2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)高二年級上冊學(xué)期期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題【含答案】

北京市昌平區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．已知直線，則直線的傾斜角為A． B． C． D．2．已知，，，，5，，則A． B． C．12 D．143．在的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是A．第3項(xiàng)和第4項(xiàng) B．第4項(xiàng)和第5項(xiàng) C．第3項(xiàng) D．第4項(xiàng)4．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，如果，那么的值為A．2 B．10 C．12 D．145．已知平行六面體中，設(shè)，，，則A． B． C． D．6．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，即2022年北京冬季奧運(yùn)會，計(jì)劃于2022年2月4日（星期五）開幕，2月20日（星期日）閉幕．北京冬季奧運(yùn)會設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng)．其中七個(gè)大項(xiàng)分別為：滑雪、滑冰、雪車、雪橇、冰球、冰壺、冬季兩項(xiàng)（越野滑雪射擊比賽）．現(xiàn)組委會將七個(gè)大項(xiàng)的門票各一張分給甲、乙、丙三所學(xué)校，如果要求一個(gè)學(xué)校4張，一個(gè)學(xué)校2張，一個(gè)學(xué)校1張，則共有不同的分法數(shù)為A． B． C． D．8．在四棱錐中，底面是矩形，平面，為中點(diǎn)，，則直線與所成角的大小為A． B． C． D．9．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則的面積為A． B． C． D．10．已知正三棱錐的底面的邊長為2，是空間中任意一點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11．已知，，是直線的方向向量，，，是直線的方向向量，若直線，則．12．在的展開式中所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，則；展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為．13．雙曲線的漸近線方程為；若拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，則．14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，0，，，1，，，0，，若點(diǎn)，2，在平面內(nèi)，則．15．已知圓，直線過點(diǎn)且與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，直線的方程為．16．已知正方體的棱長為2，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動，且滿足平面平面．給出下列四個(gè)結(jié)論：①△的面積的最大值為；②滿足使△的面積為2的點(diǎn)有且只有兩個(gè)；③點(diǎn)可以是的中點(diǎn)；④線段的最大值為3．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（14分）已知過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長為．（Ⅰ）寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓心坐標(biāo)、半徑；（Ⅱ）求直線的方程．18．（14分）如圖，在四棱錐中，平面，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線和平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．19．（14分）有7個(gè)人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人．（Ⅰ）共有多少種不同的坐法？（Ⅱ）如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？（Ⅲ）如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？20．（14分）如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．21．（14分）已知橢圓，，，，點(diǎn)在線段上，且，直線的斜率為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，且，求橢圓的方程．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解．【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為，直線，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．【解答】解：，，，，5，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間兩點(diǎn)間的距離公式，是基礎(chǔ)題．3．【分析】利用求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的公式即可求解．【解答】解：因?yàn)闉榕紨?shù)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有一項(xiàng)，且為第項(xiàng)，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】利用橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：橢圓可得長軸長為：10，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．5．【分析】由已知直接利用空間向量的線性運(yùn)算求解．【解答】解：如圖，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線平行的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：直線與直線平行，則，解得或，故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】先將七個(gè)大項(xiàng)的門票分成，2，，再分配到3個(gè)學(xué)校，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．【解答】解：先將七個(gè)大項(xiàng)的門票分成，2，，再分配到3個(gè)學(xué)校，故有．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了分組分配問題，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】取的中點(diǎn)，連接，由，得到直線與所成角（或所成角的補(bǔ)解）為，再求出即可．【解答】解：取中點(diǎn)，連接，如圖，是的中點(diǎn)，，直線與所成角（或所成角的補(bǔ)解）為，設(shè)，則，，，是等邊三角形，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷和異面直線所成的角，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．9．【分析】由直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出，的坐標(biāo)，進(jìn)而求出弦長的值，再由的值可得參數(shù)的值，可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)到直線的距離，代入三角形的面積公式可得面積的值．【解答】解：設(shè)，，，，聯(lián)立，可得：或，所以而，可得，解得，即，，所以到直線的距離，所以，故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用即三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．10．【分析】利用轉(zhuǎn)化法求向量數(shù)量積的最值即可．【解答】解：設(shè)中點(diǎn)為，連接，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，當(dāng)與重合時(shí)，取最小值0，此時(shí)有最小值，故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11．【分析】由，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解、的值，再計(jì)算即可．【解答】解：，，是直線的方向向量，，，是直線的方向向量，若直線，則，，則，．．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查向量共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】利用求所有二項(xiàng)式系數(shù)之和的公式，求出的值，再求出展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0即可求解．【解答】解：由已知可得所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得；展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：9；84．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】直接利用雙曲線方程求出，，求解漸近線方程，求解即可得到雙曲線的離心率．【解答】解：雙曲線，可得，，則，所以漸近線方程為：；雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，可得，故答案為：；6．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示和共面定理，列方程組求出的值．【解答】解：因?yàn)椋?，，，1，，，0，，所以，1，，，0，，又點(diǎn)，2，在平面內(nèi)，所以，其中、；由，，，所以，解得．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示和共面定理應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，圓心到直線的距離為，由平面幾何知識得，推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值2，由此能求出直線的方程．【解答】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，則、的坐標(biāo)為，，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，則圓心到直線的距離為，由平面幾何知識得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2，，的最大值為2，此時(shí)，由，解得．此時(shí)，直線的方程為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查面積最大時(shí)直線的方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，均值不等式的合理運(yùn)用，屬于中檔題．16．【分析】先找出的運(yùn)動軌跡，再結(jié)合圖像逐項(xiàng)分析，即可得解．【解答】解：連接，，，、分別為、的中點(diǎn)，易得，從而知，又，又，得平面平面，故點(diǎn)在矩形（除線段上運(yùn)動，對于①，由圖可知，當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)三角形面積最大，最大值為，故①對；對于②，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，△的面積為2，故②對；對于③，由圖易知，點(diǎn)不可能在線段，故③錯(cuò)；對于④，由圖易知，當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)長度最大，最大值為，故④對；故答案為：①②④；【點(diǎn)評】本題考查了立體幾何中的軌跡問題，難點(diǎn)是確定點(diǎn)的軌跡，也是解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)，屬于中檔題．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．【分析】整理出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓的圓心與半徑；分類討論，利用直線被圓截得的線段長為，可得直線與圓心的距離為2，由此可得結(jié)論．【解答】解：整理圓的方程得，圓心，半徑；由圓得圓心坐標(biāo)為，半徑為4又直線被圓截得的線段長為，直線與圓心的距離為2，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的斜率是，過，設(shè)直線，即；直線與圓的圓心相距為2，，解得，此時(shí)直線的方程為；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，也符合題意．故所求直線的方程為或．【點(diǎn)評】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）由線面平行性質(zhì)可直接證明；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量即可求得線面角的正弦值；（Ⅲ）結(jié)合半平面的法向量即可求得二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)椋矫?，平面，所以平面；（Ⅱ）解：因?yàn)槠矫妫?，故以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線和平面所成角為，則；（Ⅲ）解：易知為平面的法向量，則，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)評】本題主要考查線面平行的判斷定理，空間向量的應(yīng)用，線面角的計(jì)算，二面角的計(jì)算等知識，屬于中等題．19．【分析】（Ⅰ）問題等價(jià)于7人任意排，問題得以解決；（Ⅱ）先排第一排，再排第二排，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．（Ⅲ）第一類，甲乙同一排，第二類，甲乙不在同一排，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．【解答】解：（Ⅰ）7個(gè)人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人，共有種；（Ⅱ）從除甲乙之外的5人中選3人排在第一排，再排第二排，故有種；（Ⅲ）第一類，甲乙同一排，則只能排在第二排，故有，第二類，甲乙不在同一排，故有種，故共有種．【點(diǎn)評】本題考查了分類和分步計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（Ⅰ）連接，由，，得平面，由此能證明；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面；（Ⅲ）求出平面的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．【解答】解：（Ⅰ）證明：在棱長為1的正方體中，連接，四邊形是正方形，，，，平面，平面，；（Ⅱ）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，是的中點(diǎn)，則，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，，，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，，平面，平面；（Ⅲ）平面的法向量，1，，，0，，點(diǎn)到平面的距離為：．【點(diǎn)評】本題考查線線垂直、線面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．【分析】（Ⅰ）由已知向量等式結(jié)合分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式和離心率公式，計(jì)算即可得到橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)，，，，代入橢圓方程，作差，結(jié)合直線的斜率公式，可得的