量對應法則f2.【函數的兩要素】定義域與對應法則.【約定】定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值.（自然定義域）【注意】兩要素是判斷兩函數是否相同的唯一標準.【定義】如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫多值函數．【注意】微積分所研究的函數都是單值函數。3.【函數圖形】4.【幾個特殊的函數舉例】(1)【常數函數】c為常數

圖形是一條平行于軸的直線(2)【絕對值函數】

(3)

【符號函數】1-1xyo或(4)

【取整函數】y=[x][x]表示不超過的最大整數

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線該函數是數論中一個極為重要的函數有理數點無理數點?1xyo(5)

【狄利克雷函數】(6)

【取最值函數】yxoyxo在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.(7)【分段函數】四、函數的特性1.【函數的有界性】(1)【定義】則稱函數f(x)在X上有界.否則稱無界.M-MyxoXM-Myxoy=f(x)X有界無界【結論】f(x)在X上無界2．【函數的單調性】xyo則稱函數f(x)在區(qū)間I上是單調增加的.xyo則稱函數f(x)在區(qū)間I上是單調減少的.3．【函數的奇偶性】偶函數yxox-x圖象關于y軸對稱稱f(x)為偶函數奇函數yxox-x圖象關于原點對稱稱f(x)為奇函數【說明】若f(x)在x=0有定義,f(x)為奇函數時,必有f(0)=0則當【例如】偶函數雙曲余弦記又如,奇函數雙曲正弦記再如,奇函數雙曲正切記4．【函數的周期性】（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.且則稱

f(x)為周期函數

,若稱

l

為周期【定義】周期為周期為【注】

周期函數不一定存在最小正周期.【例如】

常量函數狄里克雷函數x

為有理數x為無理數五、復合函數1【定義】【說明】通常f稱為外層函數，g稱為內層函數.則設有函數鏈稱為由①,

②確定的復合函數,①②u稱為中間變量.2【注意】2）復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.三重復合函數1）構成復合函數的條件不可少.（即：內層函數在復合函數定義域D內的值域g(D)一定包含在外層函數的定義域D1內）六、基本初等函數1.【冪函數】冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數2.【指數函數】3.【對數函數】4.【三角函數】正弦函數余弦函數正切函數余切函數正割函數余割函數5.【反三角函數】【定義1】

冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數統(tǒng)稱為基本初等函數.七、初等函數1.【初等函數】【定義2】由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.否則稱為非初等函數.2.【非初等函數舉例】①［符號函數］②［取整函數］當有理數點無理數點?1xyo③［狄里克雷函數］1-1xyo④［分段函數］（略）：一般是非初等函數.八、經濟學中的常用函數

如果價格是決定需求量的最主要因素，可以認為Q是P的函數。記作則f稱為需求函數.1、需求函數常見的需求函數：(其中a,b,c,A>0)冪函數：例1設某商品的需求函數為解它表示價格為零時的需求量為b，稱為飽和需求量；它表示價格為無人愿意購買此商品.2、供給函數

如果價格是決定供給量的最主要因素，可以認為Q是P的函數。記作則G稱為供給函數.一般地，供給函數可以用以下簡單函數近似代替：線性函數：冪函數：指數函數：

在同一個坐標系中作出需求曲線D和供給曲線S

，兩條曲線的交點稱為供需平衡點，該點的橫坐標稱為供需平衡價格.E供需平衡點供需平衡價格3、生產函數生產函數刻畫了一定時期內各生產要素的投入量與產品的最大可能產量之間的關系.一般說來，生產要素包括資金和勞動力等多種要素.為方便起見，我們暫時先考慮只有一個投入變量，而其他投入皆為常量的情況.例2規(guī)模報酬不變；如果投入增加一倍，產出增加不到一倍，即規(guī)模報酬遞減；如果投入增加一倍，產出增加不止一倍，即規(guī)模報酬遞增.4、成本函數成本是生產一定數量產品所需要的各種生產要素投入的價格或費用總額，它由固定成本與可變成本兩部分組成.支付固定生產要素的費用支付可變生產要素的費用解由題意，求產量為100時的總成本5、收益函數總收益是生產者出售一定數量產品所得到的全部收入.用Q表示出售的產品數量，R表示總收益,表示平均收益，則如果產品價格P

保持不變，則解平均收益為六、利潤函數

利潤是生產中獲得的總收益與投入的總成本之差。即解7、庫存函數

設某企業(yè)在計劃期T

內，對某種物品總需求量為Q，由于庫存費用及資金占用等因素，顯然一次進貨是不劃算的，考慮均勻的分n次進貨，每次進貨批量為，進貨周期為.假定每件物品的貯存單位時間費用為，每次進貨費用為，每次進貨量相同，進貨間隔時間不變，以勻速消耗貯存物品，則平均庫存為，在時間