高聯(lián)基礎(chǔ)-2講義-3函數(shù)的基本性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)自修講3-函數(shù)的基本性質(zhì)考點1：函數(shù)的概念及函數(shù)的表示【考點精講】函數(shù)的定義A、Bf，使對對應(yīng)，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作函數(shù)的三要素函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系，符號表示為f：A→B，A為定y=f（x）的內(nèi)涵f（x兩個函數(shù)相等【典例精析】例題 下列對應(yīng)是從集合M到集合N的函數(shù)的是 1A.

xB.M=R，N=R+（正實數(shù)組成的集合）f：x→y=C.D.思路導(dǎo)航：本題主要考查函數(shù)的定義A.對于M中的元素－1，N中沒有元素與之對應(yīng)，故該對應(yīng)不是從M到NB.M中任意值為負數(shù)的元素，Nf：M→N不是函.與之對應(yīng)，故f：x→y2=x不是從MN的函數(shù)。答案：例題 下列四組函數(shù)中，有相同圖象的一組是 A.

(x

B.

x1

xx2x2C.y=2，y=x2 D.思路導(dǎo)航：Ay=x－1

(x1)2=|x－1|的對應(yīng)法則不同；B.

x1的定義域為［1，+∞，y=

x的定義域為（1，+∞），兩函數(shù)的定義xD.y=1的定義域為R，y=x0的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞，2x2Cy=2答案：

x22是兩相等的函數(shù)，所以圖象相同點評：1.定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域分別相同的函數(shù)有相同的圖象，三要素中只要有一項2.判斷對應(yīng)法則是否相同，可以化簡以后再判斷，但是必須通過原函數(shù)解析式求函數(shù)的定3RABCD的形狀，AB是⊙O的直徑CD的端點在圓周上，梯形周y是否是腰長x的函數(shù)？如思路導(dǎo)航：判定兩個變量是否構(gòu)成函數(shù)，關(guān)鍵看兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系是否滿足函義yx示周長的關(guān)系式，應(yīng)知等腰梯形各邊長，已知下底長為2R，兩腰長為2x，因此只需用已知（R）x如上圖，AB=2R，C、D在⊙O的半圓周上AD=BC=xDE⊥AE，垂足E，連結(jié)BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD。 ∴AD=AE·AB，即 x∴CD=AB－2AE=2R R∴周長y滿足關(guān)系

即周長y和腰長x間的函數(shù)關(guān)系式 +2x+4RR

x∵ABCD是圓內(nèi)接梯形，∴AD>0，AE>0，CD>0，即

解不等式組，得

R}22x函數(shù)關(guān)系式為y=R

，y的定義域為

R}點評：該題是實際應(yīng)用問題，解題過程是從實際問題出發(fā)，利用函數(shù)概念的內(nèi)涵，判斷是問題的實際意義作出回答。這個過程實際上就是建立數(shù)學(xué)模型的最簡單的情形?！究偨Y(jié)提升】【考點精講】

考點2：函數(shù)的單調(diào)性圖 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I。如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時，都有（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I。如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時，都有（x1）＞f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，【典例精析】例題 利用單調(diào)性定義證明：函數(shù)

x1在其定義域內(nèi)是增函證明：證法一：函數(shù)

x1x∈［1，+∞，任x1、+∞）且x1＜x2，則

x21

x1(x21 x11)(x21) x11) x2 。x21 x1 x21 x1∵x1、x2∈［1，∞，且

x21

x11＞0，x2－x1＞0∴f（x1）＜f（x2，即函數(shù)x

x1在其定義域上是增函證法二：函數(shù) 的定義域是x∈［1，+∞，任取x1、x2∈［1，+∞）且＜x2，

f(x1f(x2

x1x21

x1x21∵x1、x2∈［1，+∞，且x1＜x2，∴0≤x1－1＜x2－1∴0≤x11＜1

x1＜1?！遞（x ＞0，∴f（x）＜f（x1x

x22x2

∴函數(shù)

x1在其定義域［1，+∞）上是增函數(shù)。點評：x的取值必須是連續(xù)的。用定義當(dāng)函數(shù)在給定區(qū)間或恒負時，也常用“作商判1”的方法來解決，特別是函數(shù)中含例題 f（x）是定義在（0，＋∞）上的增函數(shù)，且求f（1）

）=yf（6）1f（x＋3

1）＜2x思路導(dǎo)航：（1）賦值法，在等式中令x=y=1，則f（1）=0（2）在等式中令x=36，y=6，

f( f(36)f(6),f(362f(62。f(x3f＋∞）上為增函數(shù)

1)x

f(36),即fx（x＋3）]＜f（36又f（x）在x3153153故不等式等價于

0x 2答案：（1） （2）0x153153點評：對于這種抽象函數(shù)問題，常利用賦值法解題例題 作出函數(shù)單調(diào)區(qū)間

x22x1

x22x1的圖象， 函數(shù)f（x）式，因此可先去掉根號，轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)的形式，再作圖寫出單調(diào)區(qū)間。原函數(shù)可化

x22x1

x22x1=|x+1|+|x－1|=

x1xx答案：函數(shù)的圖象如圖所所以函數(shù)的遞減區(qū)間是（∞，－1］，函數(shù)的遞增區(qū)間是［1+∞點評：若所給的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，可先化簡函數(shù)解析式，作出草圖，再根據(jù)函數(shù)的定義域和圖象的直觀性寫出單調(diào)區(qū)去絕對值的關(guān)鍵是令每一個絕對值等于0，找到分再討論去絕對值。【總結(jié)提升】【考點精講】

考點3：函數(shù)的奇偶性性定偶函圖象關(guān)于y軸對稱；ff（－x）=f（x奇函必過原點，即f（0）=0。ff（－x）=－f（x注意在公共定義域內(nèi)奇函數(shù)與奇函數(shù)之積是偶函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)之積是奇函數(shù)偶函數(shù)與偶函數(shù)之積是偶函數(shù)奇函數(shù)與奇函數(shù)的和（差）是奇函數(shù)偶函數(shù)與偶函數(shù)的和（差）是偶函數(shù)【典例精析】例題1 已知f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，判斷f（x）在（－∞，0）思路導(dǎo)航：利用函數(shù)奇偶性及圖象特征比較容易對函數(shù)單調(diào)性進行判斷，但是證明單調(diào)性答案：f（x）在（－∞，0）上是增函數(shù)。證明如下：x1<x2<0，－x1>－x2>0，∴f（－x1）<f（－x2由于f（x）是偶函數(shù)，因此f（－x1）=f（x1，f（－x2）=f（x∴f（x1）<f（x2，即f（x）在（－∞，0）上是增函數(shù)點評：利用函數(shù)的奇偶性研究關(guān)于原點對稱區(qū)間上的問題，需特別注意求解哪個區(qū)間的問題。例題 若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）=x（1－x，求當(dāng)時，函數(shù)f（x）的解析式思路導(dǎo)航：x＜0f（x）的解析式轉(zhuǎn)化到x＞0的區(qū)間上，這是解決本題的關(guān)鍵。（x=－f（）－（－x［1－（－x］x（1+；當(dāng)x=0時，f（0）=－f（0即f（0）=0∴當(dāng)x≥0時，f（x）=x（1+x答案：x≥0相應(yīng)的函數(shù)表達式，最后要綜合得出在定義域內(nèi)總有f（－x）=f（x）或f（－x=－f（x，例題 設(shè)f（x）在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（－∞，0）上遞增，且有（3a2－2a+1a的取值范由f（x）在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（－∞，0）上遞增知f（x）在（0，+∞）∵2a2+a+1=2（a+1）2+7＞0，3a2－2a+1=3（a－1）2+2 （222+1）＜（32－2+1a2－3a＜0。解得0＜a＜3點評：該例題在求解過程中，要注意利用偶函數(shù)的對稱性，一側(cè)遞增，一側(cè)遞減【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與構(gòu)成它的函數(shù)的性質(zhì)密切相關(guān)，其規(guī)律可列表如下函y=f［g（x］若函