2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市高一年級下冊學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市第五中學(xué)高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則z的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的定義得結(jié)論．【詳解】由題意，所以其虛部為．故選：C．2．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用正弦的二倍角公式可求解【詳解】.故選：B3．下列命題中正確的有（1）；（2）；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義逐一驗證即可得出結(jié)果.【詳解】由向量加法三角形法則可知，，故（1）正確；，故（2）錯誤；由向量的加法法則可知，故（3）錯誤；向量乘法不滿足分配律，不一定成立，故（4）錯誤.故選：A【點睛】本題考查向量運(yùn)算律，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.4．如圖是函數(shù)的圖像的一部分，則要得到該函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】A【分析】先由圖像求得，再由輔助角公式化簡，最后由三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由題圖知：，又，，解得，又，將向左平移得.故選：A.5．圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻（太陽直射點的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為，則該地的緯度約為北緯（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意有，可得，從而可得【詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：．6．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由八個正三角形和六個正方形構(gòu)成的（如圖所示），則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意將圖形放到正方體中，如圖所示，由正方體的性質(zhì)可得為異面直線與所成的角，即可得解；【詳解】解：二十四等邊體可認(rèn)為是由正方體切去八個全等的三棱錐得到的，如圖所示，可知，，所以為異面直線與所成的角，因為是等邊三角形，所以，故異面直線與所成的角為；故選：C7．如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值，則A．和都是銳角三角形B．和都是鈍角三角形C．是鈍角三角形，是銳角三角形D．是銳角三角形，是鈍角三角形【答案】D【詳解】的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，，矛盾，所以是鈍角三角形，故選D.8．已知矩形．將沿矩形的對角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中A．存在某個位置，使得直線與直線垂直B．存在某個位置，使得直線與直線垂直C．存在某個位置，使得直線與直線垂直D．對任意位置，三對直線“與”，“與”，“與”均不垂直【答案】B【詳解】最簡單的方法是取一長方形動手按照其要求進(jìn)行翻著，觀察在翻著過程，即可知選項B是正確的二、多選題9．如圖是某市5月1日至10日PM2.5的日均值（單位：μg/m3）變化的折線圖，關(guān)于PM2.5日均值說法錯誤的是（）A．這10天日均值的83%分位數(shù)為78；B．這10天的日均值的中位數(shù)為41；C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差；D．前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差．【答案】BC【分析】根據(jù)折線圖可得10天中的PM2.5日均值按從小到大排列為30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根據(jù)統(tǒng)計相關(guān)概念運(yùn)算辨析．【詳解】對于選項A：將10天中的PM2.5日均值按從小到大排列為30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根據(jù)第80百分位數(shù)的定義可得，這10天中PM2.5日均值的第80百分位數(shù)是，由于這10天日均值的83%分位數(shù)估計值大于這10天日均值的80%分位數(shù)估計值下一個所以這10天日均值的83%分位數(shù)估計值為78，故選項A正確；對于選項B：這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)為，故選項B錯誤；對于選項C：由折線圖和方差的定義可知，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的差，故選項C錯誤；對于選項D：前5天的日均值的極差為41﹣30＝11，后5天的日均值的極差為80﹣45＝35，故選項D正確．故選：BC．10．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1船八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．在向量上的投影向量的模為【答案】AB【分析】首先明確正八邊形的特征，然后數(shù)量積的定義進(jìn)行計算，可判斷A,C;根據(jù)向量的加發(fā)運(yùn)算可判斷B;根據(jù)向量投影的概念可判斷D.【詳解】圖2中的正八邊形中，每個邊所對的角皆為，其中，對于，故正確；對于，故正確．對于，，的夾角為,的夾角為,故，故錯誤．對于在向量上的投影向量的模為，故錯誤．故選：．11．中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，BC邊上的中線，則下列說法正確的有：（

）A． B． C． D．∠BAD的最大值為60°【答案】ABC【分析】利用向量的數(shù)量積公式,余弦定理及基本不等式對各個選項進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵．A正確；∵，∴，故B正確；由余弦定理及基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），由A選項知，∴，解得，故C正確；對于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），∵，∴，又，∴∠BAD的最大值30°，D選項錯誤．故選:ABC12．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得B．存在點，使得異面直線與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當(dāng)點自向處運(yùn)動時，二面角的平面角先變小后變大【答案】AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積解決垂直，夾角問題，利用等體積法求三棱錐體積最大值.【詳解】以A為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則；，，，，，，，；對于選項A，假設(shè)存在點，使得，則，又，，解得：，即點與重合時，，選項A正確；對于選項B，假設(shè)存在點，使得異面直線與所成的角為，，，，方程無解；不存在點，使得異面直線與所成的角為，選項B錯誤；對于選項C，連接；設(shè)，，當(dāng)，即點與點重合時，取得最大值；又點到平面的距離，，選項C錯誤；對于選項D，由上分析知：，，若是面的法向量，則，令，則，而面的法向量，所以，令，則，而，由從到的過程，由小變大，則由大變小，即由小變大，所以先變大，后變小，由圖知：二面角恒為銳角，故二面角先變小后變大，選項D正確．故選：AD．三、填空題13．為了考查某種小麥的長勢，從中抽取10株麥苗，測得苗高（單位：cm）為16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，則這組數(shù)據(jù)的極差是______．【答案】11【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用極差的定義計算.【詳解】苗高數(shù)據(jù)中最大的為19，最小的為8，所以極差為，故答案為：1114．已知非零向量滿足，且，則__________．【答案】【分析】先求得，從而求得.【詳解】由兩邊平方得，，.所以.故答案為：15．在某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標(biāo)顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算，下列各個選項中，一定符合上述指標(biāo)的是__________(填寫序號)．①平均數(shù)；

②標(biāo)準(zhǔn)差；

③平均數(shù)且極差小于或等于2；④平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；

⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于4．【答案】③⑤【分析】按照平均數(shù)、極差、方差依次分析各序號即可.【詳解】連續(xù)7天新增病例數(shù)：0，0，0，0，2，6，6，平均數(shù)是2<3，①錯；連續(xù)7天新增病例數(shù)：6，6，6，6，6，6，6，標(biāo)準(zhǔn)差是0<2，②錯；平均數(shù)且極差小于或等于2，單日最多增加4人，若有一日增加5人，其他天最少增加3人，不滿足平均數(shù)，所以單日最多增加4人，③對；連續(xù)7天新增病例數(shù)：0，3，3，3，3，3，6，平均數(shù)是3且標(biāo)準(zhǔn)差小于2，④錯；眾數(shù)等于1且極差小于或等于4，最大數(shù)不會超過5，⑤對.故答案為：③⑤.16．如圖，在棱長為2的正方體中，點?分別是棱，的中點，是側(cè)面內(nèi)（不含邊界）一點，若平面，則線段長度的最小值是___________.【答案】【分析】分別取棱的中點、，連接，易證平面平面，由題意知點必在線段上，由此可判斷P位于線段中點處時最短，通過解直角三角形即可求出結(jié)果．【詳解】如下圖所示，分別取棱的中點、，連接，∵分別為所在棱的中點，則，∴，又平面，平面，∴平面．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面，又，∴平面平面．∵是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，∴點必在線段上．在中，．同理，在中，可得，∴為等腰三角形．當(dāng)點為中點時，即，此時最短；又，∴線段長度的最小為．故答案為：．四、解答題17．已知方程的兩復(fù)數(shù)根分別為，，其中的虛部大于0(1)求復(fù)數(shù)，；(2)若復(fù)數(shù)，且，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接解方程即可求解；（2）利用復(fù)數(shù)的模，再解不等式即可求解.【詳解】（1）由，得，所以，所以，而的虛部大于0，所以，.（2）由（1）中可知，所以可化為，即，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.18．2022年2月8日，中國選手谷愛凌在北京冬奧會女子大跳臺項目決賽中以之前從未有人在正式比賽中完成的“左轉(zhuǎn)1620”動作一舉奪得冠軍，為中國代表團(tuán)攬入一枚里程碑式的金牌．受奧運(yùn)精神的鼓舞，某滑雪俱樂部組織100名滑雪愛好者進(jìn)行了一系列的大跳臺測試，并記錄他們的動作得分（單位：分），將所得數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該100名射擊愛好者的射擊平均得分（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(3)該俱樂部計劃招募成績位列前10%的滑雪愛好者組成集訓(xùn)隊備戰(zhàn)明年的滑雪俱樂部聯(lián)盟賽，請根據(jù)圖中信息，估計集訓(xùn)隊入圍成績（記為k）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率和為1列式求解；（2）用該組區(qū)間的中點值估計，代入計算；（3）根據(jù)題意入圍成績的臨界值為，則計算求解．【詳解】（1）由題意可得：，解得（2）由題意可得：估計該100名射擊愛好者的射擊平均得分（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知：的頻率為設(shè)入圍成績的臨界值為，則，即估計集訓(xùn)隊入圍成績19．如圖，在三棱錐中，D，E分別為的中點，且平面．(1)證明：；(2)若，求銳二面角的大小．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)根據(jù)線面垂直可證，再證平面即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）∵D為中點，且，∴，即．∵平面，平面，∴．∵，∴平面．又∵平面，∴；（2）由（1）可知，以為x軸，為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，∵，∴，，∴．設(shè)平面的法向量為，有即，令，得．設(shè)平面的法向量為，由，有，取，則可得，有，，∴二面角的余弦值為，故銳二面角的大小為．20．設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且的面積．(1)求的值；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)2(2)【分析】（1）先由余弦定理得到，結(jié)合三角形面積公式，正弦定理得到，化簡后得到答案；（2）在第一問的基礎(chǔ)上化簡得到，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】（1）由余弦定理得：①，②，兩式相減得：，因為，所以，即，由正弦定理得：因為，所以，且，故，即.（2）由（1）知：，因為，所以，，所以，又因為，所以，所以.21．如圖，在某景區(qū)依湖畔而建的半徑為500米的一條圓弧形小路上，為吸引游客，景區(qū)在這條弧形小路上取兩點A，B，準(zhǔn)備分別以A，B兩處為入口，在河岸內(nèi)側(cè)建造兩條玻璃棧道，，并在兩條棧道的終點P處建造一個觀景臺，已知弧所對的圓心角為.(1)若為等腰直角三角形，且為斜邊，求的面積；(2)假設(shè)玻璃棧道的寬度固定，修建玻璃棧道的造價按照長度來計算，且造價為1200元/米，試問當(dāng)時，修建兩條玻璃棧道最多共需要多少萬元？【答案】(1)平方米.(2)萬元.【分析】（1）根據(jù)圓心角和半徑求出弦長，根據(jù)等腰直角三角形求出直角邊，再根據(jù)面積公式求出面積.（2）設(shè)，，利用正弦定理求出、，在求出的最大值，然后乘以即可得解.【詳解】（1）因為弧所對的圓心角為，圓的半徑為500，所以米，又為等腰直角三角形，且為斜邊，所以米，所以的面積為平方米.（2）設(shè)，，由正弦定理得，得，由正弦定理得，得，所以，因為，所以，所以當(dāng)，即時，取得最大值為米，所以修建兩條玻璃棧道最多共需要萬元.22．如圖，四棱柱中，底面．四邊形為梯形，，且．過三點的平面記為與的交點為．(1)證明：為的中點；(2)求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比；(3)若，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用面