2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．____________.（用符號(hào)“”或“”填空）【答案】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的定義及集合與元素的關(guān)系判斷即可.【詳解】解：.故答案為：.2．已知集合，且，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)___________.【答案】或【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得或，故答案為：?．函數(shù)的定義域是__________.【答案】【分析】先利用對(duì)數(shù)式中真數(shù)為正得到，再將分式不等式化為一元二次不等式進(jìn)行求解.【詳解】要使有意義，須，即，解得或，即函數(shù)的定義域是.故答案為：.4．是2的倍數(shù)，是6的倍數(shù)，則是的____________條件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）.【答案】必要非充分【分析】由充分性和必要性的定義即可得出答案.【詳解】是2的倍數(shù)推不出是6的倍數(shù)，如，但是6的倍數(shù)能推出是2的倍數(shù).故是的必要非充分條件.故答案為：必要非充分.5．用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示（其中）____________.【答案】【分析】根據(jù)冪指數(shù)和根式之間的互化即可求解.【詳解】，故答案為：6．設(shè)，則關(guān)于x的不等式的解集是____________.【答案】【分析】由于，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，且，則根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，解得，所以不等式的解集為.故答案為：7．已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為，則____________.【答案】3【分析】先利用韋達(dá)定理求出，再由，代入即可得出答案.【詳解】一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為，所以，所以.故答案為：3.8．請(qǐng)將下列各組對(duì)象能組成集合的序號(hào)填在后面的橫線上____________.①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)的距離等于1的所有點(diǎn)；③影響力比較大的中國(guó)數(shù)學(xué)家；④不等式的所有正整數(shù)解.【答案】①②④【分析】根據(jù)集合的概念即可判斷.【詳解】解：對(duì)于①，“上海市2022年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生”，研究對(duì)象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合；對(duì)于②，“在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)的距離等于1的所有點(diǎn)”，研究對(duì)象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合；對(duì)于③，“影響力比較大的中國(guó)數(shù)學(xué)家”，其中影響力比較大的沒(méi)有明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對(duì)于④，“不等式的所有正整數(shù)解”，研究對(duì)象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合.故答案為：①②④.9．設(shè)a、b、c、d是實(shí)數(shù)，則下列命題為真命題的是____________.①如果，且，那么；②如果，且，那么；③如果，那么；④如果，那么.【答案】①③④【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷求解.【詳解】對(duì)于①,因?yàn)?，且，根?jù)不等式的可加性，所以，故①正確；對(duì)于②，例如有，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③,，因?yàn)?，所以，即，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以且，所以，故④正確，故答案為：①③④.10．已知對(duì)數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是____________.【答案】9【分析】根據(jù)點(diǎn)在圖象上可求出，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以解得，所以，因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以解得，故答案為:9.11．已知正數(shù)a和b滿足，用a及b表示____________.【答案】【分析】令，由，可得，進(jìn)而可得以現(xiàn)由即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，令，則有，，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以所?故答案為：12．某同學(xué)在學(xué)習(xí)了基本不等式和冪指對(duì)運(yùn)算后，通過(guò)查閱資料發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不等式“，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立”，請(qǐng)借助這個(gè)不等式，解答下題：對(duì)任意，恒成立，則b的取值范圍____________.【答案】【分析】由題意轉(zhuǎn)化為恒成立，即求的最小值，根據(jù)可得，從而得到答案.【詳解】由，可得，由得，對(duì)任意，恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最小值，因?yàn)?，所以，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以b的取值范圍為.故答案為：.二、單選題13．下列函數(shù)與函數(shù)相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)兩函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，為同一函數(shù)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)一一分析定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，選出答案.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，A選項(xiàng)，定義域?yàn)椋珹錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，且，與函數(shù)相同，B正確；C選項(xiàng)，，與函數(shù)不相同，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，定義域?yàn)?，D錯(cuò)誤.故選：B14．下列函數(shù)中，值域是的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)依次求值域即可．【詳解】對(duì)于A：的值域?yàn)?；?duì)于B：的值域?yàn)椋粚?duì)于C：的值域?yàn)?；?duì)于D：，，，的值域?yàn)?；故選：D15．關(guān)于冪函數(shù)的圖象，下列選項(xiàng)描述正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)和B．冪函數(shù)的圖象一定關(guān)于y軸或原點(diǎn)對(duì)稱C．冪函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過(guò)第四象限D(zhuǎn)．兩個(gè)不同的冪函數(shù)的圖象最多有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】C【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以A不正確；對(duì)于B，是非奇非偶函數(shù)，所以B不正確；對(duì)于C，對(duì)于冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，一定成立，所以任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過(guò)第四象限，所以C正確；對(duì)于D，，則令，解得：或或，所以冪函數(shù)和有三個(gè)交點(diǎn)，所以D不正確.故選：C.16．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：①對(duì)任意，恒成立；②若則.以下選項(xiàng)表述不正確的是（

）A．在上是嚴(yán)格增函數(shù) B．若，則C．若，則 D．函數(shù)的最小值為2【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)，再舉例判斷A；取值計(jì)算判斷B，C；借助均值不等式求解判斷D作答.【詳解】任意，恒成立，且，假設(shè)，則有，顯然，與“若則”矛盾，假設(shè)是錯(cuò)的，因此當(dāng)且時(shí)，，取，有，則，于是得，，，，，對(duì)于A，函數(shù)，，，并且當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)滿足給定條件，而此函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，A不正確；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，，則，而，有，又，因此，C正確；對(duì)于D，，，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為2，D正確.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上賦值即可.三、解答題17．解不等式.【答案】【分析】對(duì)兩邊同時(shí)平方，由一元二次方程的解法即可得出答案.【詳解】由可得：，則，則或.故不等式的解集為：18．已知集合，集合，用列舉法表示集合.【答案】【分析】集合A,B中的元素均為函數(shù)圖像上的點(diǎn)，故A與B的交集即為與的交點(diǎn)的集合.【詳解】聯(lián)立，解得：或，故19．要建造一面靠墻、且面積相同的兩間相鄰的長(zhǎng)方形居室（靠墻一側(cè)利用原有墻體），如圖所示.如果已有材料可建成的圍墻總長(zhǎng)度為，那么當(dāng)寬x（單位：m）為多少時(shí)，才能使所建造的居室總面積最大？居室的最大總面積是多少？（不考慮墻體厚度）【答案】居室的寬為5m時(shí)，居室的最大總面積是.【分析】由題意，若把材料全部用完，得到兩間居室的總長(zhǎng)為，再由長(zhǎng)方形的面積公式建立模型求解.【詳解】解：由題意，若把材料全部用完，則兩間居室的總長(zhǎng)為，設(shè)所建造的居室總面積，則，當(dāng)居室的寬為5m時(shí)，居室的面積最大，居室的最大總面積是.20．小明在學(xué)習(xí)“用函數(shù)的觀點(diǎn)求解方程與不等式”時(shí)，靈光一動(dòng)，為課本上一道習(xí)題“已知為正數(shù)，求證：.”得到以下解法：構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以對(duì)于函數(shù)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可取等號(hào).閱讀上述材料，解決下列兩個(gè)問(wèn)題：(1)若實(shí)數(shù)不全相等，請(qǐng)判斷代數(shù)式“”的取值是正還是負(fù)；（直接寫(xiě)出答案，無(wú)需理由）(2)求證：，并指出等號(hào)成立的條件.【答案】(1)正(2)證明見(jiàn)解析，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)【分析】（1）將代數(shù)式化為，由此可知恒正；（2）由，可知，由此可得結(jié)論；根據(jù)的條件可得取等條件.【詳解】（1），不全相等，，取值為正.（2）由（1）知：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.21．已知是定義在上的函數(shù)，對(duì)于上任意給定的兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，如果總有，就稱函數(shù)為“可逆函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“可逆函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，證明：是“可逆函數(shù)”；(3)證明：函數(shù)是“可逆函數(shù)”的充要條件為“”.【答案】(1)不是“可逆函數(shù)”，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可確定與恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，知不是“可逆函數(shù)”；（2）任取，可得，知在上為增函數(shù)，符合“可逆函數(shù)”定義；（3）當(dāng)時(shí)，任取且，由可知充分性成立；假設(shè)當(dāng)是“可逆函數(shù)”時(shí)，，構(gòu)造方程，化簡(jiǎn)整理為一元二次方程，由方程有兩個(gè)不等實(shí)根可知，與“可逆函數(shù)”定義矛盾，知假設(shè)錯(cuò)誤，必要性得證.【詳解】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則與恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，記為，則，，不符合“可逆函數(shù)”定義，不是“可逆函數(shù)”.（2）任取，則；在區(qū)間上是增函數(shù)，，又，，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，是“可逆函數(shù)”.（3）先證明充分性：當(dāng)時(shí)，，則的定義域?yàn)?；任取且，則，即，為“可逆函數(shù)”，充