理論力學(xué)-碰撞理論

西北工業(yè)大學(xué)支希哲朱西平侯美麗動(dòng)力學(xué)碰撞

§8–5碰撞對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體的作用

§8–4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用

·碰撞中心

§8–3恢復(fù)系數(shù)

§8–2碰撞時(shí)的動(dòng)力學(xué)定理

§8–1碰撞現(xiàn)象及其基本特征第八章碰撞理論力學(xué)目錄§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征碰撞現(xiàn)象碰撞問題基本特征幾個(gè)基本假設(shè)一、碰撞現(xiàn)象塑料碰撞是一種常見的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極短的時(shí)間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞。榔頭重一點(diǎn)好還是輕一點(diǎn)好？榔頭把長(zhǎng)一點(diǎn)好還是短一點(diǎn)好？§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征擊球手的手握在哪里所受的撞擊力最小？這與碰撞有關(guān)系嗎？§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實(shí)例碰撞是一種常見的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極短的時(shí)間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實(shí)例§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征不成功的降落§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征阻攔裝置飛機(jī)起落架有類似裝置?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征碰撞是一種常見的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極短的時(shí)間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞。工程中碰撞實(shí)例§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實(shí)例飛行員座椅彈射裝置§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實(shí)例汽車碰撞實(shí)物試驗(yàn)§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征汽車碰撞虛擬試驗(yàn)研究的問題：車體間的碰撞、人體與車體的碰撞、人體內(nèi)臟的碰撞§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實(shí)例§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征工程中碰撞實(shí)例：§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征這些都是碰撞現(xiàn)象嗎？§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征例如，兩直徑25mm的黃銅球，以72mm/s的相對(duì)法向速度碰撞，

碰撞過(guò)程的持續(xù)時(shí)間極短，通常用千分子一秒或萬(wàn)分之一秒來(lái)度量。

碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。二、碰撞問題基本特征§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征例如，用鐵錘打擊鋼板表面。塑料力傳感器接示波器碰撞時(shí)間只有0.0002秒。§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征錘重4.45N;碰撞前錘的速度457.2mm/s;碰撞的時(shí)間間隔0.00044s;撞擊力峰值1491N，

碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。例如，用鐵錘打擊鋼板表面。塑料力傳感器接示波器若不小心砸到手上!碰撞的時(shí)間間隔0.01s;撞擊力峰值244.8N，靜載作用的335倍。靜載作用的55倍?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征由于碰撞過(guò)程是一個(gè)十分復(fù)雜的物理過(guò)程，要研究碰撞過(guò)程的動(dòng)力學(xué)問題，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，略去次要因素，突出事物的本質(zhì)，以獲得較簡(jiǎn)單的力學(xué)模型。

1.由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、彈性力等）的幾百倍甚至幾千倍，故平常力在碰撞過(guò)程中可以忽略不計(jì)。ω0CyvCIFINxAuCαβ注意：摩擦力是碰撞力時(shí),不能忽略。三、幾個(gè)基本假設(shè)FmaxtFOt1t2

2.由于碰撞力隨時(shí)間而變化，瞬時(shí)值很難測(cè)定?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征不考慮碰撞力在極小碰撞時(shí)間間隔Δt內(nèi)的急劇變化，平均碰撞力的近似估計(jì)值可表示為因此，通常是用碰撞力在碰撞時(shí)間內(nèi)的沖量來(lái)表示碰撞的強(qiáng)弱。這個(gè)沖量稱為碰撞沖量。

3.碰撞時(shí)間非常短促，而速度是有限量，兩者的乘積非常小，因此在碰撞過(guò)程中，碰撞物體的位移可以忽略不計(jì)。§8-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征

4.

采用準(zhǔn)剛體模型（局部變形的剛體）。物體的整個(gè)碰撞過(guò)程分為兩個(gè)階段。即可以認(rèn)為碰撞前后物體的位置不變。參與碰撞的物體仍考慮為剛體，但在碰撞點(diǎn)的局部范圍內(nèi)可以允許變形，這樣就忽略了彈性波在物體內(nèi)部的傳播?！?-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征變形階段

由兩物體開始接觸到兩者沿接觸面公法線方向相對(duì)湊近的速度降到零為為止。恢復(fù)階段

物體由于彈性而部分或完全恢復(fù)原來(lái)的形狀，兩物體重新在公法線方向獲得分離速度，直到脫離接觸為止。碰撞過(guò)程的兩個(gè)階段變形階段恢復(fù)階段nn§8-2碰撞時(shí)的動(dòng)力學(xué)定理用于碰撞過(guò)程的動(dòng)量定理--沖量定理用于碰撞過(guò)程的動(dòng)量定理矩--沖量矩定理一、用于碰撞過(guò)程的動(dòng)量定理--沖量定理上式表示了碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理。即質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過(guò)程中的動(dòng)量變化，等于該質(zhì)點(diǎn)系所受的外碰撞沖量的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可以用質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量M與質(zhì)心速度的乘積來(lái)計(jì)算，所以可以改寫為其中vC

和v'C分別是碰撞開始和結(jié)束時(shí)質(zhì)心C的速度。上式稱為碰撞時(shí)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系有§8-2碰撞時(shí)的動(dòng)力學(xué)定理xzyriMiO根據(jù)研究碰撞問題的基本假設(shè)，在碰撞過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的位移均可忽略，因此，可用同一矢ri

表示質(zhì)點(diǎn)Mi在碰撞開始和結(jié)束時(shí)的位置?；蛘邔懗扇?jī)?nèi)碰撞沖量之矩的總和恒等于零，所以只剩下外碰撞沖量的矩。Iimivimiv'i二、用于碰撞過(guò)程的動(dòng)量定理矩--沖量矩定理§8-2碰撞時(shí)的動(dòng)力學(xué)定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為碰前：碰后：所以對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系有上面兩式分別表示了碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)（或?qū)S）的沖量矩定理，即在碰撞過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)（或任一軸）的動(dòng)量矩的變化，等于該質(zhì)點(diǎn)系所受到外碰撞沖量時(shí)對(duì)同一點(diǎn)（或同一軸）之矩的矢量和（或代數(shù)和）。由于碰撞過(guò)程中伴隨有機(jī)械能損失，因此研究碰撞問題一般不用動(dòng)能定理。沖量矩定理§8-2碰撞時(shí)的動(dòng)力學(xué)定理把上式投影到任一軸上，例如Ox上，則得xzyriMiOIimivimiv'i§8-3恢復(fù)系數(shù)碰撞的分類恢復(fù)系數(shù)若碰撞開始時(shí)，兩物體的質(zhì)心均在接觸點(diǎn)的公法線上，這種碰撞稱為對(duì)心碰撞，如圖a。兩物體的質(zhì)心不在接觸點(diǎn)的公法線上的碰撞，如圖b。一、碰撞的分類§8-3恢復(fù)系數(shù)

對(duì)心碰撞

偏心碰撞C1C2nn(a)C1C2nn(b)在對(duì)心碰撞的情形下，若兩物體質(zhì)心的速度恰在公法線上的碰撞，如圖c。在對(duì)心碰撞的情形下，質(zhì)心速度不在此公法線上的碰撞，如圖d。碰撞的分類

對(duì)心正碰撞

對(duì)心斜碰撞C1C2nnv2v1(c)C1C2nnv2v1(d)§8-3恢復(fù)系數(shù)設(shè)質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)光滑球作平動(dòng)，兩球質(zhì)心的速度分別為v1和v2，且v1＞v2，在某瞬時(shí)發(fā)生正碰撞。

先以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象。考察整個(gè)碰撞過(guò)程，因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有沿水平方向投影，得碰撞結(jié)束時(shí)，兩球仍作平動(dòng)，其速度分別為v'1和v'2。C1C2nv1v2碰撞前C1C2nv'1v'2碰撞后§8-3恢復(fù)系數(shù)二、恢復(fù)系數(shù)沿水平方向投影，得從而求出

考察碰撞的第一階段——變形階段。用u表示變形結(jié)束時(shí)兩球的公共速度。以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象C1C2nv1v2碰撞前C1C2nu碰撞變形階段結(jié)束時(shí)§8-3恢復(fù)系數(shù)因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有沿水平方向投影，得分別取兩球?yàn)檠芯繉?duì)象

考察碰撞的第一階段——變形階段。C1v1uI'1C2I1v2u§8-3恢復(fù)系數(shù)由沖量定理，有x沿水平方向投影，得

恢復(fù)階段與變形階段碰撞沖量I2和I1的大小的比值，可以用來(lái)度量碰撞后變形恢復(fù)的程度，稱為恢復(fù)系數(shù)，用e表示。

現(xiàn)在考慮碰撞的第二階段——恢復(fù)階段。C2C1I'2I2v'1v'2uu§8-3恢復(fù)系數(shù)利用沖量定理，有x消去u，得利用式

恢復(fù)階段與變形階段碰撞沖量I2和I1的大小的比值，可以用來(lái)度量碰撞后變形恢復(fù)的程度，稱為恢復(fù)系數(shù)，用e表示。即§8-3恢復(fù)系數(shù)可以證明，對(duì)于一般碰撞，恢復(fù)系數(shù)兩球正碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)為§8-3恢復(fù)系數(shù)大量的實(shí)驗(yàn)表明，恢復(fù)系數(shù)主要與碰撞物體的材料性質(zhì)有關(guān)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。

恢復(fù)系數(shù)一般都小于1而大于零（0＜e＜1），這時(shí)的碰撞稱為彈性碰撞。物體在彈性碰撞結(jié)束時(shí)，變形不能完全恢復(fù)，動(dòng)能有損失。

理想情況e=1時(shí)，碰撞結(jié)束后，物體能完全恢復(fù)原來(lái)的形狀，這種碰撞稱為完全彈性碰撞。

在另一極端情況e=0

時(shí)，說(shuō)明碰撞沒有恢復(fù)階段，即物體的變形不能恢復(fù)，碰撞結(jié)束于變形階段，這種碰撞稱為非彈性碰撞或塑性碰撞?！?-3恢復(fù)系數(shù)§8-3恢復(fù)系數(shù)恢復(fù)系數(shù)測(cè)定一種最簡(jiǎn)單的測(cè)定恢復(fù)系數(shù)的方法如圖所示。h1h2v1v'1nACB

例題8-1兩小球的質(zhì)量分別為m1和m2

，碰撞開始時(shí)兩質(zhì)心的速度分別為v1和v2

，且沿同一直線，如圖所示。如恢復(fù)系數(shù)為e，試求碰撞后兩球的速度和碰撞過(guò)程中損失的動(dòng)能。C1v1C2v2例題8-1§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-1圖示兩球能碰撞的條件是。設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)，二者的速度分別為和，方向如圖所示。由恢復(fù)系數(shù)定義有聯(lián)立（a）和（b）二式，解得解：（a）（b）C1C2（c）v1v2§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-1根據(jù)動(dòng)量守恒，有1.碰撞后兩球的速度可見，當(dāng)時(shí)，，。在碰撞過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)系損失的動(dòng)能為以T1和T2分別表示此兩球組成的質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過(guò)程開始和結(jié)束時(shí)的動(dòng)能，則有C1C2v1v2（d）§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-12.碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失（d）考慮到于是有§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-1

在理想情況下，e=1,ΔT=T2－T1=0?？梢姡谕耆珡椥耘鲎矔r(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能沒有損失，即碰撞開始時(shí)的動(dòng)能等于碰撞結(jié)束時(shí)的動(dòng)能。如果第二個(gè)物體在塑性碰撞開始時(shí)處于靜止，即v2=0，

則動(dòng)能損失為在塑性碰撞時(shí)，e=0

，動(dòng)能損失為§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-1可見，在塑性碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失與兩物體的質(zhì)量比有關(guān)。注意到上式可改寫為上式可改寫為§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-1第二個(gè)物體在塑性碰撞開始時(shí)處于靜止，即v2=0，

則動(dòng)能損失為AvoAv0§8-3恢復(fù)系數(shù)

思考題(a)(b)圖(a)、(b)中各球完全相等，摩擦不計(jì)。球A以水平速度v0向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)發(fā)生完全彈性正碰撞。其他各球速度如何？。BFEDC工程中碰撞實(shí)例打樁鍛壓§8-3恢復(fù)系數(shù)

錘打樁的過(guò)程可以看成兩物體的對(duì)心正碰撞。把樁打入要依靠錘和樁相撞后一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，打樁的效率定義為

例8-2

打樁機(jī)錘頭的質(zhì)量是m1,被打入的樁的質(zhì)量是m2。假定恢復(fù)系數(shù)e=0,求打樁的效率。解：設(shè)錘頭在和樁開始接觸時(shí)具有的速度是v1,則初動(dòng)能§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-2例題8-2本例中v2=0

，所以故打樁的效率等于可見，比值m2/m1

越小，則打樁效率越高。打樁機(jī)錘頭的質(zhì)量是m1被打入的樁的質(zhì)量是m2榔頭敲釘子§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-2碰撞時(shí)的動(dòng)能損失△T1可由下式求得

這也是兩物體的對(duì)心正碰撞問題。這里，使鍛件變形的有效功是碰撞時(shí)損失的動(dòng)能△T。錘鍛的效率定義為例8-3

鍛機(jī)的錘頭質(zhì)量是m1,鍛件連同砧塊的質(zhì)量是m2,恢復(fù)系數(shù)是e,求錘鍛的效率。解：設(shè)錘頭在和鍛件開始接觸時(shí)具有的速度是v1,則初動(dòng)能§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-3例題8-3本例中v2=0

，所以故錘鍛的效率等于可見，錘頭相對(duì)于砧塊和錘件來(lái)說(shuō)質(zhì)量越小，則效率越高?！?-3恢復(fù)系數(shù)例題8-3碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失△T可由下式求得

例題8-4如圖所示物塊A自高度h=4.9m處自由落下，與安裝在彈簧上物塊B相碰。已知A的質(zhì)量m1=1kg，B的質(zhì)量m2=0.5kg

，彈簧剛度k=10N·mm－1。設(shè)碰撞結(jié)束后，兩物塊一起運(yùn)動(dòng)。求碰撞結(jié)束時(shí)的速度v'和彈簧的最大壓縮量。AhsmaxsstB§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-4例題8-4§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-4物塊A自高處落下與B塊接觸的時(shí)刻，碰撞開始。此后A的速度減少，B的速度增大。當(dāng)兩者速度相等時(shí)，碰撞結(jié)束。解：

1.碰撞前階段AhsmaxsstBm1g§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-4然后A，B一起壓縮彈簧作減速運(yùn)動(dòng)，直到速度等于零時(shí)，彈簧的壓縮量達(dá)最大值。此后物塊將向上運(yùn)動(dòng)，并將持續(xù)地往復(fù)運(yùn)動(dòng)。碰撞過(guò)程中，忽略重力和彈簧力，沿y方向系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。2.碰撞過(guò)程已知解得AhsmaxsstBA§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-4上式可整理成對(duì)smax

的標(biāo)準(zhǔn)二次方程注意到，解得最大壓縮量另一解為-78.55mm

，彈簧為拉伸狀態(tài)，不合題意。3.碰撞后階段碰撞結(jié)束后，設(shè)最大壓縮量為smax

，由動(dòng)能定理得AhsmaxsstBA(m1+m1)

gF§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-4例題8-5一勻質(zhì)正方形貨物邊長(zhǎng)是

b

，質(zhì)量是

m，由傳輸帶沿傾斜角

α=15o

的軌道送下，速度是

v0

(圖

a)。當(dāng)?shù)竭_(dá)底端時(shí)棱

D

碰上檔架。假定碰撞是完全塑性的，并且

D

處的總碰撞沖量在垂直于棱并通過(guò)貨物質(zhì)心的平面內(nèi)。求使貨物能繞棱

D

翻轉(zhuǎn)到水平傳輸帶上所需的最小速度

v01

。(a)v0αω1D§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-5例題8-5§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-5

碰撞使貨物內(nèi)各點(diǎn)的速度進(jìn)行突然的重新分布：由碰撞前的平動(dòng)變成碰撞后的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(因?yàn)槔釪

被突然固定)。貨物只在棱D

處受到外碰撞，因而便于對(duì)棱D

的沖量矩方程來(lái)求解。解:

在碰撞開始時(shí)，貨物對(duì)棱

D的動(dòng)量矩等于mv0b/2(以逆鐘向?yàn)檎?。在碰撞結(jié)束時(shí)，貨物繞棱D

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于故這時(shí)貨物對(duì)棱D的動(dòng)量矩等于ω1DIDmv0v0αmv0§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-5外碰撞沖量ID

對(duì)棱D

無(wú)矩，故貨物在碰撞過(guò)程中的動(dòng)量矩守恒，即故求得碰撞結(jié)束時(shí)貨物繞棱D

的角速度(b)貨物對(duì)棱D的動(dòng)量矩等于ω1DIDmv0§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-5

要使貨物翻轉(zhuǎn)到水平傳輸帶上的條件是：當(dāng)重心G

上升到最高位置時(shí)(圖c

)，貨物還有一點(diǎn)剩余的動(dòng)能，即T2>0或

2>0

。在ω2→0的臨界情形時(shí),v0

趨近于最小速度v01

,代入(3)得由此求得所需的最小速度根據(jù)積分形式的動(dòng)能定理T2－T1

＝∑W

，有ω2DG(c)§8-3恢復(fù)系數(shù)例題8-5§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心剛體角速度的變化軸承處的反作用碰撞·撞擊中心當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到碰撞作用時(shí)，其角速度將發(fā)生急劇變化，因而在軸承處會(huì)產(chǎn)生及其巨大的壓力，以致引起嚴(yán)重破壞。在工程實(shí)際中，有許多必須經(jīng)受碰撞的轉(zhuǎn)動(dòng)件，如離合器，沖擊擺等，為了防止碰撞對(duì)軸承的危害，應(yīng)該設(shè)法減弱或消除軸承處的碰撞沖量?！?-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心設(shè)ω1和ω2分別是這兩個(gè)瞬時(shí)的角速度，JO是剛體對(duì)于O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則上式成為故角速度的變化為設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到外碰撞沖量I的作用，如圖所示。一、剛體角速度的變化將沖量矩定理投影到通過(guò)點(diǎn)O且垂直于圖面的的轉(zhuǎn)軸Oz上，有xyIHCObhω1ω2§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心假設(shè)在圖所示位置發(fā)生碰撞，則有所以由上式可得軸承處的反作用碰撞沖量設(shè)剛體具有對(duì)稱平面，且繞垂直于對(duì)稱面的軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)受到作用在對(duì)稱面內(nèi)的外碰撞沖量I的作用時(shí)，軸承上一般將出現(xiàn)反作用碰撞沖量IO。取oy軸通過(guò)剛體的質(zhì)心C，應(yīng)用碰撞時(shí)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理式，有二、軸承處的反作用碰撞·撞擊中心xyIHCObhIoyIox§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心即滿足上式的點(diǎn)H稱為剛體對(duì)于軸O的撞擊中心。

●分析上式知，為使IOy=0,必須Iy=0,即要求作用于剛體的碰撞沖量S必須垂直于轉(zhuǎn)軸O與質(zhì)心C的連線。xyIHCObhIoyIox

●為使

IOx=0,則必須m(uCx-vCx)-Ix=0。在圖所示情況下，即為mb(ω2-ω1)-Ix=0

。將代入可得IyIx§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心于是有結(jié)論：當(dāng)外碰撞沖量作用于撞擊中心，且垂直于軸承與質(zhì)心的連線時(shí)，軸承O處不會(huì)受到反作用碰撞沖量。這一結(jié)論在實(shí)際中很重要，例如在設(shè)計(jì)材料沖擊試驗(yàn)機(jī)的擺錘時(shí)，若將撞擊試件的刃口設(shè)在擺的撞擊中心上，則可避免軸承受到反作用碰撞沖量作用。試件l§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心于是有結(jié)論：當(dāng)外碰撞沖量作用于撞擊中心，且垂直于軸承與質(zhì)心的連線時(shí)，軸承O處不會(huì)受到反作用碰撞沖量。這一結(jié)論在實(shí)際中很重要。高爾夫球桿§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心例題8-6

均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為2b，其上端由圓柱鉸鏈固定，如圖所示。桿由水平位置無(wú)初速落下，撞上一固定物塊。設(shè)恢復(fù)系數(shù)為e，求(1)軸承的碰撞沖量；(2)撞擊中心的位置。b2blOCA例題8-6例題8-6§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心例題8-6§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心桿在鉛直位置與物塊碰撞，設(shè)碰撞開始和結(jié)束時(shí)，桿的角速度分別為ω1和ω2

。撞擊點(diǎn)碰撞前后的速度為v和v'，由恢復(fù)系數(shù)求得在碰撞前，桿自水平位置自由落下，應(yīng)用動(dòng)能定理：解：b2blOω1ω2CIOxIOyIA例題8-6§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心得對(duì)O點(diǎn)的沖量矩定理為于是碰撞沖量代入ω1的數(shù)值，得b2blOω1ω2CIOxIOyIA例題8-6§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心根據(jù)沖量定理，有則由上式可見，當(dāng)時(shí)，IOx=0

，此時(shí)碰撞于撞擊中心，由上式得b2blOω1ω2CIOxIOyIA例題8-6§8-4碰撞對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承的作用·碰撞中心§

8-5碰撞對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體的作用設(shè)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱面，且平行于此平面作平面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)受到外碰撞沖量I作用時(shí)，該剛體的質(zhì)心速度和角速度都要發(fā)生改變。設(shè)碰撞開始和結(jié)束瞬時(shí)剛體的質(zhì)心速度和角速度分別vC、ω1為uC、ω2和，取固定坐標(biāo)面Oxy與剛體的質(zhì)量對(duì)稱面重合，根據(jù)沖量定理和相對(duì)于質(zhì)心軸的沖量矩定理，有§

8-5碰撞對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體的作用

例題8-7

勻質(zhì)薄球殼的質(zhì)量是m

,半徑是r

,以質(zhì)心速度vC

斜向撞在水平面上,vC

對(duì)鉛直線成偏角α。同時(shí),球殼具有繞水平質(zhì)心軸(垂直于vC

)的角速度ω0

。假定碰撞接觸點(diǎn)的速度能按反向全部恢復(fù)(e=e′=1)，求碰撞后球殼的運(yùn)動(dòng)?！?/p>

8-5碰撞對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體的作用ω0CyvCIFINxAα例題8-7例題8-7

球殼作平面運(yùn)動(dòng)，作用于它的外碰撞沖量有瞬時(shí)法向反力的沖量IN

和瞬時(shí)摩擦力的沖量IF。解:設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)質(zhì)心速度是uC

,繞質(zhì)心軸的角速度是ω(規(guī)定以逆鐘向?yàn)檎?。寫出質(zhì)心沖量方程和對(duì)質(zhì)心的沖量矩方程,并注意球殼對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC

=2mr2/3

。（1）（2）（3）ω0CyvCIFINxAαuCβω§

8-5碰撞對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體的作用例題8-7

由恢復(fù)系數(shù)的定義可知,在完全彈性碰撞結(jié)束后,接觸點(diǎn)的切向和法向相對(duì)速度都按相反方向全部恢復(fù);以vA和uA

分別表示碰撞始末接觸點(diǎn)A

的速度,則有但由運(yùn)動(dòng)學(xué)知（1）（2）（3）ω0CyvCIFINxAαuCβω§

8-5碰撞對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體的作用例題8-7從而可得由于聯(lián)立求解上列方程(1)(5),就可得到需求的全部答案。（4）（5）則有AvAvCvACAuAuCuACω0CyvCIFINxAαuCβω§

8-5碰撞對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體的作用例題8-7由式(a)可以求出球殼回跳時(shí)的角度β，有這個(gè)結(jié)果表明β

有可能取任意的數(shù)值,只要vC

，α和ω