2022-2023學(xué)年北京市順義區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市順義區(qū)高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列直線中，斜率為1的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由斜率的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，直線的斜率為；對(duì)于B，直線的傾斜角為，斜率不存在；對(duì)于C，直線的斜率為；對(duì)于D，直線的斜率為.故選：C.2．已知甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶概率為0.8，乙中靶概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨(dú)立．若甲、乙各射擊一次，則兩人都中靶的概率為（

）A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.94【答案】A【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式求解即可.【詳解】因?yàn)榧字邪懈怕蕿?.8，乙中靶概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨(dú)立，所以甲、乙各射擊一次，則兩人都中靶的概率為.故選:A.3．若直線與直線的交點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．-1 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由題意可列方程，解方程即可得出答案.【詳解】直線與直線的交點(diǎn)為，所以.故選：A.4．已知圓C：，則圓C的圓心和半徑為（

）A．圓心，半徑 B．圓心，半徑C．圓心，半徑 D．圓心，半徑【答案】A【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得圓心與半徑.【詳解】由化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心，半徑.故選:A.5．農(nóng)科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長(zhǎng)勢(shì)情況，從種植有甲、乙兩種麥苗的兩塊試驗(yàn)田中各抽取6株麥苗測(cè)量株高，得到的數(shù)據(jù)如下（單位：）：甲：9，10，10，11，12，20；乙：8，10，12，13，14，21．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，下面四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論是（

）A．甲種麥苗樣本株高的極差大于乙種麥苗樣本株高的極差B．甲種麥苗樣本株高的平均值大于乙種麥苗樣本株高的平均值C．甲種麥苗樣本株高的中位數(shù)大于乙種麥苗樣本株高的中位數(shù)D．甲種麥苗樣本株高的方差小于乙種麥苗樣本株高的方差【答案】D【分析】分別求出甲乙的極差、平均值、中位數(shù)與方差，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】甲種麥苗樣本株高的極差為，乙種麥苗樣本株高的極差為，故A錯(cuò)誤；甲種麥苗樣本株高的平均值為，乙種麥苗樣本株高的平均值為，故B錯(cuò)誤；甲種麥苗樣本株高的中位數(shù)為，乙種麥苗樣本株高的中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；甲種麥苗樣本株高的方差為；乙種麥苗樣本株高的方差為，故D正確.故選:D.6．拋擲兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，記下骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)．設(shè)“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和等于8”，“至少有一顆骰子的點(diǎn)數(shù)為5”，則事件的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)和事件的概率的求法求得正確答案.【詳解】事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和等于或至少有一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為”.基本事件的總數(shù)為，事件包含的基本事件為：，，共種，所以事件的概率是.故選：C7．若雙曲線（，）的一條漸近線為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)漸近線求得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】雙曲線的漸近線為，所以，所以.故選：D8．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】B【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,選B9．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，．過(guò)點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為12，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意，解得，由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，P是底面上一點(diǎn)．若∥平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．線段長(zhǎng)度最大值為，無(wú)最小值B．線段長(zhǎng)度最小值為，無(wú)最大值C．線段長(zhǎng)度最大值為，最小值為D．線段長(zhǎng)度無(wú)最大值，無(wú)最小值【答案】C【分析】分別取的中點(diǎn),根據(jù)面面平行的判定定理可得平面平面，故點(diǎn)的軌跡為線段.當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，線段長(zhǎng)度最大，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，線段長(zhǎng)度最小，求解即可.【詳解】分別取的中點(diǎn),因?yàn)?，平面，平面，所以平?同理可得平面.因?yàn)槠矫?所以平面平面.因?yàn)镻是底面上一點(diǎn)．且∥平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以,,當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，；當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，.所以線段長(zhǎng)度最大值為，最小值為.故選:C.二、填空題11．某校高中三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生2400人，其中高一年級(jí)有學(xué)生800人，高二年級(jí)有學(xué)生700人．為了了解學(xué)生參加整本書(shū)閱讀活動(dòng)的情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取容量為240的樣本進(jìn)行調(diào)查，那么在高三年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為_(kāi)____________．【答案】90【分析】先求出高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的定義即可求解.【詳解】由題意可得高三年級(jí)有學(xué)生人，抽取容量為240的樣本進(jìn)行調(diào)查，那么在高三年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故答案為:.12．若圓和圓外切，則______.【答案】4【分析】根據(jù)兩圓外切則圓心距等于半徑之和即可求解.【詳解】圓圓心為，半徑為1，圓圓心為，所以圓心距，因?yàn)閮蓤A外切，所以,所以.故答案為：4.13．如圖，在四面體中，，，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，若，其中x，y，，則___________，___________，___________．【答案】

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##

##【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，從而可求解.【詳解】因?yàn)镈為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?故答案為:.三、雙空題14．已知點(diǎn)M在拋物線上，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)N，若M為線段的中點(diǎn)，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)是___________，___________．【答案】

【分析】根據(jù)拋物線方程直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上可求得，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】由，可得焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)，則.因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以,解得.所以.故答案為:;.15．現(xiàn)代幾何學(xué)用曲率概念描述幾何體的彎曲程度．約定：多面體在每個(gè)頂點(diǎn)處的曲率等于減去該點(diǎn)處所有面角之和（多面體每個(gè)側(cè)面的內(nèi)角叫做多面體的面角），一個(gè)多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)處的曲率之和．例如：正方體在每個(gè)頂點(diǎn)處有3個(gè)面角，每個(gè)面角的大小是，所以正方體在各頂點(diǎn)處的曲率為．按照以上約定，四棱錐的總曲率為_(kāi)_________；若正十二面體（圖1）和正二十面體（圖2）的總曲率分別為和，則__________0（填“>”，“<”或者“=”）．【答案】

【分析】根據(jù)曲率、總曲率的知識(shí)求得正確答案.【詳解】（1）四棱錐有個(gè)三角形、一個(gè)四邊形，個(gè)頂點(diǎn)，四棱錐的總曲率為：.（2）正十二面體有個(gè)正邊形，個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)面的內(nèi)角和為，所以.正二十面體有個(gè)正三角形，個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)面的內(nèi)角和為，所以.所以.故答案為：；四、解答題16．從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．組號(hào)分組頻數(shù)1c28317422525612768292合計(jì)100(1)求頻數(shù)分布表中c的值及頻率分布直方圖中a，b的值；(2)從一周閱讀時(shí)間不低于14小時(shí)的學(xué)生中抽出2人做訪談，求2人恰好在同一個(gè)數(shù)據(jù)分組的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)和求得，通過(guò)計(jì)算小長(zhǎng)方形的高求得.（2）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得所求概率.【詳解】（1）由，解得.，.（2）不低于14小時(shí)，有的人，記為；的人，記為，從中任取人，基本事件為，共種，其中2人恰好在同一個(gè)數(shù)據(jù)分組的情況為：，共種，所以2人恰好在同一個(gè)數(shù)據(jù)分組的概率為.17．如圖，在三棱柱中，，且，底面，E為中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明線線垂直；（2）利用面面平行的判定定理先證明平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理即可證明線面平行.【詳解】（1）底面且平面，，又且，平面，平面，又平面，（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)可知，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?8．已知直線l：與x軸的交點(diǎn)為A，圓O：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．(1)求r的值；(2)若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線垂直于直線l，求弦長(zhǎng)．【答案】(1)2；(2).【分析】（1）求出，代入圓的方程即可求解；（2）根據(jù)直線垂直于直線l，可求直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可求直線的方程，再利用垂徑定理即可求解.【詳解】（1）在中，令，得，故.因?yàn)閳AO：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以，解得.（2）直線l的斜率為2，因?yàn)橹本€垂直于直線l，所以直線的斜率為.所以直線的方程為，即.圓心到直線的距離為，所以.19．如圖，在長(zhǎng)方體，，，點(diǎn)E在上，且．(1)求直線與直線所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)A到平面的距離【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與直線所成角的余弦值.（2）利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.（3）利用向量法求得點(diǎn)A到平面的距離【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)直線與直線所成角為，則.（2），設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則.（3），所以到平面的距離為.20．已知橢圓C：的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左頂點(diǎn)為D，右焦點(diǎn)為F．(1)求橢圓C的離心率和的面積；(2)已知直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作直線的垂線，垂足為G．判斷直線是否與y軸交于定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)離心率為，的面積為；(2)見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)可求出，從而可求離心率，求出的坐標(biāo)，從而可求的面積；（2）設(shè)，則,聯(lián)立，可得，的方程為，令，得，代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得.所以橢圓C：，，所以.因?yàn)?,所以.（2）設(shè)，則,則的方程為，令，則①.聯(lián)立，可得，因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)，在橢圓內(nèi)，所以與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，故，.所以.代入①，可得，故直線是否與y軸交于定點(diǎn).【點(diǎn)睛】定點(diǎn)定值點(diǎn)睛：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．21．對(duì)于正整數(shù)集合（，），如果去掉其中任意一個(gè)元素（，2，…，n）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合A為平衡集．(1)判斷集合是否為平衡集，并說(shuō)明理由；(2)若集合A是平衡集，并且為奇數(shù)，求證：集合A中元素個(gè)數(shù)n為奇數(shù)；(3)若集合A是平衡集，并且為奇數(shù)，求證：集合A中元素個(gè)數(shù)．【答案】(1)不是，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由平衡集的定義即可判斷；（2）根據(jù)集合中元素總和與單個(gè)元素的奇偶性討論后證明；（3）由（2）知為奇數(shù)，根據(jù)的取值討論后求解.【詳解】（1）不是，理由如下，對(duì)于集合，去掉3后，中的元素分成兩個(gè)集合后，不滿足兩個(gè)集合的所有元素之和相等，故集合B不是平衡集.