彈性力學第十二章復變函數(shù)法

第十二章復變函數(shù)法一些彈性力學問題采用復變函數(shù)求解比較方便，例如對于由橢圓、雙曲線以及其它曲線構成物體邊界的平面向題，對于含有裂紋平面問題等，利用曲線坐標及復變函數(shù)方法求解十分適宜。應用復變函數(shù)的理論和方法，例如保角變換等，可使彈性力學問題求解的范圍進一步擴大，本章只限于介紹復變函數(shù)方法在彈性力學中的一些簡單應用。第一節(jié)復變函數(shù)的基本概念第二節(jié)應力函數(shù),應力的表示

第三節(jié)位移的表示第四節(jié)應力邊界條件第五節(jié)園域問題的解第六節(jié)多連通域內(nèi)應力與位移的單值條件

第七節(jié)保角映射與與曲線坐標第八節(jié)含圓孔口的無限大板問題第九節(jié)橢圓孔口問題第一節(jié)復變函數(shù)的基本概念復變函數(shù)的表示分別為f(z)的實部和虛部。復數(shù)的表示共軛復數(shù)復變函數(shù)的共軛函數(shù)的表示一般，而應將所有i,換為-i.復變函數(shù)的概念和性質(zhì)復數(shù)對應平面上的點，用復數(shù)和復變函數(shù)來描述和解平面問題是十分自然的。復變函數(shù)w=f(z)

將平面z上的點變換為平面w上的點，將平面z上的圖形變換為平面w上的圖形，將平面z上的一個區(qū)域變換為平面w上的的一個區(qū)域。第一節(jié)復變函數(shù)的基本概念復變函數(shù)w=f(z)

是單值函數(shù)時，當z平面上的一點繞行一周，回到原來的位置時，對應于w平面上的點也繞行一周，回到原來的位置。當z平面上一點再繞行一周，回到原來的位置時，對應于w平面上的點也再繞行一周，回到原來的位置。復變函數(shù)z=f(s)

是多值函數(shù)時，當s平面上的一點繞行一周，回到原來的位置時，對應于z平面上的點并不繞行一周，回到原來的位置，而是到達新的一點。當z平面上的一點再繞行一周，回到原來的位置時，對應于z平面上的點從新的一點出發(fā)，畫出新的曲線，到達另一個新的點的位置。我們通常用到的多值函數(shù)是對數(shù)函數(shù)lnz.當應力和位移由復變函數(shù)組成時,為了保證他們的單值性,應考慮這一點。當z為單位圓周上的點時，繞行一周后，z的值重復，而對數(shù)函數(shù)lnz值不重復，也就是多值函數(shù)。解析函數(shù)的概念和性質(zhì)在一個區(qū)域D的每一個點處都可微的函數(shù)，叫在這個區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)。性質(zhì)1如果函數(shù)在一區(qū)域內(nèi)是解析的，那么對于所有的在這個區(qū)域內(nèi)而且具有兩個公共端點的那些曲線C來說，積分的值相同。性質(zhì)2如果函數(shù)在一個單連通區(qū)域內(nèi)是解析的，并且在一個區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的，那么沿區(qū)域D的邊界C所取的積分等于零。對于多連通區(qū)域來說如果函數(shù)在一個區(qū)域內(nèi)是解析的，并且在一個區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的，那么沿區(qū)域D的邊界C所取的積分等于零，但在通過這個區(qū)域的邊界時，其通過的方向要使區(qū)域D始終保持在同一個側(cè)。DC性質(zhì)3如果函數(shù)f(z)在一區(qū)域內(nèi)是解析的，并且在一個區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的，那么柯西公式成立其中C是區(qū)域D的邊界，其通過的方向是使區(qū)域D始終保持在其左面的。并z點應包含在區(qū)域D內(nèi),也就是說柯西積分被積函數(shù),以z為奇點.具體例子請看mathcad中柯西積分的例子.另外有性質(zhì)4函數(shù)為解析函數(shù)的必要條件是柯西－黎曼條件當這些偏導數(shù)連續(xù)時，也是充分條件。根據(jù)柯西－黎曼條件，可知解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù):解析函數(shù)的實部和虛部是共軛的，其等值線相互垂直。性質(zhì)5設f(z)在以z=a為圓心的圓內(nèi)和圓周上是解析的，那么對圓內(nèi)所有的點有泰勒級數(shù)表示：設f(z)在a點不是解析的，則稱為該點為一個奇點，如除該點外解析，則稱為孤立奇點。如果奇點的形式如下，則成為極點（φ(z)解析

）：設f(z)在z=a處有一m階極點，但在以z=a為圓心的圓內(nèi)和圓周上其他點上是解析的，那么對圓內(nèi)所有的點有羅朗級數(shù)表示：設f(z)在z=a處有一階極點，但在以z=a為圓心的圓內(nèi)和圓周上其他點上是解析的，那么對圓內(nèi)所有的點有羅朗級數(shù)表示：于是有另由包含a在內(nèi)的柯西積分可得殘數(shù)定理如果柯西積分包含a,b兩個單極點在內(nèi)，則有復變函數(shù)w=f(z)

為解析函數(shù)時，在它所實現(xiàn)的條件下，若在兩曲線交點處的導數(shù)不為零，則變換前后曲線在該交點處的夾角的大小和旋轉(zhuǎn)方向保持不變，這種變換稱為保角映射。應力函數(shù)的復變函數(shù)表示在第二章中已經(jīng)證明，在平面問題里，如果體力是常量，就一定存在一個應力函數(shù)φf，它是位置坐標的重調(diào)和函數(shù)，即第二節(jié)應力函數(shù),應力的表示

現(xiàn)在，引用復變數(shù)z=x＋iy和z＝x－iy以代替實變數(shù)x

和y。注意可以得到變換式又可以進而得到變換式于是可將方程式變換成為令由可知，P是調(diào)和函數(shù)可由解析函數(shù)的實部得到，設f(z)為解析函數(shù)，可令由令將上式對z積分，得到令即將上式對z積分，得到注意上式左邊的重調(diào)和函數(shù)φf是實函數(shù)，可見該式右邊的四項一定是兩兩共軛，前兩項已經(jīng)是共軛的，后兩項也應是共軛的：令即得有名的古薩公式它也可以再改寫為于是可見，在常量體力的平面問題中，應力函數(shù)φf總可以用復變數(shù)z的兩個解析函φ1(z)和χ(z)來表示，稱為K-M函數(shù)。在這里我們研究了重調(diào)和函數(shù)的結構，具體的函數(shù)應由問題的邊界條件得到。根據(jù)應力分量和應力函數(shù)的關系可得到應力分量的復變函數(shù)表示由可得另又有可得和顯然,φ1(z)及ψ1(z)具有同樣的因次［力][長度]-1。只要已知φ1(z)及ψ1(z)，就可以把上述公式右邊的虛部和實部分開，由虛部得出τxy，由實部得出σy-σx。

就是應力分量的復變函數(shù)表示。當然也可以建立公式，把σx、σy

、τxy三者分開用φ1(z)和ψ1(z)來表示，但那些公式將比較冗長，用起來很不方便?，F(xiàn)在把位移分量用復變函數(shù)φ1(z)和ψ1(z)來表示。假定這里講的是平面應力問題。由幾何方程及物理方程有第三節(jié)位移的表示可得其中根據(jù)注意到同理將上兩式分別對x及y積分，得其中的f1及f2為任意函數(shù)。將上式代入式其中根據(jù)將得到于是可以得到剛體位移

f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v

0＋ωx不計剛體位移，即得到得到由式(*)將結果代入式(*),兩邊除以1+ν而得這就是位移分量的復變函數(shù)表示。如果已知φ1(z)及ψ1(z)，就可以將該式右邊的實部和虛部分開，從而得出u和v。上述公式是針對平面應力情況導出的。對于平面應變情況，須將式中的E改換為E/(1－ν2)，ν改換為ν/(1－ν)。應力和位移公式是柯洛索夫首先導出的。

四、應力邊界條件為了求得邊界上各結點處的φ值，須要應用應力邊界條件，即：代入上式，即得：

l1=cos(N,x)=dy/ds,l2=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改寫為：由圖可見，由此得：

設A是邊界上的固定點，B為任意一點，則從到邊界上的合力，可用上式從A點到B點對s積分得到：將式把應力函數(shù)加上一個復常數(shù)，并不影響應力。因此，可把應力函數(shù)A處的值設為零，于是對于邊界上的σ有代入，整理得：這就是應力邊界條件?；蛑灰覀円蟪鰸M足邊界條件的兩個解析函數(shù)，問題就得以解決，但要求出滿足邊界條件的兩個解析函數(shù)，這仍舊是困難的，克羅索夫和穆斯赫利什維利(Kolosoff-Mushelishvili)根據(jù)邊界條件和柯西積分解決了不少復雜的問題，在這下面我們將作一簡要的介紹，通過一些例子，說明方法的應用。五、園域問題的解設圓的半徑為R，在圓周L上給定外力，于是為已知函數(shù)，其中現(xiàn)在的問題是求兩個解析函數(shù)，使在L上滿足以2πi(σ-z)來除上式，這里z在圓內(nèi)，并在L上積分得R現(xiàn)在逐個計算上式各積分，根據(jù)柯西積分公式有由于，在圓內(nèi)解析，故可令由于代入上式得這里使用了現(xiàn)在來求常數(shù)a1，由a1＝φ’(0)，在對上式求導后，令z=0代入后得取a1的虛部為零，并不會影響應力值，可得最后得到以2πi(σ-z)來除上式，這里z在圓內(nèi)，并在L上積分得現(xiàn)在逐個計算上式各積分，利用現(xiàn)在來求，將下式取共軛得求得的解析函數(shù)中，去掉與應力無關的常數(shù)得其中例邊界上兩點受水平拉力F的作用，于是FFxyδσ1σ2R可得根據(jù)計算可得Fxδσ1σ2r1φ1φ2r2z代入應力計算公式，并令最后可得六、多連通域內(nèi)應力與位移的單值條件應力確定后，應力函數(shù)仍可差一個任意的線性函數(shù)，這時K-M函數(shù)并未完全確定，對于單連通區(qū)域，可以通過選取適當坐標系等辦法，使得K-M函數(shù)完全確定。但對于多連通區(qū)域仍不能完成確定，本節(jié)討論K-M函數(shù)在多連通區(qū)域內(nèi)滿足單值的條件。設有多連通區(qū)域，有一內(nèi)邊界C，設在邊界上C的外力矢量已給定。通常的多值函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，我們設DC前面的函數(shù)的導數(shù)是單值的，但他們本身是多值的，當z繞周邊一周時，函數(shù)值ln(zk)產(chǎn)生一個增量2πi,于是φ1(z)和ψ1(z)的增量分別是2πiAk和2πiBk,這時應力主矢量按照公式左邊將得到應力主矢量(沿整個邊界），右邊得到一增量：這里zk為內(nèi)部邊界內(nèi)的任意一點，φf1和ψf1為單值的解析函數(shù)（全純函數(shù)），而Ak，Bk為常數(shù)：結合可得到也將得到增量，根據(jù)單值性這個增量應為零：這時位移按照公式當有m個內(nèi)邊界時，取于是無限大多連體當多連體的外邊界趨于無限遠時，該多連體成為無限大的多連體，除上述條件外，還需考慮無限遠的極限情況。以坐標原點為圓心，作充分大的圓周sR，將所有的內(nèi)邊界包圍在其內(nèi)，對于sR之外，彈性體之內(nèi)的任意一點，可得到在sR之外的解析函數(shù)于是可寫為其中Px,Py為m個邊界上沿x,y方向的面力之和。將多連通區(qū)域內(nèi)的全純函數(shù)φ*f1和ψ*f1展開為羅郎級數(shù)：于是由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的，級數(shù)中n≥2的系數(shù)應為零。同樣從中，由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的，應有其中略去了和應力無關的常數(shù)項。其中β與應力計算無關，可取為零，而于是這時當z→∞時，可得同樣當z→∞時，從中，可得可以從中求得相應的系數(shù)，并可以看到在無限遠處，應力的分布是均勻的。系數(shù)為設有平面ζ，復變函數(shù)z=w(ζ)將z平面上的區(qū)域變換為平面ζ上的一個區(qū)域，通常我們選擇ζ平面為一個單位圓，下面我們首先推導在ζ平面上的應力函數(shù)及應力分量的表達式。七、保角映射與與曲線坐標為方便起見，我們?nèi)匀挥忙?(ζ),ψ1(ζ)

,來表示φ1*(ζ),ψ1*(ζ)。于是有由此得到位移的表示式應力邊界條件成為記在映射下邊界條件成為其中除直角坐標系外，我們也可以使用其它曲線坐標，特別是正交曲線坐標，在正交曲線坐標ξ、η中，位移分量可以表示為uξ、uη，uξ為ξ增加方向上的位移，uη為η增加方向上的位移，設在某一點，正交曲線坐標ξ、η的方向由x,y的方向轉(zhuǎn)動λ，位移分量可以根據(jù)直角坐標系下的位移分量根據(jù)坐標變換公式得到，有下列的結果坐標變換ξηλxyo上式可以寫為復數(shù)的形式設有平面ζ，復變函數(shù)z=w(ζ)將z平面上的區(qū)域變換為平面ζ上的一個區(qū)域，同時將z平面上的一對垂直的方向，變換為ζ平面上的一對垂直的方向，但是轉(zhuǎn)過了一個角度λ，如果在ζ平面選用極坐標，轉(zhuǎn)過的角度λ為由下式給出證明如下。設沿ρ軸方向給z點以位移dz，而對應點ζ沿徑線方向得到位移dζ，于是有可得兩邊取共軛，得到zρθλxyo于是可以得到保角變換后極坐標下的位移分量在正交曲線坐標ξ、η中，應力分量可以表示為σξ、ση和τξη，σξ為ξ＝常數(shù)的曲線上的正應力，ση為η＝常數(shù)的曲線上的正應力，τξη為這兩曲線上的切應力，這些分量可以根據(jù)直角坐標系下的應力分量根據(jù)坐標變換公式得到，有下列的結果：可以寫成特別在極坐標時于是可以得到保角變換后曲線坐標下的應力分量注意到注意上面式子中的導數(shù)應按復合函數(shù)求導進行。如果不作保角變換，僅僅改用極坐標，這時極坐標下的應力分量為在極坐標中，如物體的周界為圓，圓心與極坐標的原點重合，這時邊界上的外力與應力有關系由前面兩式相減可得在圓孔問題中將采用該邊界條件。八、含圓孔口的無限大板問題以坐標原點為圓心，作充分大的圓周sR，將所有的內(nèi)邊界包圍在其內(nèi)，對于sR之外，彈性體之內(nèi)的任意一點，可得到改寫為其中對于孔邊上的點將上列各式代入就得到極坐標下圓周邊界上的級數(shù)形式的應力邊界條件。設周邊上的外力為已知，并將其展開為傅氏級數(shù)比較兩邊eikφ和e-ikφ的系數(shù)，可得由無限遠處的應力條件，可得由位移的單值條件有及可求得再由可求得至此，全部系數(shù)均已求出。例設孔周邊為均勻壓力p，無限遠處的應力為零，于是有于是可求得最后得到根據(jù)上述方法，圓孔口無限大板的一般問題都可以得到解決?，F(xiàn)考察一無限大板，板中有一橢圓孔，其長半軸和短半軸分別為a和b。九橢圓孔在均勻受拉板中的問題這里Oab作變換該映射將橢圓外區(qū)域映射到單位圓外，這時有在映射下邊界條件成為以2πi(σ-ζ)來除上式，這里ζ在圓外，并在圓周L上積分得在這里先設孔邊無外力作用，即作用于圓周線上外力的合力為零。設無限遠處的應力也為零。這時成為將其代入邊界條件中去，并逐項積分。現(xiàn)在逐個計算上式各積分，根據(jù)柯西積分公式有由于在單位圓上有在圓內(nèi)解析，根據(jù)柯西積分公式有相似可得到于是得到以2πi(σ-ζ)來除上式，這里ζ在圓外，并在單位圓周L上積分得現(xiàn)在來求，將下式取共軛得由于有可得到于是在孔邊無外力作用，無限遠處的應力為零時我們?nèi)〉玫疆斂走呌型饬ψ饔?，無限遠處的應力不為零時，在變換下將其代入邊界條件得到其中這時的邊界條件與先前的邊界條件形式上類似，通過相同的步驟，可得到得到例設孔的周邊不受力作用，在無限遠處受大小為P的拉應力，其方向與x軸成θ角，這時有把上述結果帶回上面K-M函數(shù)的表達式，我們就得到了帶橢圓孔無限大板最一般條件下的K-M函數(shù)的表達式。yOabxθP在極坐標時在φ=θ無限遠處時于是yOabxθP于是這時有其中各部分的柯西積分,根據(jù)殘數(shù)定理和和柯西積分公式其中前兩式計算如下代入得到最后得到利用他們來計算應力分量轉(zhuǎn)換為極坐標應力分量在邊界上在時這時，最大值在處達到其中稱為應力集中因數(shù)，可以看到b越小，即孔越窄，應力集中因數(shù)越大，當b趨于零時，橢圓孔蛻化為一個長為2a的裂縫，應力集中因數(shù)將成為無限大，對此的詳細分析將在斷裂力學中討論。采用橢圓曲線坐標

z=c

coshζζ＝ξ＋iη坐標變換將平面上的ξ＝ξ0變換為橢圓，橢圓的半徑設為a,b，則有

a=ccosh

ξ0

b=c

sinh

ξ0c和ξ0可從中求得。附橢圓孔在均勻受拉板中的問題（曲線坐標解法）xy=常數(shù)=常數(shù)當當ξ＝常數(shù)，η從零到2π時，橢圓上的一點繞橢圓一周，位移和應力分量的單值性要求，這些分量在η方向上是以2π為周期的?，F(xiàn)考察一無限大板，均勻受拉力S,板中有一橢圓孔，其半徑為a和b，孔邊無外力作用。其邊界條件為:在無限遠處，σx=σy=σξ=S，τξη=0在孔邊ξ＝ξ0σξ=τξη=0O由z=ccosh

ζ可得取φ(z)=Ac

sinh

ζ，θ(z)=Bc2ζ

而ξ→∞時，ctanhζ=1,于是可得可得A

=S/2而ξ→∞時，sinhζ=→∞,于是可得并由于是在無限遠處，ση－σξ=

0，τξη=0ση=σξ=S，τξη=0于是在無限遠處的邊界條件得到滿足。xy=常數(shù)=常數(shù)由可得在孔邊ξ＝ξ0令就可得到滿足了