尺規(guī)作圖方法介紹

尺規(guī)作圖方法介紹鹿城區(qū)教師培訓和科研中心周曉虹316183721@

目錄一、何為“尺規(guī)作圖”二、“尺規(guī)作圖”可能問題三、“尺規(guī)作圖”不能問題四、尺規(guī)作圖的相關延伸五、《數(shù)學課程標準》及中考要求一、何為“尺規(guī)作圖”尺規(guī)作圖就是只使用直尺和圓規(guī)，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。這里的“直尺”和“圓規(guī)”跟現(xiàn)實中的并非完全相同，具有抽象意義。直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側。只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度。圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度或一個任意的長度。

一、何為“尺規(guī)作圖”尺規(guī)作圖，起源于古希臘。希臘人強調(diào)作圖只能用直尺圓規(guī)，有下列原因：①希臘幾何的基本精神，是從極少的基本假定（定義、公理、公設）出發(fā)，推導出盡可能多的命題。②受柏拉圖哲學思想的影響。③以畢達哥拉斯學派為代表的希臘人認為圓是最完美的平面圖形，圓和直線是幾何學最基本的研究對象。史上最早明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯，他發(fā)現(xiàn)以下作圖法：在已知直線的已知點上作一角與已知角相等。伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的限制逐漸成為一種公約,最后總結在《幾何原本》之中。二、“尺規(guī)作圖”可能問題

1、作圖公法：經(jīng)過兩個已知點可作一直線；已知圓心和半徑可作一個圓；若兩已知直線相交，可求其交點；若一已知直線和一已知圓相交，可求其交點；若兩已知圓相交，可求其交點。二、“尺規(guī)作圖”可能問題

2、基本作圖

①做一條線段等于已知線段；②作一角等于已知角；③平分已知角；④經(jīng)過一點作已知直線的垂線；⑤作線段的垂直平分線。二、“尺規(guī)作圖”可能問題

3、例題分析例1.已知：如圖所示，ΔABC，求作ΔA'B'C'，使ΔA'B'C'≌ΔABC.例2.已知：∠AOB及直線MN.求作：點P，使點P在直線MN上，且點P到OA，OB距離相等.例3.已知ΔABC，求作一點，使點P到AB、AC的距離相等，且到邊AC的兩端點距離相等。

例4.已知斜邊，一銳角，作直角三角形。

例5.已知斜邊、直角邊，求作直角三角形。例6.已知：三角形兩邊及第三邊上的中線，求作三角形。二、“尺規(guī)作圖”可能問題

4、最基本的作圖表述：過點×，點×作直線××；或作直線××；或作射線××．連結點×、×，或連結××．延長××到點×，使××=××．延長××交××于點×．在××上截取××=××．以點×為圓心，××為半徑作圓（?。渣c×為圓心，××為半徑作弧交××于點×．分別以點×、點×為圓心，以××、××為半徑作弧，兩弧相交于點×、×．二、“尺規(guī)作圖”可能問題

5、課堂練習：已知銳角∠a,∠b(∠a>∠b).求作一個角，使它等于2∠a-∠b.已知一角及其該角平分線長和一條鄰邊，求作三角形.已知底邊及一腰，求作等腰三角形.（中考典例）已知：射線OC．求作：∠AOB，使OC平分∠AOB（不寫做法，但要保留作圖痕跡）．

二、“尺規(guī)作圖”可能問題

6、“尺規(guī)作圖”的策略（1）解作圖題一般步驟：

①將題給的條件具體化；②具體敘述所作圖形應滿足的條件；③尋找作圖方法的途徑；④根據(jù)分析所得的作圖方法作出正式圖形，并依次敘述作圖的過程；⑤為了驗證所作的圖形是否正確，必須再根據(jù)已知的定義、公理、定理等，結合作法來證明所作的圖形完全滿足題中所要求的條件；⑥研究這個問題是不是在什么條件下都能作出圖形來．在什么情況下，有唯一解，或多解，或沒有解．二、“尺規(guī)作圖”可能問題

6、“尺規(guī)作圖”的策略（2）幾何作圖題的一般思路：①假設所求的圖形已經(jīng)作出，并且滿足題中所有的條件。②分析圖中哪些是關鍵點，并探討確定關鍵點的方法。③運用基本作圖法確定關鍵點，然后完成作圖。二、“尺規(guī)作圖”可能問題

7、幾種常見的尺規(guī)作圖方法（1）軌跡交點法例1，電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔，按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m、n的距離也必須相等，發(fā)射塔應修建在什么位置？二、“尺規(guī)作圖”可能問題

7、幾種常見的尺規(guī)作圖方法（1）軌跡交點法

例2，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4,0），點O是坐標原點，在直線y=x+3上求一點P，使⊿AOP是等腰三角形，這樣的點P有幾個？二、“尺規(guī)作圖”可能問題

7、幾種常見的尺規(guī)作圖方法（2）代數(shù)作圖法：

例3，只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心）。例4，求作一正方形，使其面積等于已知⊿ABC的面積。二、“尺規(guī)作圖”可能問題

7、幾種常見的尺規(guī)作圖方法（3）旋轉(zhuǎn)作圖法：

例5，已知：直線a、b、c，且a∥b∥c.求作：正⊿ABC，使得A、B、C三點分別在直線a、b、c上.二、“尺規(guī)作圖”可能問題

7、幾種常見的尺規(guī)作圖方法（4）位似法作圖：

例6，已知：一銳角⊿ABC求作：一正方形DEFG，使得D、E在BC上，F(xiàn)在AC上，G在AB上.二、“尺規(guī)作圖”可能問題

7、幾種常見的尺規(guī)作圖方法（5）面積割補法例7，過⊿ABC的底邊BC上一定點P，求作一直線l，使其平分⊿ABC的面積.三、“尺規(guī)作圖”不能問題1、著名的幾何三大問題（古典難題）：（1）化圓為方問題：作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積。（2）三等分角問題：三等分一個任意角。（3）倍立方問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍。

三、“尺規(guī)作圖”不能問題2、另外兩個著名問題：（1）正多邊形作法（2）四等分圓周四、尺規(guī)作圖的相關延伸1、用生銹圓規(guī)(即半徑固定的圓規(guī))作圖（1）只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形；（2）生銹圓規(guī)作圖,已知兩點A、B，找出一點C使得AB=BC=CA。（3）已知兩點A、B，只用半徑固定的圓規(guī)，求作C使C是線段AB的中點。2、尺規(guī)作圖，是古希臘人按“盡可能簡單”這個思想出發(fā)的。3、10世紀時，有數(shù)學家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)作圖。4、幾何三大問題如果不限制作圖工具，便很容易解決。

五、《數(shù)學課程標準》及中考要求2011版《數(shù)學課程標準》在第三學段的第二部分“圖形與幾何”中對“尺規(guī)作圖”有明確要求：（1）會用尺規(guī)完成以下基本作圖：

作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線。五、《數(shù)學課程標準》及中考要求（2）會利用基本作圖作三角形：

已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形。（3）會利用基本作圖完成作圖：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形。（4）在上述尺規(guī)作圖的問題中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。五、《數(shù)學課程標準》及中考要求