初二數(shù)數(shù)學(xué)全等三角形的復(fù)習(xí)

八年級數(shù)學(xué)全等三角形的復(fù)習(xí)概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。“全等”用符號“≌”表示記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。ABCDEF任意剪兩個全等的三角形，擺一擺它們的位置，使其符合下列圖形；并指出它們的對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角。全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角。三、找出下列圖中一對全等三角

形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角。BDCBADCBAFCDAE全等形全等三角形性質(zhì)條件應(yīng)用全等三角形對應(yīng)邊相等全等三角形對應(yīng)角相等全等三角形的面積相等SSSSASASAAASHL解決問題角的平分線的性質(zhì)角平分線上的一點到角的兩邊距離相等

到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上結(jié)論兩個全等三角形的位置變化了，對應(yīng)邊、對應(yīng)角的大小有變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？觀察與思考全等三角形

⑷證明兩個三角形全等，要結(jié)合題目的條件和結(jié)論，選擇恰當(dāng)方法⑸全等三角形，是證明兩條線段或兩個角相等的重要方法之一，證明時

①要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全等的三角形中。

②分析要證兩個三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。

③有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊，有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角，有對頂角，對頂角也是對應(yīng)角

④設(shè)法證明所缺的條件，有時所缺的條件可能在另一對全等三角形中，必須證兩次全等。

⑤當(dāng)要證的相等線段或角分別在兩組以上的可能全等的三角形中，就應(yīng)分析證明哪對三角形全等最好，一般選擇條件具備多的一對較簡單。⑹有時證兩線段相等，如存在角平分線且存在角平分線上的點到角的兩邊的垂線段就可直接用角平分線的性質(zhì)定理來證，而不要去證三角形全等?？傊?，證明過程中能用簡單方法的就不要繞彎路。

二、幾種常見全等三角形基本圖形平移旋轉(zhuǎn)翻折

1、已知如圖△ABC≌△DFE，∠A=96o，∠B=25o，DF=10cm。求∠E的度數(shù)及AB的長。BACEDF三、解答題：2已知如圖CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C=20o，AB=10，AD=4，G為AB延長線上的一點。求∠EBG的度數(shù)及CE的長。ECADBGF

例1.如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE相交于點哦，若∠BOC=1200，那么∠A的度數(shù)是

.ABCDEO6001.如圖，AM=AN，

BM=BN說明△AMB≌△ANB的理由

解:在△AMB和△ANB中

∴

≌

（

）AN已知BMABAB△ABM△ABNSSSFEDCBA2。如圖，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC與△FED全等嗎？為什么？解：全等?！連D=EC（已知）∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED

在△ABC與△FED中∴△ABC≌△FED（SAS）考考你

小明的設(shè)計方案：先在池塘旁取一個能直接到達A和B處的點C，連結(jié)AC并延長至D點，使AC=DC，連結(jié)BC并延長至E點，使BC=EC，連結(jié)CD，用米尺測出DE的長，這個長度就等于A，B兩點的距離。請你說明理由。AC=DC

∠ACB=∠DCEBC=EC△ACB≌△DCE(SAS)AB=DEECBAD3。如圖線段AB是一個池塘的長度，現(xiàn)在想測量這個池塘的長度，在水上測量不方便，你有什么好的方法較方便地把池塘的長度測量出來嗎？想想看。解：在△ACB和△DCE中，（全等三角形對應(yīng)邊相等。）

例2、如圖，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，圖中有幾組全等的三角形？它們?nèi)鹊臈l件是什么？HDCBA解：有三組。在△ABH和△ACH中∵AB=AC，BH=CH，AH=AH

∴△ABH≌△ACH（SSS）；∵BD=CD，BH=CH，DH=DH∴△DBH≌△DCH（SSS）

在△ABH和△ACH中∵AB=AC，BD=CD，AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）；在△ABH和△ACH中解：①∵E、F分別是AB，CD的中點（）又∵AB=CD∴AE=CF在△ADE與△CBF中AE==∴△ADE≌△CBF()∴AE=ABCF=CD（

）1212例3.如圖，已知AB=CD，AD=CB，E、F分別是AB，CD的中點，且DE=BF，說出下列判斷成立的理由.①△ADE≌△CBF②∠A=∠C線段中點的定義CFADABCDSSS△ADE≌△CBF全等三角形對應(yīng)角相等已知ADBCFECB②∵∴∠A=∠C()=

例4.如圖，E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD。求證：AF∥DEABCDEF?ABF≌?DCE(SAS)∴∠AFB=∠DEC∴AF//DE∵AB∥CD，AD∥BC（已知）∴∠1＝∠2∠3＝∠4

在△ABC與△CDA中∠1＝∠2（已證）AC=AC

（公共邊)∠3＝∠4（已證）∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CDBC=AD（全等三角形對應(yīng)邊相等）證明:連結(jié)AC.例5.如圖，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD嗎？為什么？AD與BC呢？ABCD2341

例6.如圖，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求證：BC=DEABCDE12證明:∵∠1=∠2∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC∴∠BAC=∠DAE在?ABC和?ADE中∴?ABC≌?ADE(AAS)∴BC=DE解∵

CE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠AEC=∠BFD=Rt∠∵AF=BE（已知）即AE+EF=BF+EFAE=BF∵AC=BD∴RtΔACE≌RtΔBDF（HL）∴CE=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）ABCDEF

例7.如圖，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC=BD，AF=BE，則CE=DF。請說明理由。

例8.已知：∠ACB=∠ADB=900，AC=AD，P是AB上任意一點，求證：CP=DP

CABDP證明:在Rt?ABC和Rt?ABD中∴Rt?ABC≌Rt?ABD∴∠CAB=∠DAB∴?APC≌?APD(SAS)∴CP=DP

例9.如圖CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE與CD相交于點O，且∠1＝∠2，求證OB＝OC。

證明：∵∠1＝∠2

CD⊥AB，BE⊥AC

∴OD＝OE(角平分線的性質(zhì)定理)

在△OBD與△OCE中

∠BOD＝∠COE(對頂角相等)

OD＝OE(已證)

∠ODB＝∠OEC(垂直的定義)

∴△OBD≌△OCE(ASA)

∴OB＝OC

例10.如圖A、B、C在一直線上，△ABD，△BCE都是等邊三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求證：BF＝BG。

證明：∵△ABD，△BCE是等邊三角形。

∴∠DBA＝△EBC＝60°

∵A、B、C共線∴∠DBE＝60°

∴∠ABE＝∠DBC

在△ABE與△DBC中

AB＝DB

∠ABE＝∠DBC

BE＝BC

∴△ABE≌△DBC(SAS)

∴∠2＝∠1

在△BEF與△BCG中

∠EBF＝∠CBG

BE＝BC

∠2＝∠1

∴△BEF≌△BCG(ASA)

∴BF＝BG(全等三角形對應(yīng)邊相等)例11.如圖AB//CD,∠B=90o,E是BC的中點,DE平分∠ADC,求證:AE平分∠DABCDBAEF證明:作EF⊥AD,垂足為F∵DE平分∠ADCAB//CD,∴∠C=∠B又∵∠B=90o∴∠C=90o又∵EF⊥AD∴EF=CE又∵E是BC的中點∴EB=EC∴EF=EB∵∠B=90o∴EB⊥AB∴AE平分∠DAB∴BC⊥DC

例12.如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由。∵AB=AC（已知）AD=AD（公共邊）∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴BD=CD解：BD=CD∵∠ADB=∠ADC=90°例2：如圖，已知△ABC中，BE和CD分別為∠ABC和∠ABC的平分線，且BD=CE，∠1=∠2。說明BE=CD的理由。ABCED12解：∵∠DBC=2∠1，∠ECB=2∠2

（角平分線的定義）∠1=∠2∴∠DBC=∠ECB在△DBC和△ECB中

BD=CE（已知）∠DBC=∠ECBBC=CB（公共邊）∴△DBC≌△ECB（SAS）∴BE=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）同學(xué)們自己做做1、下列說法正確的是（C）

A：全等三角形是指形狀相同的兩個三角形C：全等三角形的周長和面積分別相等

C：全等三角形是指面積相等的兩個三角形D：所有的等邊三角形都是全等三角形2、如圖：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，則EC的長為（B）

A：2B：3C：5D：2.5

3、如圖：在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，則下列結(jié)論：①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C，③BD=CD，④AD⊥BC。其中正確的個數(shù)有（D）

A：1個B：2個C：3個D：4個4、如圖：AB=AD，AE平分∠BAD，則圖中有幾對全等三角形。（B）

A：2B：3C：4D：55、如圖：在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，∠B=40°，∠BAC=82°，則∠DAE=（C）

A：7B：8°C：9°D：10°6、如圖：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，則下列結(jié)論：：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC。其中正確的個數(shù)有（D）

A：1個B：2個C：3個D：4個7、如圖：EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DBF，則只要（A）

A：AB=CDB：EC=BFC：∠A=∠DD：AB=BC8、如圖：在不等邊△ABC中，PM⊥AB，垂足為M，PN⊥AC，垂足為N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，下列結(jié)論：①AN=AM，②QP∥AM，③△BMP≌△QNP，其中正確的是（B）

A：①②③B：①②C：②③D：①9、如圖：直線a,b,c表示三條相互交叉環(huán)湖而建的公路,現(xiàn)在建立一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有（D）

A：1個B：2個C：3個D：4個10、如圖：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，則△DEB的周長是（A）

A：6㎝B：4㎝C：10㎝D：以上都不對二、填空題（每小題3分，共30分）11、如圖：AB=AC，BD=CD，若∠B=28°則∠C=28

度；12、如圖：在∠AOB的兩邊截取OA=OB，OC=OD，連接AD，BC交于點P，則下列結(jié)論中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③點P在∠AOB的平分線上。正確的是①②③；（填序號）13、如圖：將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點F處，已知∠1+∠2=100°，則∠A=50度；14、如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，則△ABD的面積是___5____；15、如圖：在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°,∠B=40°，則∠CAE=35

度；16、如圖：在△ABC中，AB=3，AC=4，則BC邊上的中線AD的長x取值范圍是

0.5<x<3.5；17、如圖：∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，ACEB2B1B第18題圖∠CED=35°，則∠EAB=35

度；18、如圖，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，還需添加一個條件是∠B=∠C（或∠BAE=∠CAE_、BE=CE）（填上你認為適當(dāng)?shù)囊粋€條件即可）EACEB2B1B第18題圖19、（10分）如圖：AD是△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD。求證：BE⊥AC。

20、（12分）如圖：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足為C，D。求證：（1）OC=OD，（2）DF=CF。全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

∵△ABC≌△DFE∴AB=DF,BC=FE,AC=DE

（）∴∠

A=∠

D,∠

B=∠F,∠C=∠E

（）全等三角形的性質(zhì)應(yīng)用全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)角相等1、能夠

的兩個圖形叫全等形；2、兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫做

；互相重合的邊叫做

；互相重合的角叫做