有限元方法課件第三章桿系結構有限元

第三章桿系結構有限元§3–1概述

§3–2單元剛度矩陣

§3–3單元剛度矩陣的坐標轉換

§3–4結構的原始剛度矩陣

§3–5支承條件的引入

§3–6非節(jié)點荷載的處理

§3–7桿系結構有限元法的計算步驟及示例

§3–8幾點補充說明

§3–9總結第三章桿系結構有限元一、桿系結構有限元法的基本思想結構力學中的電算方法—桿件有限元法

(結構矩陣分析方法)

結構矩陣分析方法是以傳統(tǒng)結構力學理論為基礎、以矩陣作為數(shù)學表述形式、以電子計算機作為計算手段大規(guī)模的計算方法?！?-1概述

桿系結構有限元法(矩陣位移法）——采用結點位移作為基本未知量。借助矩陣進行分析，并用計算機解決各種桿系結構受力、變形等計算的方法。理論基礎：位移法；分析工具：矩陣；計算手段：計算機

對于桿系結構，桿系結構有限元法易于編制通用的計算程序。二、桿系結構有限元法的思路：1）離散，進行單元分析，建立單元桿端力和桿端位移的關系。2）集合，進行整體分析，建立結點力與結點位移的關系。任務意義單元分析建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單元剛度矩陣用矩陣形式表示桿件的轉角位移方程整體分析由變形條件和平衡條件建立結點力與結點位移間的剛度方程，形成整體剛度矩陣用矩陣形式表示位移法基本方程

構造結點:桿件的轉折點、匯交點、支承點和截面突變點。

非構造結點:一根等截面直桿內(nèi)的單元與單元之間的結點。1.結點和單元

單元與單元之間通過結點聯(lián)結，結點一經(jīng)確定，則單元也就全部確定了。

單元——最基本的分析部件，最簡單的單元是等截面直桿。

梁單元——受軸力、還受剪力和彎矩作用則稱為梁單元（梁、剛架）。

軸力單元——只受軸力作用的單元（桁架）。

三、基本概念

2.坐標系

結構整體坐標系xoy用于描述結構整體的量——結點的坐標、結點的位移、作用在結構上的外力等。

單元局部坐標系固定在單元上，軸與桿軸重合,自軸逆時針旋轉900時的方向為軸正向。用于描述單元的桿端力和桿端位移等。

離散化將結構離散成單元的分割點稱作結點.634512135642結點的選擇:轉折點、匯交點、支承點、剛度變化、荷載作用點等整體編碼：單元編碼、結點編碼、結點位移編碼。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐標系:整體(結構)坐標系;XY局部(單元)坐標系.曲桿結構:以直代曲.變截面桿結構:以等截面桿代變截面桿

不忽略單元的軸向變形時，平面結構中每個剛結點都有3個獨立的位移（2個獨立線位移、1個角位移），每一個鉸結點則有2個獨立線位移。平面剛架單元的桿力列向量為(10-1)平面剛架單元的桿端位移列向量為(10-2）

注意：桿端力與桿端位移必定是一一對應的，即有幾個桿端位移分量就有幾個桿端力分量。

3.桿端位移和桿端力（對單元而言）

平面桁架鉸結點只有兩個獨立的線位移，與此對應，桁架單元的桿端力只有軸力和剪力與其對應，但實際上桁架單元的剪力總是為零的，所以有(10-3)

桿端位移向量(10-4)

其他任何單元都存在桿端力與桿端位移一一對應的關系。

桿端力向量

作用于結點上的所有的力的合力,沿坐標軸方向分解為三個分量,構成該結點的結點力向量。4.結點力和結點位移（對整體而言）

與結點力向量對應的是結點位移向量，是矩陣位移法的基本未知量。注意：結點力和結點位移都是相對于整體坐標系的。

桿端位移和桿端力（對單元而言）的正負號：

作用在結點上的外力和結點位移（對整體而言）的正負號：5.正負號規(guī)定（強調(diào)）

凡是與單元坐標軸方向一致的位移和力均為正值，反之為負值。力矩和轉角以逆時針方向為正，反之為負。

與整體坐標系方向一致的結點力和結點位移為正，反之為負。以逆時針轉的結點力矩和結點轉角為正值,反之為負值。矩陣位移法基本思想:化整為零

------結構離散化將結構拆成桿件，桿件稱作單元。單元的連接點稱作結點。單元分析

對單元和結點編碼.634512135642e單元桿端力集零為整------整體分析單元桿端力結點外力單元桿端位移結點外力單元桿端位移(桿端位移=結點位移)結點外力結點位移基本未知量:結點位移1.建立單元桿端力與桿端位移之間的關系

截面直桿單元e,其桿端位移列向量與桿端力列向量分別為

§3-2單元剛度矩陣單元桿端力與單元桿端位移之間的關系是：

=——單元在局部坐標系中的單元剛度方程。它可記為

（10-6a）其中

（10-7）

稱為局部坐標系中的單元剛度矩陣（簡稱單剛）。

的行數(shù)等于桿端力向量的分量數(shù),列數(shù)等于桿端位移向量的分量數(shù)，

的每一個元素稱為單元剛度系數(shù)，其表示了一個力。

任一元素表示當j號位移為一單位時引起桿端沿i號位移方向的反力。

單剛陣中某一列的六個元素表示當某個稈端位移分量等于1時所引起的六個桿端力分量。

第1列的六個元素就是當(即端點i沿正方向發(fā)生單位位移)時，單元的六個桿端力分量。

2.單元剛度矩陣的特性（反力互等定理）（1）是對稱矩陣。

表達的桿端力和桿端位移的關系，對應于一個完全的自由單元，沒有任何支承約束，可以有任意的剛體位移。(2)是奇異矩陣。即，其逆矩陣不存在.可以由桿端位移確定桿端力。反之，若已知桿端力，卻不能由式反求桿端位移。物理概念為：

局部坐標系中的單元剛度矩陣，只與單元的幾何形狀、尺寸和物理常數(shù)有關，與單元在結構中的位置無關。(3)位置無關性矩陣位移法的單元體現(xiàn)了更強的通用性。單元剛度矩陣為:

3.其他單元的單元剛度矩陣

（10-9）(1)平面桁架單元

若把連續(xù)梁兩支座間的一跨取作單元，桿端位移條件為：，，，。單元剛度方程為(10-11)單元剛度矩陣為（10-12）（10-13）(2)

連續(xù)梁單元桿端位移向量與單元桿端力向量為:

整體分析時必須建立一個統(tǒng)一的坐標系，稱為整體坐標系，其作用是把各單元上不同方向的量值統(tǒng)一到整體坐標系方向上來。整體坐標系中，單元桿端位移向量記為{δe},單元桿端力向量記為{Fe}問題的提出§3-3單元剛度矩陣的坐標變換局部坐標系下的桿端力整體坐標系下的桿端力1.

單元坐標轉換矩陣

局部坐標系

與整體坐標系為xoy的夾角α以x軸逆時針轉到與局部坐標系為正。

j端點桿端力轉換關系端點i處的桿端力分量，有下列轉換關系：（10-10a）（10-10b）整體坐標系下的桿端力與局部坐標系下的桿端力之間的關系簡記為將（10-10a）和（10-10b）聯(lián)合起來寫成矩陣形式[T]稱為單元坐標轉換矩陣,[T]是一正交矩陣。[I]為與[T]同階的單位矩陣。或同理由可得坐標轉換矩陣為：

對平面桁架單元

，。整體坐標系中的單元剛度方程寫為局部坐標系中的單元剛度方程寫為由，

，得等式兩邊左乘，得2.

整體坐標系中的單元剛度矩陣從而可得兩種坐標系中單元剛度矩陣轉換關系式:對于平面剛架單元，整體坐標系中的單元剛度矩陣為式中：平面桁架單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣為:

整體坐標系中的單元剛度矩陣具有與類似的性質(對稱性和奇異性)。

表示單元

j端產(chǎn)生單位位移時引起

i

端的桿端力。對于平面剛架單元

整體分析中，對每一個結點分別建立平衡方程，為了討論方便，將單元剛度方程按兩端的結點

i

、j

進行分塊，寫為對于平面剛架單元，它們都是3×3階方陣。對于平面桁架單元，它們都是2×2階方陣。例:整體單剛的計算21已知:求:各單元整體單剛解:本節(jié)開始對結構進行整體分析(后處理法)分析任務:建立結點力與結點位移的關系-結構的剛度方程例:第一步:編號，建坐標符號：與整體坐標正向為正。結點力列向量結點位移列向量其中：§3-4結構的原始剛度矩陣、

—

支座反力、

—

結點外力{F}=[K]{Δ}——表示整個結構在整體坐標系中的結點位移與結點力之間的變換關系。--明確任務有n個結點的平面剛架，Δ是3n階向量。有n個結點的平面桁架,Δ是2n階向量。

{F}——結構的結點力向量。它是由作用在每個結點上的外力

(包括已知的荷載和未知的支座反力)構成的。注意：{F}與{Δ}的階數(shù)相同,而且是一一對應的。{Δ}——結構的結點位移向量。矩陣位移法的基本未知量。

[K]——結構的整體剛度矩陣（總剛）。其行、列數(shù)等于結構結點的位移數(shù)。

第二步：單元分析第三步，利用變形條件和平衡條件建立與的關系。分別對結點1，2，3，4進行分析由變形條件：

由平衡條件：如結點2：即：

即：

同理，對結點1、3、4的平衡條件為：

寫成矩陣形式：上式稱為結構的原始剛度方程，簡寫為：稱為結構的原始剛度矩陣，簡稱總剛?？倓偠染仃囂匦裕海?）[K]是對稱方陣；

kij=kji（反力互等定理），貯存總剛度矩陣時，只需貯存它的一半就行了。（2）[K]是稀疏矩陣；非零元素只分布在主對角線兩側的帶狀區(qū)域內(nèi)。

表示結點位移{}和結點力{F}之間的關系，反映了結構的剛度性質，而不涉及原結構上作用的實際荷載，并不是原結構的位移法基本方程。

當尚未引進支座條件的情況下，結構剛度方程是無法求解的（未引進支座條件時，結構存在剛體位移）。（3）K是一個奇異矩陣。

特稱沒有引進支座條件的總剛度矩陣稱為原始總剛度矩陣。建立總剛度矩陣有兩種方法:

1）理論推導,即剛度法。2）直接由單剛陣按一定的規(guī)律集成總剛度矩陣，稱為直接剛度法由總剛中元素的物理意義形成：2(4,5,6)1(1,2,3)3(7,8,9)12

則有:

若令:其他Ki1為0，這種方法太麻煩。桁架的指示矩陣為：

任何一個桿端都與一個結點對應。圖示桁架，其單元桿端與結點號可用一個矩陣來表示。矩陣的行數(shù)為單元數(shù)，列數(shù)為2。每一行的兩個數(shù)分別表示該單元i、j

端對應的結點號。這個矩陣稱為指示矩陣（定位矩陣）。指示矩陣實際上也給出了各單元坐標系。ij直接剛度法形成總剛度矩陣

直接剛度法——直接由各單元剛度矩陣裝配形成總剛度矩陣。是目前編制計算機程序最常用的方法。1.首先應將結構的結點和單元編號。編號可以任意編，并不影響計算結果。2.首先列出整體坐標表示的單元剛度矩陣。3.將單元剛度矩陣劃分為4個子塊：4.按“子塊搬家，對號入座”的原則將單元剛度矩陣中的子塊，一塊塊地搬入總剛度矩陣中，而搬入的位置則根據(jù)指示矩陣G

的規(guī)定來確定。

一般的規(guī)律是：第e單元i端對應結點號為g,

j

端對應結點號為h?！鞍峒摇睍r將該單元單元剛度矩陣中的子塊Kij搬到總剛度矩陣中的子塊位置Kgh，即搬到總剛度矩陣中第g子塊行，第h子塊列中去?！鶮11

→K13→K31→K33

例如,圖示桁架第⑤號單元的4個子塊，根據(jù)指示矩陣G

的指示，分別搬到：2）用上述

“子塊搬家，對號入座”裝配總剛度矩陣的方法也適用于其他任何桿件結構。各單元都按此原則“搬家”后，桁架的總剛度矩陣為：

1234

注意：1）總剛的一個子塊位置中搬入幾個子塊時，這幾個子塊應疊加?？倓偠染仃嚨臉嬙?/p>

圖示桁架有4個結點，有8個位移分量。Δ=｛u1v1

u2v2

u3v3

u4v4｝T總剛度矩陣則為8階方陣：子塊行元素行

子塊列

1234

元素列

12345678

將其分成4個子塊。平面桁架，每一結點具有兩個位移分量，每一子塊中就有兩行兩列共4個元素。

1.K32的物理意義是什么？思考：2.k35的物理意義是什么？

1.子塊K32表示結點2產(chǎn)生單位位移時引起的結點3的結點力。

2.k35表示第5號位移（結點3沿X方向的位移）為一單位時引起沿第3號位移（結點2沿y方向的位移）方向的力。這個力應該理解為相當于按位移法的基本結構所規(guī)定的結點2的豎向附加約束的約束反力。4.總剛度矩陣中某一元素的物理意義是什么？

3.對于空間桁架和平面剛架，每個子塊中含多少個元素？思考：

答：1）首先對其結點和單元進行編號如圖示。每個子塊都是由3×3階的9個元素構成的。3）列出剛架的指示矩陣

ij2）列出各單元的用整體坐標表示的單元剛度矩陣為：平面剛架對號入座裝配總剛度矩陣為：

12345主子塊：主對角線上的子塊，副子塊：非主對角線上的子塊，，相關單元：連接結點，單元。相關結點：與結點相鄰的結點。

相關單元：與結點相連的單元?？倓偟奶攸c：1）（為結點的相關單元）

2）若，非相關，則

，若為相關，則（為結點,的相關單元）

總剛的形成：對號入座，同號相加。單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律總結：解：有關參數(shù)單剛見教材（略）例：試求圖示剛架的原始剛度矩陣。已知各桿注：課本上有詳細求解過程圖示剛架原始剛度方程未知未知未知未知已知已知已知已知§3-5支承條件的引入未知未知未知未知已知已知已知已知由于結點1、4為固定端，故支承約束條件為代入結構原始剛度方程，有和其中為引入支承條件后的結構剛度方程，可寫為：式中：只包括已知結點荷載，只包括未知結點位移，此時的矩陣即為從結構的原始剛度矩陣中刪去與已知為零的結點位移對應的行和列而得到，稱為結構的剛度矩陣或縮減的總剛。

此時，由于引入支承條件，消除了結構的任意剛體位移，故結構剛度矩陣為非奇異矩陣，可得到未知結點位移的唯一解。（若此時結構剛度矩陣仍奇異，說明原結構為幾何可變或瞬變體系）。

求出未知結點位移后，可由單元剛度方程計算各單元的內(nèi)力。整體坐標系下，單元桿端力為：可求得局部坐標系下單元桿端力或：局部坐標系下單元桿端結點位移同樣可求得局部坐標系下單元桿端力求出未知結點位移后，由式可計算支座反力。

但是，當全部桿件的內(nèi)力都求出后，一般可由結點平衡條件求支座反力更方便。24圖示剛架的原始剛度矩陣

舍棄與約束所對應的行和列，得到引進了支座條件后的總剛度矩陣：

這就是后處理法，即先集成總剛度矩陣，然后再引進約束條件。還有先處理法，即先引進支座條件，然后集成總剛度矩陣。(暫略)

1234引進約束條件后的剛度方程：

通過求解線性代數(shù)方程組的方法求出未知的結點位移向量。圖示平面桁架結構，結構的原始剛度方程為：123431241234②③①(a)(b)(c)

對于平面剛架單元，若單元上作用著非結點荷載，則單元的桿端力將由兩部分構成。一部分是由結點位移所引起的，另一部分是非結點荷載作用而直接引起的桿端力,即固端內(nèi)力?！?-6非結點荷載的處理3124(b)

同位移法，剛結點處施加附加鏈桿和附加剛臂阻止所有結點的線位移和角位移，此時各單元有固端力，附加鏈桿和附加剛臂上有附加反力和附加反力矩。由結點平衡條件可知，附加聯(lián)系上的附加反力等于匯交于該結點的各固端力的代數(shù)和。某單元e受非結點荷載作用，單元局部坐標系中的固端力為：固端大小可由固端內(nèi)力表查得，P252表10-3。1234（c）取消附加聯(lián)系，相當于在結點上施加了與上述附加反力和附加反力矩反號的荷載，此荷載成為原結構上非結點荷載的等效結點荷載。注意：這里“等效”指圖（a）和圖（c）的結點位移相等整體坐標系中的固端力為：將各分量反號并對號入座送到荷載列陣中去，即為等效結點荷載。任一結點i上的等效結點荷載FEi為：

如果除了非結點荷載的等效結點荷載FEi外，結點i上還作用有直接結點荷載FDi，則i點總的結點荷載為：結點i的綜合結點荷載整個結構的綜合結點荷載

各單元最后的桿端力是固端力和綜合結點荷載作用下產(chǎn)生的桿端力之和，即和或表

:

單元固端約束力（局部坐標系）

荷載簡圖

始

端

1末

端

21

2

122abFP-表

:

單元固端約束力（局部坐標系）

3

4

表

:

單元固端約束力（局部坐標系）

5

6

表

:

單元固端約束力（局部坐標系）

7

計算步驟：（1）對結點和單元進行編號，選定整體坐標系和局部坐標系；（2）計算各桿的單元剛度矩陣；（3）形成結構原始剛度矩陣；（4）計算固端力、等效結點荷載和綜合結點荷載；（5）引入支承條件，修改結構原始剛度方程，得到縮減總剛；（6）結算結構剛度方程，求出結點位移；（7）計算各單元桿端力?！?-7桿系結構有限元法的計算步驟和示例[K]

求單元常數(shù)[T]{F}原始數(shù)據(jù)、局部碼、總碼解方程{F}=[K]{}

求出結點位移{}開始單元剛度矩陣ke單元固端力e結束[K]{}={F}{FP}+=程序設計框圖求桿端力eeee123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③10-1求圖示剛架的內(nèi)力。已知各桿材料及截面相同。（1）將單元、結點編號，確定坐標系，如圖所示。（2）求出各單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣，見書P247。（3）將各單剛子塊對號入座，形成結構原始剛度矩陣，見書P248。（4）計算非結點荷載作用下的各單元固端力、等效結點荷載及綜合結點荷載。對局部坐標和整體坐標不一致的單元，要對剛度、荷載進行坐標轉換。各單元在其局部坐標系下的固端力為：經(jīng)過坐標轉換，得到各單元在整體坐標系下的固端力為：結點2、3上的等效結點荷載為：結點2、3上的綜合結點荷載為：123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③結構的結點外力列向量為這里，F(xiàn)1和F4應為綜合結點荷載和支座反力的代數(shù)和，其中支座反力仍為未知量；引入支承條件時，F(xiàn)1和F4將被劃掉，因此不必計算其等效結點荷載和綜合結點荷載。結構原始剛度方程見書P256（5）引入支承條件，修改原始剛度方程。結點1、4為固定端，位移已知：代入原始剛度方程，得到修改后的結構剛度方程為（6）解方程，求得未知結點位移為：（7）計算各單元桿端力，見書P258。解:(1)

對應結點及各單元編號。

例3-3平面剛架如圖所示，各桿截面相同。A=0.24m2,

E=1×107kN/m2,I=0.0072m4，試求各桿端力，并畫出內(nèi)力圖。Cx單元單元坐標x軸αCy1→3①45°14×105

0.12×105

②2→30°2.8285×105

0.0849×105

0°lEAB=lEIi=3→410.707110.7070.12×105

4×105

(2)列出單元參數(shù)表

整體坐標表示的單元剛度矩陣公式

(3)列出單元剛度矩陣單元①，③為：

單元②為：

(4)集合總剛

123

4

(5)引入支座條件

取出自由結點3所對應的子塊,構成考慮約束條件后的總剛度矩陣123

4

(6)計算荷載向量

先求出單元3的非結點荷載引起的固端內(nèi)力，然后將固端內(nèi)力反向加到結點上去。

荷載向量為(7)建立結構剛度方程并求解結構剛度方程為F=KΔ

即由此解出u3=7.428×105v3=－48.285×10-5θ3=47.995×10-5所以結點位移向量為：(8)計算桿端力Δ(e)可根據(jù)單元兩端結點號直接由結點位移向量Δ中取出

1)計算單元坐標變換矩陣T(e)2)計算各單元的單元坐標表示的單元剛度矩陣3)計算各單元桿端力向量單元①單元②單元③作用非結點荷載,固端內(nèi)力向量為

(9)畫出結構內(nèi)力圖

解:(1)整理原始數(shù)據(jù)并編號。各跨的線剛度相等,i=EI／12。進行結點編號、位移編號、單元編號。

例3-4用矩陣位移法計算圖所示的連續(xù)梁的內(nèi)力。EI=常數(shù)。(2)建立結點位移向量Δ

(3)

建立各單元的定位向量

各單元的單元定位向量分別由該單元兩端的位移編號組成:(4)計算單元剛度矩陣。連續(xù)梁的單元局部坐標系與結構整體坐標系平行，0

1

12

23有(5)

集成整體剛度矩陣K(注意定位與累加)

011223；；；(6)形成荷載向量F

計算單元固端內(nèi)力；將固端內(nèi)力反向加到結點上去；同一結點上同向的力疊加而成。荷載向量為:(7)建立結構整體剛度方程，并求解結點位移向Δ解得結點位移向量Δ為整體剛度方程K⊿=F(8)計算各桿的桿端內(nèi)力

由

算得各桿的桿端內(nèi)力（彎矩）為

由各桿的桿端內(nèi)力（彎矩），則可繪出彎矩圖。其結果與用力矩分配法計算的結果相同。

1、結點位移分量的編號，單元定位向量(2)對位移編號時，按結點的順序進行，一個結點內(nèi)的編號又按x方向、y方向的線位移和轉角順序進行。(1)對每一個結點編號，還要對每一個位移也編號。凡是約束對應的位移編為零號（前處理法）。

結點位移編號數(shù)組中的最后一個數(shù)就表示了該結構未知數(shù)的數(shù)目。

編號:§3-8幾點補充說明

建立各單元的定位向量

單元的定位向量λ(e)

：把某一單元兩端結點所對應的位移號按照由始端到末端的次序所列成的列向量稱為該單元的定位向量。圖示剛架各單元的定位向量為：形成總剛度矩陣

思考:定位向量中“零”所對應的單元剛度矩陣中的元素搬入總剛度矩陣中何位置？

按定位向量所指示的位置把單元剛度矩陣中的各元素搬入總剛度矩陣

2、總剛的帶寬與存儲方式

結構的總剛度矩陣具有大量的零元素，這種矩陣稱為稀疏矩陣。同時，那些非零元素通常集中在主對角線附近的斜帶形區(qū)域內(nèi)，成為帶狀矩陣

在帶狀矩陣中，每行(列)從主對角線元素起至該行(列)最外一個非零元素止所包含的元素個數(shù)，成為該行(列)的帶寬。某行(列)帶寬=該行(列)結點位移分量號-最小相關結點位移分量號+1所有各行(列)帶寬中的最大值稱為矩陣的最大帶寬最大帶寬=相關結點位移分量號的最大差值+1等帶寬存貯滿陣存貯634512135642（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（13,14,15）（10,11,12）（16,17,18）

等半帶寬與結點編碼有關19層12343940總剛占用存貯單元:122021401922總剛占用存貯單元:39最大帶寬=(相關結點編號的最大差值+1)×

3即:

最大帶寬＝［max(j-i)+1］×33、關于支承條件的引入(1)置大數(shù)法（N為一個充分大的數(shù)）做法:取大數(shù)N,總剛中元素乘以N;并用替換若已知第j個位移分量為已知值

(2)化零置一法（精確方法）做法:(1)用[中的第j列]代替(2)將總剛中第j行第j列的非主對角元素置0;(3)將總剛中主對角元素置為1,總荷中元素置成經(jīng)邊界條件處理后的總剛稱為結構剛度矩陣

4、先處理支承條件及忽略軸向變形影響

先處理法：將約束已經(jīng)消除的結點位移排除在剛度方程之外。集成總剛度矩陣時根本不需考慮約束結點的存在。目的是減少未知數(shù)的數(shù)目，縮小總剛度矩陣的體積，減少計算工作量。

集成總剛陣時必須使用整體坐標表示的單元剛度矩陣。

用先處理法集成總剛陣時必須先建立各單元的定位向量λ根據(jù)定位向量的指引將單剛陣中的元素逐個搬入總剛度矩陣中。

用后處理法集成總剛陣時必須先集成原始總剛度矩陣。集成原始總剛陣時應根據(jù)結點編號情況指示矩陣G以子塊搬家的方式將單剛陣中的子塊逐個搬入總剛度矩陣中。如不考慮軸向變形的單元由6×6剛度矩陣劃去1、4行和列后可得平面剛架程序的擴大功能:1.平面桁架2.桁梁組合體系3.斜向支座4.彈性支座5.彈性地基6.帶鉸結點的剛架

例3-5

平面桁架如圖所示，各桿截面EA均為常數(shù)。已知F1=20kN,F2=30kN,F3=40kN，試用先處理法求各桿軸力。

解(1)對結點和單元編號。

(2)

列表表示各單元參數(shù)

→→→→→→單元參數(shù)表(3)

列出各單元的定位向量

(4)列出各單元剛度矩陣(整體坐標)并配以定位向量。

0

0010123

23000000

00230100(5)

集成總剛度矩陣

按照單元剛度矩陣各行列對應的定位向量中的數(shù)值將該元素搬入總剛陣中。得：

123

(6)建立剛度方程并求解剛度方程為：即解出

結點位移向量為(7)

計算單元桿端力（拉）由公式F(e)=K(e)

T(e)

Δ(e)，得單元②（拉）單元⑤

(壓)

其他單元計算過程從略，結果為

④單元⑥單元

(拉)

單元③單元(壓）

對于平面剛架單元，若單元上作用著非結點荷載，則單元的桿端力將由兩部分構成。一部分是由結點位移所引起的，另一部分是非結點荷載作用而直接引起的桿端力,即固端內(nèi)力。

單元的桿端力將是兩部分之和,即這就是計算桿端力的完整的公式。固端內(nèi)力向量可由固端內(nèi)力表查得。

矩陣位移法與位移法在理論上并無區(qū)別，只是在表達方式上有所不同。(1)矩陣位移法的理論基礎與一般位移法完全相同，只是表達方式不同。用矩陣形式表示具有更強的概括性。

(2)總剛度矩陣是由各單元剛度矩陣裝配成的，只要找出了裝配的規(guī)律，總剛度矩陣不必計算而可直接由單元剛度矩陣裝配而成。(3)矩陣位移法與一般位移法解題步驟的對應關系可以由下表表示：§3-9總結

例：圖示梁用矩陣位移法求解時的基本未知量數(shù)目為多少？解：基本未知量數(shù)目為2，即A點的豎向位移和轉角。三、例題例：圖示結構中單元①的定位向量為——。C.（001324）T

B.（234001）T

D.（324001）T

A.（001234）T

解：答案為B。

例：圖示結構整體剛度矩陣K中元素k22等于（）

D.16EI/l

A.28EI/3l

B.12EI/l

C.20EI/3l

解：答案選A。

例：矩陣位移法中，結構的原始剛度方程是表示下列兩組量值之間的相互關系：（）A．桿端力與結點位移B．桿端力與結點力

C．結點力與結點位移D．結點位移與桿端力

解：答案選C。

例：平面桿件結構用后處理法建立的原始剛度方程組,（）A．可求得全部結點位移B．可求得可動結點的位移C．可求得支座結點位移D．無法求得結點位移解：答案選D。

例：圖示結構若考慮軸向變形，在未引入支撐條件時，其整體剛度矩陣K是____階方陣。

解：答案為21×21。

例：圖示結構若只考慮彎曲變形，括號中的數(shù)字為結點位移分量編碼，則其整體剛度矩陣中元素k11等于（）.A.

B.

C.

D.

解：答案選D。

提示：在不考率軸向變形時，結點2和結點3只有水平位移和轉角，桿件12對k11的貢獻為12×（2EI）／l3，桿件34對k11的貢獻為12×EI／（l／2）3。

例：用矩陣位移法計算圖a所示連續(xù)梁,并畫M圖，EI=常數(shù)。q=12kN/m,l=6m。

解：

(1)建立坐標系、對單元和結點編號如圖b，單元剛度矩陣

單元定位向量λ①=（0