廣東省東莞市中堂實驗中學2021年高三數(shù)學文上學期期末試題含解析

廣東省東莞市中堂實驗中學2021年高三數(shù)學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對于給定的正整數(shù)數(shù)列{an}，滿足an+1=an+bn，其中bn是an的末位數(shù)字，下列關于數(shù)列{an}的說法正確的是（）A．如果a1是5的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必有相同的項B．如果a1不是5的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必沒有相同的項C．如果a1不是5的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}只有有限個相同的項D．如果a1不是5的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}有無窮多個相同的項．參考答案：D【考點】數(shù)列遞推式．【分析】分類討論：當a1是5的倍數(shù)，則數(shù)列{an}的末位數(shù)字是5或0，數(shù)列{2n}的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，不存在相同的項，判斷A不正確；當a1不是5的倍數(shù)時，則這個數(shù)的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，數(shù)列{an}的末位數(shù)字可以是2，4，6，8，數(shù)列{2n}的末位數(shù)字有且只有2，4，6，8，故它們必有相同的項，且有無窮多個相同的項，由此判斷B，C不正確，D正確．【解答】解：如果a1是5的倍數(shù)，則數(shù)列{an}的末位數(shù)字是5或0，數(shù)列{2n}的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，不存在相同的項，因此A不正確；當a1不是5的倍數(shù)時，這個數(shù)加上它的末位數(shù)字，一直加下去，則這個數(shù)的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，數(shù)列{an}的末位數(shù)字可以是2，4，6，8，數(shù)列{2n}的末位數(shù)字有且只有2，4，6，8，故它們必有相同的項，且有無窮多個相同的項，因此B，C不正確，D正確．∴關于數(shù)列{an}的說法正確的是：D．故選：D．【點評】本題考查命題真假判斷與應用，考查了數(shù)列遞推式的運用，求解此類題的關鍵是要對命題涉及的知識有很好的理解與掌握，是中檔題．2.函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）

A．

B．（1，2）

C．

D．參考答案：C略3.定義運算：，若將函數(shù)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得圖象關于y軸對稱,則m的最小值是A． B． C． D．

參考答案：A【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換將函數(shù)f（x）==cosx﹣sinx=2cos（x+）的圖象向左平移m（m＞0）個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)的解析式為y=2cos（x+m+）．再根據(jù)所得圖象關于y軸對稱，可得m+=kπ，即m=kπ﹣，k∈z，則m的最小值是，故選：A．【思路點撥】由條件利用三角恒等變換、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得y=2cos（x+m+）圖象關于y軸對稱，可得m+=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．

4.設復數(shù)滿足，則=(

) A.

B.

C.

D.參考答案：C【知識點】復數(shù)的基本概念與運算L4，可得z==2-i,=2+i【思路點撥】直接化簡復數(shù)方程，復數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，求出復數(shù)即可．5.已知是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上是增函數(shù)，如果在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是(

)A．[－2,1]

B．[－2,0]

C．[－5,1]

D．[－5,0]參考答案：B6.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，記△ABC和四邊形ACC1A1的外接圓圓心分別為O1、O2，若AC＝2，且三棱柱外接球體積為，則O1A＋O2A的最大值為(

)A.

B.

C.

D.2參考答案：C7.設函數(shù)，則下列結論中錯誤的是（

）A.f(x)的一個周期為2π B.f(x)的最大值為2C.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.的一個零點為參考答案：D【分析】先利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)，再由奇偶性的定義判斷；由三角函數(shù)的有界性判斷；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；將代入判斷.【詳解】，周期正確；的最大值為2，正確，，在上遞減，正確；時，，不是的零點，不正確.故選D.【點睛】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查兩角和的正弦公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)的最值與零點，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.8.“?x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由于“?x＞0，使a+x＜b”與“a＜b”成立等價，即可判斷出關系．【解答】解：“?x＞0，使a+x＜b”?“a＜b”，∴“?x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要條件．故選：C．【點評】本題考查了不等式的性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9.已知三棱錐P-ABC中，，當三棱錐P-ABC體積最大值時，三棱錐P-ABC的外接球的體積為（

）A. B.36π C. D.參考答案：A【分析】三棱錐，以為底，到平面的距離為高，得到三棱錐在兩兩垂直時體積最大，此時三棱錐的外接球可以看作是以為棱長的正方體的外接球，從而求出其半徑，得到球的體積.【詳解】三棱錐，以為底，到平面的距離為高，則可知平面時，到平面的距離最大為，底面為等腰三角形，，當時，的面積最大，即，當兩兩垂直時，三棱錐體積最大，此時三棱錐的外接球可以看作是以為棱長的正方體的外接球，設球的半徑為，則，解得，所求球的體積為.故選：A.【點睛】本題考查求三棱錐的體積，求三棱錐外接球的體積，考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.10.函數(shù),則的值域為 （）A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數(shù)f(x)=ax+b，其中a，b為常數(shù)，f1(x)＝f(x)，fn+1(x)＝f

[fn(x)]，n＝1，2，….若f5(x)=32x+93,則ab＝

.參考答案：612.若loga＜1，則a的取值范圍是

．參考答案：（4，+∞）考點：對數(shù)的運算性質．專題：函數(shù)的性質及應用．分析：根據(jù)對數(shù)的性質，先求出a＞1，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可．解答： 解：要使對數(shù)有意義，則，即a＞1，∴不等式等價為＜a，即12＜a（a﹣1），即a2﹣a﹣12＞0，即a＞4或a＜﹣3，∵a＞1，∴a＞4，故答案為：（4，+∞）．點評：本題主要考查對數(shù)不等式的解法，利用對數(shù)函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．13.以點為圓心，以為半徑的圓的方程為

，若直線與圓有公共點，那么的取值范圍是

.參考答案：14.設常數(shù)展開式中的系數(shù)為，則

。參考答案：115.設，則展開式中的常數(shù)項為_________（用數(shù)字作答）參考答案：【知識點】定積分；微積分基本定理；二項式定理.

B13

J3210

解析：=，又展開式的通項，由，所以展開式中的常數(shù)項為.

【思路點撥】由微積分基本定理得n=10，由二項展開式的通項公式得展開式中的常數(shù)項為第七項.

16.已知函數(shù)，則函數(shù)的值為____________.參考答案：17.若，，且，則的最小值為______.參考答案：試題分析：由可得，即，所以（當且僅當時取等號），即的最小值為.考點：基本不等式及靈活運用.【易錯點晴】本題重在考查基本不等式的靈活運用.解答時先將條件進行合理變形得到，再依據(jù)該等式中變量的關系，解出用來表示，從而將欲求代數(shù)式中的兩個變量消去一個，得到只含的代數(shù)式，然后運用基本不等式使其獲解.這里要強調(diào)的是“一正、二定、三相等”是基本不等式的運用情境，也是學會運用基本不等式的精髓，這是運用好基本不等式的關鍵之所在.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為．(I)求角B的大小；(Ⅱ)若b=1，求的取值范圍．參考答案：19.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知數(shù)列{an}滿足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，為數(shù)列{an}的前項和．(1)若，求的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式；(3)當時，數(shù)列{an}中是否存在三項構成等差數(shù)列，若存在，請求出此三項；若不存在，請說明理由．參考答案：(1)令，得到，令，得到?！?分由，計算得．……………………4分(2)由題意，可得：

，所以有，又，……5分得到：，故數(shù)列從第二項起是等比數(shù)列。……………7分又因為，所以n≥2時，……………8分所以數(shù)列{an}的通項…………………10分(3)因為

所以……11分假設數(shù)列{an}中存在三項am、ak、ap成等差數(shù)列，①不防設m>k>p≥2，因為當n≥2時，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以2ak=am+ap即：2′()′4k–2=′4m–2+′4p–2，化簡得：2′4k-p=4m–p+1即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，故有：m=p=k，和題設矛盾………………14分②假設存在成等差數(shù)列的三項中包含a1時，不妨設m=1，k>p≥2且ak>ap，所以2ap=a1+ak，2′()′4p–2=–

+()′4k–2，所以2′4p–2=–2+4k–2，即22p–4=22k–5–1因為k>p≥2，所以當且僅當k=3且p=2時成立………16分因此，數(shù)列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差數(shù)列……………18分20.（本題滿分15分）設數(shù)滿足：．(I)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(Ⅱ)若，且對任意的正整數(shù)n，都有，求實數(shù)t的取值范圍．參考答案：21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M（0，2）是橢圓的一個頂點，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求橢圓C的方程；（2）設點P是橢圓C上一動點，求線段PM的中點Q的軌跡方程；（3）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1+k2=8，探究：直線AB是否過定點，并說明理由．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：（1）由已知點M（0，2）是橢圓的一個頂點，△F1MF2是等腰直角三角形，可求幾何量，從而可求橢圓方程；（2）確定點P、PM的中點坐標之間的關系，利用點P是橢圓C上一動點，即可求得線段PM的中點Q的軌跡方程；（3）若直線AB的斜率存在，設AB方程代入橢圓方程，利用韋達定理及k1+k2=8，可得直線AB的方程，從而可得直線AB過定點；若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x0，求出直線AB的方程，即可得到結論．解：（1）由已知可得b=2，，…∴所求橢圓方程為．

…（2）設點P（x1，y1），PM的中點坐標為Q（x，y），則

…由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得

…（3）若直線AB的斜率存在，設AB方程為y=kx+m，依題意m≠±2．設A（x3，y3），B（x2，y2），則將直線方程代入橢圓方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

…則，．∵k1+k2=8，∴+=8，∴2k+（m﹣2）×=8．

…∴k﹣=4，整理得m=．故直線AB的方程為y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直線AB過定點（，﹣2）．

…若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x0，設A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知+=8，得x0=﹣．此時AB方程為x=﹣，顯然過點（，﹣2）．

綜上，直線AB過定點（，﹣2）．

…【點評】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線方程，正確運用韋達定理是關鍵．22.（12分）已知與向量平行的直線L過橢圓C:的焦點以及點（0,-2），橢圓C的中心關于直線L的對稱點在直線上（1）求橢圓C的方程；（2）過點E（-2，0）的直線m交橢圓C于點M、N且滿足，（O為坐標原點），求直線的方程參考答案：解析：（1）直線L的方程為，①過原點垂直于L的直線方程為，②解①②得x=3/2