最優(yōu)控制習題集與參考答案解析

最優(yōu)控制習題及參考答案習題1 通過x()=1，x)=2，使下列性能指標為極值的曲線：tfJ=∫

(2+)dtt0解：由已條件知：t0=0，tf=1d由歐拉方程得： (2)=0=1x=t+C2將x()=x)=2代入，有：C2=，1=1得極值軌線：x*t)=t+1習題2 性能指標：

J=∫

1(2+)t0邊界條件x()=0，x)是自由情況下的極值曲線。1 2解： 上題得：x*t)=Ct+1 2

x*t)x由x()=0得：C2=0x0L由

t=tf

=2tf)=1t=t=0 tf0 1f是：x*t)=0【分析討論】對于任意的x()=0x)自由。2 0 1 0有：C=x，C=0，即：x*t)2 0 1 0其幾何意義：x)自由意味著終點在虛線上任意點。習題3 知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

1t)=2t)，2t)=ut)邊界件為：1()=2()=1，1)=2)=0，31∫試求使性能指標J=∫0

u2t)t2極小值的最優(yōu)控制u*t)以及最優(yōu)軌線x*t)。?x?解： 已知條件知：f=?2??u?aiton函數(shù)：H=L+λTf

H=1u2+λx

+λu?=0?=??=?λ2 1

2 12 2?λ=C ①得：?1 1?2=t+C2 ②H由控制方程：u

=u+2=0得：u=?2=t?C2 ③由狀態(tài)方程：2=u=t?C2得：xt)=1Ct2?Ct+C ④2 2由狀態(tài)方程：1=2

1 2 3得：xt)=1Ct3?1Ct2+Ct+C ⑤1 61

2 2 3 4?

?0?將x()=??，x)=?0?代入④，⑤,? ??聯(lián)立解得：1=由③、④、⑤式得：u*t)=0t?29

，C2=2，3=C4=191x*t)=1

5t3?t2+t+1x*t)=5t2?t+12 9習題4 知系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為=u，

x()=1試確定最優(yōu)控制使下列性能指標取極小值。1∫J=∫0解： H=x2e2t+u2e2t+λu??=u?列方程：?=?2e2t??e2tu+λ=0?

(x2+u2)e2tt①②③由③得，u代入①得，x

1e2tλ ④=?=?1e2tλ=?2x 1e2t

e2tλ=? +2將②，③代入，并考慮到u=

1e2t(?2e2t)+e2t(?2e2t)2=?整理可得：+2?x==?特征方程：s2+2s?1=01=?1+

，2=?1? 21 2于是得：x*t)=Cet+Ce21 2)= u=λ*t③e2t①?)= u=λ*t)=e2t

1e

t+Cse2t)22s2由x()=1，得：1+C2=1 22s21由λtf)=λ)=0得：11

+C2s2e =0 ⑥⑤、⑥聯(lián)立，可得、C2代回原方程可得x*→u*（略）習題5 求使系統(tǒng)：1=2，2=u由初始狀態(tài)1()=2()=0

出發(fā)，在tf

=1時轉(zhuǎn)移到目標集11)+2)=1，并使性能指標J= ∫

1u2t)t2 0為最小值的最優(yōu)控制u*t)及相應的最優(yōu)軌線x*t)。解：本題f(iL(i)與習題3同故H(i)相同→方程同→通解同?1=2=?t+C2??x=1Ct3?1Ct2+Ct+C?：??

1 61 2 2 3 4?x=1Ct2?Ct+C?2 2?

1 2 3u=t?C2?0?x(0)=???0?由 ，有：3=C4=0 ①由1)+2)=1，有：1C

1C

+1C?C=161 2 2

21 22C?3C=1 ②31 2 2? ψT由λ)= + ?γ=0ψ=1+2?1x x?：λ)=??γ=0?λ)=λ? 1 2于是：1=?1+C21=C2 ③3 6、③聯(lián)立，得：1-C2=-7 7于是：u*=?3t+67 7x*=?1t3+3t21 4 7x*=?3t2+6t2 4 7習題6 已知一階系統(tǒng)：t)=?xt)+ut)，x()=3f（１）試確定最優(yōu)控制u*t)，使系統(tǒng)在t=2時轉(zhuǎn)移到x()=0，并使性f能泛函

∫2∫J= 1+u2)t=in0f f（２如果使系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到xt)=0的終端時間t自由問u*t)f f解： H=1+u2+λu?λx??=?x+u?方程：?=λ??u+λ=0?協(xié)態(tài)方程得：λ=Cet ①1 t控制方程：u

=? e ②?t?t① tf

1 t代入狀態(tài)方程：=?x? e2=x()=0

?xt)=2e

1Cet41C? ?1C=3C?2 41?Ce2?1Ce2=0?2 41解得：1=4 ，e?1

e4C2=4e?1代入②得：u*t)=?②xtf)=t

6 ete4?1C? ?1C=3C?2 41??Ce?tf?

1Cetf=04?2 14??Htf)=0??解得：1=

40?60.325u*t)=?et習題7 系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為t)=ut)，x()=1試確定最優(yōu)控制u*t)，使性能指標

1 tf 2f ∫J=tf ∫2 0

ut為極小，其中終端時間tf未定，

xtf)=0。解： H=1u2+λu2協(xié)態(tài)方程得：=0

→λ=1 ①控制方程：u+λ=0

→u=?1 ②由狀態(tài)方程：=u=1

?xt)=t+C2 ③由始端：x()=1

→C2=1由末端：xtf)=0

→tf+1=0 ④?考慮到：Htf)=?t

ψt

?γ=?1?f ?f12有： u+λu=121C2?C2=1?C2=221 1 11=±2 ⑤當1=

2時，代入④有：tf

=1=11 2當1=?

2時，代入④有：tf

=1=?1，不合題意，故有C= 211 21最優(yōu)控制

u*=?2習題8 設系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為1t)=2t)，1()=2性能指標為

2t)=ut)，J=1∫tfu2t

2()=12 0要求達到xtf)=0，試求（1）tf

=5時的最優(yōu)控制u*t)；f（2）t自由時的最優(yōu)控制u*t)；解：本題f(iL(iH(i)與前同，故有f??1=1??2=?t+C2?x=1Ct3?1Ct2+Ct+C6?1 16?

2 2 3 4?x=1Ct2?Ct+C?2 2?

1 2 3u=t?C2?2?

?0?

?C4=2?3=15 ① 由x()=??

x)=?0?，得：?

1?

C2+3+C4=0?1?

?? ?6 2?C

?C+C=0? 1 2 3?2聯(lián)立得：1=.C2=8，

? u*

=t?②tf自由?C=1?43=2?1Ct3?1Ct2+Ct

+C=06? 1f6?

2 2f 3f 4?1Ct2?Ct

+C=0?21f?

2f 3?Htf)=0聯(lián)立有：C2t2?Ct

+2=0， 無論C為何值，t均無實解。2f 2f 2 f習題9 定二階系統(tǒng)

t)=xt)+1，x()=?11 2 4 1 412t)=ut)，1

2()=?4控制約束為ut)≤ ，要求最優(yōu)控制u*t)，使系統(tǒng)在t=t2 f并使

時轉(zhuǎn)移到xtf)=0，其中tf自由。

∫tf∫J= u2t)t=in0解：H=u2+λx

+1λ

+λu12 41 2

??1λ λ≤1?22 2?本題屬最小能量問題，因此：

u*t)=??1

λ>12? 22??1 λ

<12? 22??=0→λ=C由協(xié)方程：?1 1 12 1 2 1 2?=?λ→λ=Ct2 1 2 1 22是t的直線函數(shù)。當u*t)=?1λ

=1Ct?1C

時（試?。?2 21 2 2xt)=1Ct2?1Ct+C2 41

2 2 3xt)=

1Ct3?1Ct2+1t+Ct+C1 21

4 2 4 3 41由始端條件→3=C4=4由末端條件→

1Ct3?1Ct

2+1t

+1=021f

4 2f

2f 41Ct2?1Ct

+1=041f

2 2f 4另：Htf)=01：1= C2=t=39 f于是，λ

1t ?2=時，t<02=? ?9 ?2

=時，t=9在t從0→3段，2

≤1滿足條件。故，u*

=?1λ=1=?22 810 1 2 3 4 t習題10 設二階系統(tǒng)

1t)=?1t)+ut)，1()=12t)=1t)，

2()=0控制約束為ut)≤1，當系統(tǒng)終端自由時，求最優(yōu)控制u*t)，使性能指標J=21)+2)取極小值，并求最優(yōu)軌線x*t)。解由題意，f

??1+u?= ，

?=x

+x,

L=0， ?

H=λu?λx

+λx? ? 1 2

1 11 21? 1 ??1由控制方程可得：u*=??1?

1<01>0?

=λ?λ

?λ=Cet+C由協(xié)態(tài)方程可得：?

1 1 2 1 2 1?2=0? ?2?

?2=1由λt

)= =??

?C=C

=e1fxtf)f

?1? 1 2?λ=et1+1→在t>的圍內(nèi)λ>1??1 1故：u*=1

t∈[,]

?2=1若需計算最優(yōu)軌線，只需把u*=1代入狀態(tài)方程，可得：?x*t)=e?t?1?1?x*t)=e?t?t+2?2習題11 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為

1t)=2t)，1()=10∫性能指標為J=1∫2 0

2t)=ut)，∞1(4x2+u2t1

2()=20試用調(diào)節(jié)器方法確定最優(yōu)控制u*t)。?0 1?解：由已條件得：A=? ??0 0?

?0?，B=??，?1?

?4 0?Q=? ??0 0?

，R=1?1 0?∵[B B]=??1 0?? ?

,可控——優(yōu)解存在考慮到

Q=?4 0?=?2?[2 0]=DTD，故?0 0? ?0??0 0? ?0?

D=[2 0]?D? ?2 0?∵? ?=? ??A? ?0 2?

∴閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定由Ricai程TP+A?R1BTP+Q=0，有?0 0??1

2?+?1

2??0 1???1

2??0?[0]?1

2?+?