《抽象代數(shù)基礎(chǔ)》習(xí)題解答

《抽象代數(shù)基礎(chǔ)》于延棟編鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二零零九年五月第一章群論§1代數(shù)運(yùn)算1.設(shè),上的乘法的乘法表如下:·證明:適合結(jié)合律.證明設(shè)為中任意三個(gè)元素.為了證明適合結(jié)合律,只需證明.下面分兩種情形來闡明上式成立.I.中至少有一個(gè)等于.時(shí),當(dāng)當(dāng)當(dāng)II.;;.時(shí),時(shí),都不等于.(I)(II)(III)當(dāng).這時(shí),.兩兩不等.這時(shí),中有且僅有兩個(gè)相等..時(shí),和是中的兩個(gè)不同元素,令表示,從而,中其余的那個(gè)元素.于是,.同理可知,當(dāng)或時(shí),都有,.2.設(shè)是集合上一個(gè)適合結(jié)合律的代數(shù)運(yùn)算.對(duì)于中元素,歸納定義為:,.證明:.進(jìn)而證明:在不改變元素順序的前提下,中元素的乘積與所加括號(hào)無關(guān).證明當(dāng)假設(shè)當(dāng)時(shí),根據(jù)定義,對(duì)于任意的正整數(shù),等式成立.)時(shí),對(duì)于任意的正整數(shù),等式成立.當(dāng)(時(shí),由于適合結(jié)合律,我們有.所以,對(duì)于任意的正整數(shù)和,等式成立.考察中任意()個(gè)元素:當(dāng)時(shí),要使記號(hào)變成有意義的記號(hào),必需在其中添加一些括號(hào)規(guī)定運(yùn)算次序.現(xiàn)在我們來闡明:在不改變元素順序的前提下,無論怎樣在其中添加括號(hào),運(yùn)算結(jié)果總是等于.事實(shí)上,當(dāng)或時(shí),無需加括號(hào),我們的結(jié)論自然成立.當(dāng))時(shí)我們的結(jié)論成立.考察的情形:不妨設(shè)最后一次運(yùn)算是)個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果,為時(shí),由于適合結(jié)合律,我們的結(jié),其中為論成立.假設(shè)當(dāng)(中前(于是,根據(jù)歸納假設(shè),中后個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果.,.所以最終的運(yùn)算結(jié)果為.3.設(shè)是有理數(shù)集.對(duì)于任意的結(jié)合律也不適合交換律.,令,證明:是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,它既不適合證明眾所周知,對(duì)于任意的.由于,.所以是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.令,,,,從而,,所以不適合結(jié)合律.由于,,.從而,.所以不適合交換律.§2群的概念1.證明:關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個(gè)群.證明首先,眾所周知,,,.由于矩陣的加法適合結(jié)合律,上的加法適合結(jié)合律.其次,令,則,并且,.最后,對(duì)于任意的,令,則且.所以關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個(gè)群.2.令,證明:關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群.證明將記作,并將中其余三個(gè)矩陣分別記作.于是,上的乘法表如下:·EEABCAAEBBCECCBAEEABCCBA由于矩陣的乘法適合結(jié)合律,上的乘法適合結(jié)合律.從乘法表可知,,,.所以關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群.3.在整數(shù)集中,令,.證明:關(guān)于這樣的乘法構(gòu)成一個(gè)群.證明對(duì)于任意的,我們有,,從而.這就是說,該乘法適合結(jié)合律.其次,,并且對(duì)于任意的,我們有,.所以關(guān)于該乘法構(gòu)成一個(gè)群.4.寫出的乘法表.解,的乘法表如下:·5.設(shè)是一個(gè)群,證明:.若適合消去律.,則證明設(shè).同理,若,則.這就表明,適合消去律.6.在中,令,.求和.解我們有,,.7.設(shè),求.解我們有.8.設(shè)是任意一個(gè)置換,證明:.證明事實(shí)上,易見,是中的個(gè)不同的數(shù)字.由直接計(jì)算可知,;.其次,對(duì)于任意的,在之下的像是本身.所以.9.設(shè)是一個(gè)非空集合,是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,若適合結(jié)合律,則稱是一個(gè)半群(或者稱關(guān)于構(gòu)成一個(gè)半群).證明:整數(shù)集關(guān)于乘法構(gòu)成一個(gè)半群,但不構(gòu)成一個(gè)群.證明眾所周知,是非空集合,對(duì)于任意的,總有,總有,并且整數(shù)乘法適合結(jié)合律,所以關(guān)于乘法構(gòu)成一個(gè)半群.其次,令.于是,對(duì)于任意的.但是,,并且不存在,使得.所以關(guān)于乘法不構(gòu)成一個(gè)群.10.設(shè)是一個(gè)非空集合,是由的所有子集構(gòu)成的集合.則集合的并是一個(gè)半群.是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.證明:證明眾所周知,對(duì)于任意的這就是說,上的代數(shù)運(yùn)算,總有.適合結(jié)合律,所以是一個(gè)半群.注請(qǐng)同學(xué)們考慮如下問題:設(shè)是一個(gè)非空集合,是由的所有子集構(gòu)成的集合.定義上的代數(shù)運(yùn)算(稱為對(duì)稱差)如下:,.求證:11.令是一個(gè)交換群..證明關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)半群.證明眾所周知,對(duì)于任意的,總有,.這就是說,矩陣的乘法是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,并且適合結(jié)合律,所以關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)半群.12.設(shè)是一個(gè)半群,,如果存在使稱為的一個(gè)左(右)單位元,如果對(duì)于任意的都有().對(duì)于(),則稱左(右)可逆的,是的一個(gè)左(右)逆元.假設(shè)有左(右)單位元且中每個(gè)元素都有關(guān)于的左(右)逆元.證明:是一個(gè)群.,使得證明設(shè)是中任意一個(gè)元素.任取,使得.再任取.于是,我們有且.因此.所以.由以上兩式可知,是單位元,中每個(gè)元素都有逆元.所以是一個(gè)群.對(duì)于有左單位元且中每個(gè)元素都有關(guān)于的左逆元的情形,請(qǐng)同學(xué)們自己證明.13．設(shè)是一個(gè)群,證明:,.證明對(duì)于任意的,我們有,.所以,.16.設(shè)是一個(gè)群,證明:是交換群的充要條件是,.證明必要性是顯然的.現(xiàn)在假設(shè)滿足該條件.于是,對(duì)于任意的.運(yùn)用消去律(第5題)立即可得.所以是交換群.,我們有,即17．設(shè)是一個(gè)群.假設(shè)對(duì)于任意的都有,證明:是交換群.證明我們有,.由上題知,是交換群.18.設(shè)是非空集合,是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算且適合結(jié)合律.,方程(1)證明:是一個(gè)群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的和在中都有解.的解,(2)假設(shè)是有限集,證明:是一個(gè)群當(dāng)且僅當(dāng)適合消去律.證明(1)當(dāng)是一個(gè)群時(shí),顯然,對(duì)于任意的,是方程是方程的解.現(xiàn)在假設(shè)對(duì)于任意的,方程,在中都有解.任取,考察方程.根據(jù)假設(shè),方程有解.設(shè)是中任意一個(gè)元素,考察方程.根據(jù)假設(shè),方程有解.于是,我們有.由于的任意性,上式表明是半群的一個(gè)右單位元.再考察方程.根據(jù)假設(shè),方程是一個(gè)群.有解.由于的任意性,這表明中每個(gè)元素關(guān)于右單位元都有右逆元.所以(2)當(dāng)是一個(gè)群時(shí),根據(jù)第5題,適合消去律.現(xiàn)在假設(shè),并且.由于適合左消去律,因此必出現(xiàn)于乘法表的第行中.,從而方程在中有解.同理,由于適合右在中有解.這樣一來,根據(jù)(1),適合消去律.任取,考察方程這就意味著存在,使得消去律,方程是一個(gè)群.19.證明命題2.8中的表示法在不計(jì)循環(huán)置換的順序的意義下是唯一的.注注宜將這道題表述成“證明:在不計(jì)循環(huán)置換的順序的意義下,在用命題2.8中的證明中所說的方法將一個(gè)表示成兩兩不相交的循環(huán)置換的乘積時(shí),表達(dá)式是唯一的”.置換證明顯然,當(dāng)是單位置換時(shí),表達(dá)式就是.不妨設(shè)不是單位置換,和都是在用命題2.8中的證明中所說的方法將置換表示成兩兩不相交的循環(huán)置換的乘積的表達(dá)式.于是,兩兩不相交,兩兩不相交,而且它們的階都大于或等于.考察任意的():設(shè).由和可知,存在(),使得,.不妨設(shè).由和可知,并且,,從而,.由于兩兩不相交,兩兩不相交,并且不計(jì)循環(huán)置換的順序,不妨設(shè),.假設(shè),則,由此可見,當(dāng)§3子群時(shí),必與中某一個(gè)相交.這與我們的假設(shè)矛盾.所以是同一個(gè)表達(dá)式..這就表明,和1.設(shè)是數(shù)域上的級(jí)一般線性群,是的由全體階可逆的對(duì)角矩陣組成的子集,證明:是的子群.證明眾所周知,非空,并且有,,其中表示矩陣與矩陣的乘積,表示矩陣的逆矩陣.所以是的子群.2.設(shè)是一個(gè)群,是的非空子集,證明:是的子群的充分必要條件是,.證明由定理3.3可知,當(dāng)是的子群時(shí),滿足條件.假設(shè)滿足條件.對(duì)于任意的,我們有.因?yàn)闈M足條件,由可知,,.因?yàn)闈M足條件,由可知.總而言之對(duì)于任意的,我們有.根據(jù)定理3.3,是的子群.3.設(shè)是群的子群,,證明:也是的子群(稱為的一個(gè)共軛子群).證明顯然,是的非空子集.設(shè).因此.于是,存在,使得,.所以是的子群.4.設(shè)是交換群,為整數(shù),令,則,證明:是的子群.,從而,證明顯然.若.由此可見,是的子群.5.設(shè)是交換群,證明:的所有階為有限的元素構(gòu)成的集合是的子群.證明令表示的所有階為有限的元素構(gòu)成的集合.顯然.設(shè),其中,.于是,,從而,.由此可見,是的子群.,證明:與具有相同的階.6.設(shè)是群,證明顯然,對(duì)于任意的正整數(shù),,從而,.由此可見,與7.設(shè)具有相同的階.是循環(huán)置換,求的階.解當(dāng)當(dāng)時(shí),顯然,,.時(shí),我們有,,,從而,.8.設(shè)群的除單位元外的每個(gè)元素的階都為,證明:是交換群.證明參看§2習(xí)題第17題.9.設(shè)是群,,證明:與具有相同的階.證明注意到10.設(shè)是群,證明令,根據(jù)第6題的結(jié)論,,.假設(shè)的階與的階互素,證明:.由于與具有相同的階..,,,根據(jù)命題3.12可以斷言.其次,我們有,從而,根據(jù)命題3.12,.因?yàn)榕c互素,由可知.同理可知,.由于與互素,因此.所以,即.11.設(shè)是整數(shù)集關(guān)于加法構(gòu)成的群,是的子群,證明:存在使.證明眾所周知,.當(dāng)時(shí),顯然.這時(shí).現(xiàn)在假設(shè).于是,存在使,并且,在和中,一個(gè)是正數(shù),另一個(gè)是負(fù)數(shù).令表示中的最小正數(shù).顯然,我們有,.現(xiàn)在考察任意的:眾所周知,存在整數(shù)和,使得,.于是,.由于令是中的最小正數(shù),必有,從而,.上述表明.所以.12.設(shè)是一個(gè)群,群.,都是的子群.假設(shè)不包含于且不包含于,證明:不是的子證明由于不包含于.假設(shè)且不包含于,是的子群,因此存在,矛盾.因此且存在.于是,.這樣一來,,則不是的子群..同理,.所以13.設(shè)是一個(gè)群,是的一個(gè)子群鏈,證明:是的子群.證明設(shè).于是,存在正整數(shù)和使得,從而,.所以,.令是的子群...由于是的子群,因此14.證明:()是的一個(gè)生成集.或,則證明考察任意的對(duì)換:若.若且,則.這就是說,對(duì)于每一個(gè)對(duì)換,要么它本身屬于,要么它可以表示成中的一些對(duì)換的乘積.這樣一來,根據(jù)推論2.10可以斷言,每一個(gè)中的一些對(duì)換的乘積.由此可見,可以表示成,從而,.§4循環(huán)群1.證明:循環(huán)群是交換群.證明設(shè)是一個(gè)循環(huán)群.于是,(參看課本第12頁倒數(shù)第4行).眾所周知,,.所以是交換群.2.設(shè)是一個(gè)群,.假設(shè)的階為,證明:對(duì)任意整數(shù),有.證明令.由于,根據(jù)命題3.10,是有限循環(huán)群.根據(jù)命題4.2,.3.設(shè)是一個(gè)階循環(huán)群,是任意整數(shù),證明:與具有相同的階且.證明根據(jù)命題4.2,我們有.根據(jù)命題3.10,見,和都是的階子群.顯然,,從而,.由此可.4.設(shè)是一個(gè)階循環(huán)群,證明:當(dāng)且僅當(dāng).證明根據(jù)命題4.2,我們有.5.設(shè)是循環(huán)群,和是的兩個(gè)子群,證明:.為了證明.證明顯然,從而,,現(xiàn)在只需證明.于是,由.考察任意的使得:當(dāng)為的單位元時(shí),顯然.不妨假定,所以.眾所周知,知,存在,;由知,存在,使得.因?yàn)?從而,存在,使得.于是,我們有,其中,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí).綜上所述,對(duì)于任意的,總有.所以.是的兩個(gè)子群,證明:6.設(shè)是階循環(huán)群,和的充要條件是.證明假設(shè).根據(jù)命題4.2,我們有,從而,.假設(shè).于是,,從而,.這樣根據(jù)第3題的結(jié)論可以斷言,,即.7.設(shè)是無限循環(huán)群,證明:有且僅有兩個(gè)生成元.證明由于是無限循環(huán)群,不妨設(shè)是的一個(gè)生成元.于是,也是的一個(gè)生成元,并且.這就是說,有兩個(gè)不同的生成元.其次,假設(shè)是的任意一個(gè)生成元.由于,因此存在,使得.由于且,因此存在,使得.由此可見,,即或.所以有且僅有兩個(gè)生成元.8.設(shè)是無限循環(huán)群,時(shí),顯然和是的兩個(gè)子群,證明:的充要條件是.證明當(dāng).假設(shè).顯然,當(dāng);由時(shí),,從而,,使得.不妨假定.于是,由.由可知,存在可知,從而,,使得可知,存在.因此.由于.所以§5正規(guī)子群與商群1.證明:循環(huán)群的商群也是循環(huán)群..證明設(shè)是循環(huán)群,是的子群.于是,我們有.這就表明,是循環(huán)群.2.設(shè)是群,,,是的一族正規(guī)子群,證明:是的正規(guī)子群.顯然,我們有也是的正規(guī)子群.證明眾所周知,,.所以3.設(shè)也是的正規(guī)子群.,是群的正規(guī)子群且,證明:對(duì)于任意的,,都有.證明對(duì)于任意的,,由于是群的正規(guī)子群,根據(jù)命題5.11我們有,從而,,從而,;由于是群的正規(guī)子群,根據(jù)命題5.11我們有.因此,從而,.由此可見.4.設(shè)是群的子群且,證明:是的正規(guī)子群.證明我們已經(jīng)知道,,.任意給定.當(dāng)時(shí),.由此可見.當(dāng)時(shí),,并且,由可知,.所以是的正規(guī)子群.5.設(shè)是群的有限子群,.假設(shè)只有一個(gè)階為的子群,證明:是的正規(guī)子群.證明任取,考察:由§3習(xí)題第3題知,是的子群.定義到的映射如下:,.顯然是雙射.因此.由于只有一個(gè)階為的子群,因此.這樣一來,由于的任意性,根據(jù)命題5.11可以斷言,是的正規(guī)子群.6.設(shè)是群,和是的子群,(1)證明:是的子群.(2)假設(shè)是的正規(guī)子群,證明:是的子群.(3)假設(shè)和都是的正規(guī)子群,證明:是的正規(guī)子群.證明(1)假設(shè)是的子群.于是,對(duì)于任意的,我們有存在和和,使得存在,.所以.假設(shè).為了證明.因此是的子群,任意給定.于是,存在和,使得,.由于,因此存在和,使得,從而,.這樣一來,由于的任意性,我們斷言:是的子群.(2)由于是的正規(guī)子群,我們有.這樣,根據(jù)(1),(3)根據(jù)(2),是的子群.是的子群.此外,還有,.所以是的正規(guī)子群.7.設(shè)是群,和是的子群且,證明:.注證明這道題時(shí)還要用到如下約定:,.此外,這道題與§7中的Lagrange定理類似,而且其證明難度不亞于Lagrange定理的證明難度,因此安排在這里不太合適.證明首先,由于是的子群,因此.由此可見,當(dāng)時(shí),,從而,.其次,由于,因此當(dāng)時(shí),,從而.現(xiàn)在假設(shè)且.令,.由知,存在知,存在,使得,使得,其中諸,其中諸兩兩不相交.由兩兩不相交.這樣一來,我們有.現(xiàn)在我們來闡明上式中的諸兩兩不相交.為此,設(shè),,我們來比較與.當(dāng)時(shí),由于,從而,,,因此,即與不相交.當(dāng)且時(shí),,從而,,即與不相交.所以式中的諸兩兩不相交.這樣一來,根據(jù)式可以斷言,,即.8.設(shè)是群的子群,假設(shè)的任意兩個(gè)左陪集的乘積仍是一個(gè)左陪集,證明:是的正規(guī)子群.證明任取.由于是的左陪集,因此存在的左陪集,使得,由此可見,,,從而.所以.由于的任意性,根據(jù)上式我們又可以斷言,.將上式兩邊左乘,右乘,得§6群的同構(gòu)與同態(tài).所以.由于的任意性,這就意味著是的正規(guī)子群.1.設(shè)是群的同構(gòu).到群的同構(gòu),是群到群的同構(gòu),證明:是群到群的同構(gòu);是群總有到群證明眾所周知,是到的雙射.其次,又因保持乘法運(yùn)算,故對(duì)于任意的,從而,.所以是群到群到的同構(gòu).的雙射.又因和都保持乘法運(yùn)算,故對(duì)于任意的眾所周知,是總有.所以是群到群的同構(gòu).是的共軛子群,證明:的映射如下:2.設(shè)是群的子群,與同構(gòu).證明定義到,.直接從的定義可以明白,是滿射.利用消去律容易推知,是單射.因此是雙射.其次,對(duì)于任意的總有.所以是群到群的同構(gòu),從而,.3.設(shè)是群到群的同構(gòu),證明:對(duì)于任意的則的階與的階不一定相同.,.舉例說明,若是群到群的同態(tài),證明將群和群的單位元分別記做和.注意到根據(jù)命題6.5,我們可以斷言:對(duì)于任意的正整數(shù),我們有.由此可見,.假設(shè),,其中為的單位元,為到的映射.則是到的同態(tài).任取,使得,則,,從而,.4.分別建立到和到的同態(tài)來證明定理6.11.注定理6.11的內(nèi)容如下:設(shè)是一個(gè)群,是的正規(guī)子群.(1)若是的子群,則;(2)若是的正規(guī)子群且證明(1)設(shè)是的子群.顯然,,則.是的正規(guī)子群;是的正規(guī)子群.考察任意的:假設(shè),其中,,.則,從而,.因此.這樣一來,我們可以定義,若到的映射如下:對(duì)于任意的,,其中,.由可知,是滿射.任意給定.不妨設(shè),.由于是的子群,因此,從而,存在和,使得.因此.另一方面,我們有.注意到是的正規(guī)子群和命題5.11,易知,從而,,即.所以是到的滿同態(tài).最后,對(duì)于任意(,),我們有.因此.這樣一來,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.(2)設(shè)是的正規(guī)子群且下:.顯然,是的正規(guī)子群.定義到的映射如,.顯而易見,是滿射.由于是的正規(guī)子群,因此對(duì)于任意的,總有.因此是到的滿同態(tài).其次,對(duì)于任意的,我們有.因此.這樣一來,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.5.設(shè)是群,,是的有限子群,證明:.注與§5習(xí)題中第8題類似,這道題也宜安排在§7習(xí)題中.證明令.于是,既是的子群,又是的子群.設(shè).則有,(*)其中,.顯然,諸兩兩不相交;有且僅有一個(gè),使得;并且.由于,因此.這樣,由(*)式可以推得.(**)對(duì)于任意的,考察與:若,則,從而,.由此可得,,從而,.這就表明,諸兩兩不相交.這樣一來,由(**)式可以知,.6.設(shè)是群,證明:是群到群的同構(gòu)的充分必要條件是為交換群.如果是交換群,證明:對(duì)于任意的,是一個(gè)同態(tài).證明將到自身的映射記做.顯然是雙射.于是,是群到群的同構(gòu),,即,,,.假設(shè)是交換群,.將到自身的映射記做.于是,我們有所以是一個(gè)同態(tài).,.7.設(shè)是群到群的滿同態(tài),是的正規(guī)子群,證明:.證明由于是的正規(guī)子群,根據(jù)定理6.7,是的正規(guī)子群.現(xiàn)在定義到的映射如下:.由是群到群的滿同態(tài)可知是到的滿射.,有其次,注意到是的正規(guī)子群,對(duì)于任意的.所以是到的滿同態(tài).,我們有最后,對(duì)于任意的.因此.這樣一來,根據(jù)群的同態(tài)基本定理,是的正規(guī)子群.假設(shè).8.設(shè)是群,,且(此時(shí)稱是和的內(nèi)直積),證明:.證明定義到的映射如下:,.由可知,是滿射.現(xiàn)在設(shè),并且.于是,,從而,,從而,.這意味著且,即.由此可見,是單射,從而,是雙射.對(duì)于任意的,我們有,.由于,是的正規(guī)子群且,由§5習(xí)題第3題可知,.因此,從而,是群到群的同構(gòu).所以.9.設(shè),是群,證明:.證明定義到的映射如下:,.顯然,是雙射.其次,對(duì)于任意的,我們有,.所以是群到群的同構(gòu),從而,.10.設(shè)是不同的素?cái)?shù),證明:.證明對(duì)于任意的和任意的,將以為代表元的模同余類記做.于是,對(duì)于任意的,注意到是不同的素?cái)?shù),我們有.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:,.考察映射:設(shè)且且.則.因此是單射.其次,顯然,我們有,即.因此是,從而,雙射.最后,對(duì)于任意的,.所以是群到群的同構(gòu),從而,.§7有限群1.設(shè)是群,是的正規(guī)子群,,證明:對(duì)于任意的都有.證明由于因此,因此,從而,.根據(jù)推論7.2,對(duì)于任意的,商群中元素的階整除..2.設(shè)和分別是階為和的有限循環(huán)群,證明:存在到的滿同態(tài)的充要條件是.證明假設(shè)是到的滿同態(tài).根據(jù)群的同態(tài)基本定理,.根據(jù)Lagrange定理,我們有,從而,.假設(shè).令,.于是,是的正規(guī)子群,,是元循環(huán)群.顯然,.設(shè)是到的同構(gòu),是到的自然同態(tài).則是到的滿同態(tài).3.設(shè)是有限群,為素?cái)?shù),.如果,證明:一定有階為的子群.注我們介紹過Sylow定理的如下形式:設(shè)是階有限群,其中,,是素?cái)?shù),是非負(fù)整數(shù),是正整階子群.顯而易見,這道題已經(jīng)包含在數(shù),并且.那么,對(duì)于任意的,有Sylow定理中.這是因?yàn)?由知,存在正整數(shù)和,使得,其中.于是,.根據(jù)Sylow定理,有階子群.下面我們采用證明Sylow定理的方法給出這道題的直接證明.證明假設(shè).則存在正整數(shù)和,使得,其中.顯然,.根據(jù)Sylow定理,存在的子群使.現(xiàn)在只需證明一定有階為的子群.為此,對(duì)施行第二數(shù)學(xué)歸納法.時(shí),顯然結(jié)論成立.當(dāng)假設(shè)是整數(shù),并且當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的正整數(shù),有階子群.下面我們來闡明:當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的正整數(shù),有階子群.事實(shí)上,由可知,對(duì)于的每個(gè)真子群,都有(其中為群的中心).由群的類方程立即可知.由于是交換群,根據(jù)引理7.4,存在.則,使得.由可知,是的正規(guī)子群.令.根據(jù)歸納假設(shè),對(duì)于任意的正整數(shù),,從而,有階子群.根據(jù)命題5.13,存在的子群,使得且.4.設(shè)是有限群,為素?cái)?shù),如果的每個(gè)元素的階都是的方冪,則稱是-群.證明:是-群的一個(gè)冪.是證明顯然,當(dāng)是的一個(gè)冪時(shí),是-群.現(xiàn)在假設(shè)不是的一個(gè)冪.于是,存在素?cái)?shù),使的,其中,.根據(jù)Sylow定理,有階子群.所以不是-群.5.證明:階小于或等于5的群都是交換群.證明顯然1階群是交換群.由推論7.2立即可知,2階群、3階群和5階群都是循環(huán)群,因而都是交換群.設(shè)是4階群.根據(jù)推論7.2,中元素的階只能是,2或.當(dāng)中有4階元素時(shí),是循環(huán)群,因而是交換群.當(dāng)中有4階元素時(shí),中的元素,除單位元外,都是2階元素.不妨設(shè)四元群,因而是交換群..容易驗(yàn)證,就是Klein6.設(shè)是群,,是的有限子群,假設(shè),證明:.證明由于既的子群,又是的子群,根據(jù)推論7.2,是與的公約數(shù).因?yàn)?所以.這樣一來,根據(jù)§6習(xí)題第5題,我們有.第二章環(huán)論§1環(huán)的概念1.證明:命題1.3的(5)-(7).注命題1.3的(5)-(7)的原文如下:(設(shè)是一個(gè)環(huán),則)(5);(6),其中為整數(shù);(7)若是交換環(huán),則,.顯然,(5)中應(yīng)加進(jìn)“其中和為中的任意元素,和為任意正整數(shù)”;(6)中應(yīng)加進(jìn)“和為中的任意元素”;(7)中應(yīng)加進(jìn)“其中，和為中的任意元素,為任意正整數(shù),并且約定,”.證明首先,因?yàn)槌朔▽?duì)加法適合分配律,所以.這就是說,命題1.3(5)成立.其次,當(dāng)時(shí),根據(jù)命題1.3(1),我們有.當(dāng)是正整數(shù)時(shí),令,,,從而,,,,則因乘法對(duì)加法適合分配律,我們有,,從而,.當(dāng)是負(fù)整數(shù)時(shí),根據(jù)命題1.3(2)和剛才證明的結(jié)論,我們有,,從而,.這就是說,命題1.3(6)成立.最后,假定是交換環(huán).我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明等式(*)成立.事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然(*)式成立.假設(shè)當(dāng)為某個(gè)正整數(shù))時(shí),(*)式成立.當(dāng)時(shí),我們有.所以對(duì)于一切正整數(shù),(*)式成立.此外,由于乘法適合結(jié)合律和交換律,由第一章的§1知,.2．令,證明關(guān)于實(shí)數(shù)的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán).證明顯然,是一個(gè)交換群;是一個(gè)半群(也就是說,乘法適合結(jié)合律);乘法對(duì)加法適合分配律.所以是一個(gè)環(huán).(驗(yàn)證過程從略.)3.設(shè)是閉區(qū)間上的所有連續(xù)實(shí)函數(shù)構(gòu)成的集合.對(duì)于任意的,定義,,.證明:關(guān)于這樣定義的和構(gòu)成一個(gè)環(huán).證明簡單的數(shù)學(xué)分析知識(shí)告訴我們,適合結(jié)合律);乘法對(duì)加法是一個(gè)交換群;適合分配律.所以是一個(gè)半群(也就是說,乘法是一個(gè)環(huán).4.設(shè)是有單位元的環(huán),是正整數(shù).形如,其中,,的表格稱為環(huán)上的矩陣(或階方陣).令是環(huán)上的所有矩陣構(gòu)成的集合.完全類似關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán).記,使得,則稱是可逆的,稱是的一個(gè)逆矩陣,證明:若可逆,則其逆是唯一的,記的逆矩陣為于數(shù)域上矩陣,可以定義環(huán)上的矩陣的加法和乘法,證明:中單位矩陣為.對(duì),如果存在.證明完全類似于數(shù)域上矩陣,容易驗(yàn)證都為的零元的階方陣;對(duì)于任意的上的加法適合結(jié)合律和交換律(從略).令表示所有元素,將中每個(gè)元素都代之以其負(fù)元而得到矩陣記做.顯而易見,對(duì)于任意的,有,.所以對(duì)關(guān)于矩陣加法交換群.完全類似于數(shù)域上矩陣,容易驗(yàn)證:上的乘法適合結(jié)合律,并且關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán).,從而,上的加法適合分配律(從略).所以假設(shè)是任意一個(gè)可逆矩陣,并且矩陣和都是的逆矩陣.則矩陣.這就表明的逆矩陣是唯一的.5.設(shè)是一個(gè)環(huán),假設(shè)是一個(gè)循環(huán)群,證明:是交換環(huán).的一個(gè)生成元.于是,對(duì)于任意的證明設(shè)是循環(huán)群,存在,使得,,從而,根據(jù)命題1.3(6),.所以是交換環(huán).6.設(shè)是一個(gè)有單位元的環(huán),對(duì)于任意的,⊙,令,證明:和⊙是上的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算且關(guān)于加法和乘法⊙也構(gòu)成一個(gè)有單位元的環(huán).注到此為止,還要求證明和⊙是上的代數(shù)運(yùn)算已沒有什么意義.因此這道題可改為:設(shè)一個(gè)有單位元的環(huán),定義上的代數(shù)運(yùn)算加法和乘法⊙如下:是,⊙,.證明:關(guān)于加法和乘法⊙也構(gòu)成一個(gè)有單位元的環(huán).證明(顯而易見,和⊙都是上的代數(shù)運(yùn)算.)對(duì)于任意的,有;;;.由此可見,是以為零元的交換群.其次,對(duì)于任意的,有⊙⊙⊙⊙⊙⊙;⊙⊙,⊙⊙,從而,⊙⊙⊙;⊙⊙;⊙⊙;從而,⊙⊙⊙;⊙⊙.的單位元為零元、以環(huán)所以,⊙是以環(huán)的零元為單位元的環(huán).7.在剩余類環(huán)中,記滿足(1)令的剩余類的個(gè)數(shù)為,證明:,則關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成一個(gè)群;(2)若,則()(費(fèi)馬定理).證明(1)顯然,其次,設(shè),因此..根據(jù)的定義,.因此,從而,.這表明,關(guān)于剩余類的乘法封閉.由于剩余類的乘法適合結(jié)合律,因此關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成一個(gè)半群.由于,,因此是半群的單位元.再考察任意的,從而,并且:由可知,存在,使得.顯然.這就表明,半群中每個(gè)元素都有逆元.所以關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成一個(gè)群.(2)首先,我們注意,,從而,.設(shè).于是,.根據(jù)第一章中命題3.12,.所以().§3理想與商環(huán)1.設(shè)和是整數(shù)環(huán)的兩個(gè)理想,證明:,.注注這里約定,當(dāng)時(shí),.證明我們已經(jīng)知道,對(duì)于任意的,有(參看課本第39頁).這樣一來,由第一章§4習(xí)題第5題可知,.其次,顯然,且,從而,且.由于是包含和的最小理想,因此.另一方面,眾所周知,存在,使得.由此可見,,從而,.所以.2.證明命題3.7.注命題3.7如下:設(shè)是一個(gè)環(huán),是的一個(gè)理想.(1)若是的一個(gè)理想且,則(2)若是證明(1)設(shè)是的一個(gè)理想且是的理想;的一個(gè)理想,則存在的理想,使且..首先,由于是加群的正規(guī)子群且是加群的子群且,根據(jù)第,我們有一章命題5.13(1),,從而,是加群的子群.其次,由于是的理想,對(duì)于任意的和任意的,.所以是的理想.(2)設(shè)是的一個(gè)理想.于是,是加群的一個(gè)子群.首先,根據(jù)第一章命題5.13(2),存在加群的子群,使且.此外,由于是的理想,因此對(duì)于任意的和任意的,我們有,,從而,.所以是的理想.3.設(shè)是環(huán)的一個(gè)左理想,令注應(yīng)將“,證明:是的一個(gè)左理想.”改為“”.證明首先,顯然.其次,對(duì)于任意的,我們有,從而,,.因此,.所以是加群的子群.此外,對(duì)于任意的和任意的,我們有,,從而,.所以是的一個(gè)左理想.4.設(shè)是環(huán),是的一個(gè)理想鏈,證明:是的理想.證明由于是加群的一個(gè)子群鏈,根據(jù)第一章§3習(xí)題第13題,是加群的子群.其次,設(shè),.于是,存在正整數(shù),使得.由于是的理想,因此,從而,.所以是的理想.5.設(shè)是有單位元的環(huán)的一個(gè)理想,令明:是的一個(gè)理想.是多項(xiàng)式環(huán)中所有系數(shù)在中的多項(xiàng)式組成的集合,證證明顯而易見,是多項(xiàng)式環(huán)的一個(gè)子環(huán).此外,對(duì)于任意的和任意的,我們有,.由于是環(huán)的一個(gè)理想,因此,.由此可見,.所以環(huán)的一個(gè)理想.6.設(shè)是數(shù)域上所有2階方陣構(gòu)成的環(huán),證明:的理想只有注本題中的是指2階零矩陣.和.證明考察環(huán)的任意一個(gè)非零理想:任取非零矩陣.假設(shè)的秩等于.于是,對(duì)于任意的.由此可見,,存在使得.因?yàn)槭堑睦硐肭?由可知.假設(shè)的秩等于.令,,,,.于是,存在可逆矩陣(),使得().因?yàn)槭堑睦硐肭?由以上四式可知().這樣一來,注意到是的理想,對(duì)于任意的,我們有.由此可見,.綜上所述,可以斷言,的理想只有§4環(huán)的同態(tài)和.1.設(shè)是環(huán)到環(huán)的同態(tài),證明:是的理想.證明由于是環(huán)到環(huán)的同態(tài),因此是加群到加群的同態(tài).根據(jù)第一章中的命題6.6,是加群的(正規(guī))子群.此外,對(duì)于任意的和,我們有,,從而,2.設(shè)是環(huán)到環(huán)的同構(gòu),證明:證明由于是環(huán)到環(huán)的同構(gòu),因此是加群到加群的同構(gòu).根據(jù)第一章§6習(xí)題第1題,.由此可見,是的理想.是環(huán)到環(huán)的同構(gòu).是加群到加群的同構(gòu).又因保持乘法運(yùn)算,故對(duì)于任意的總有,從而,.所以是環(huán)到環(huán)的同構(gòu).3.證明定理4.3.注定理4.3如下:設(shè)是一個(gè)環(huán),是的理想.(1)若是的理想,則;(2)若是的理想,且證明(1)令,則.,.根據(jù)第一章中的定理6.11(1)及其證明,是加群到加群的滿同態(tài),并且.此外,,還有,.所以是環(huán)到加環(huán)的滿同態(tài),并且.這樣一來,根據(jù)環(huán)的同態(tài)基本定理,在環(huán)的同構(gòu)的意義下,.(2)令,.根據(jù)第一章中的定理6.11(2)及其證明,是加群到加群的滿同態(tài),并且.此外,還有,.所以是環(huán)到環(huán)的滿同態(tài),并且.這樣一來,根據(jù)環(huán)的同態(tài)基本定理,在環(huán)的同構(gòu)的意義下,.4.設(shè)是有單位元的環(huán)的一個(gè)理想,令在中的多項(xiàng)式組成的集合,證明:是多項(xiàng)式環(huán)中所有系數(shù)是的一個(gè)理想,且.證明反復(fù)利用§3習(xí)題第5題的結(jié)論可以推知,是的一個(gè)理想.對(duì)于任意的,令,其中,,,,.不難驗(yàn)證,是環(huán)到環(huán)的滿同態(tài),并且(驗(yàn)證過程從略).根據(jù)環(huán)的同態(tài)基本定理,.5.設(shè)是有單位元的環(huán),證明:.證明定義到的映射如下:.到的滿同態(tài),并且,顯而易見,是.所以.6.設(shè)是環(huán)到環(huán)的滿同態(tài),是環(huán)的一個(gè)理想,證明:是的理想且.證明由于是環(huán)到環(huán)的滿同態(tài),因此是加群到加群的滿同態(tài).由于是環(huán)的一個(gè)理想,因此是加群的(正規(guī))子群.根據(jù)第一章§6習(xí)題第7題,是加群的子群,并且,在群的同構(gòu)意義下,.其次,由于是環(huán)的一個(gè)理想,對(duì)于任意的和任意的,有,,從而,.所以是的理想.現(xiàn)在令,.顯而易見,是加群到加群的同構(gòu).此外,對(duì)于任意的,有.因此,是環(huán)到環(huán)的同構(gòu).這就是說,在環(huán)的同構(gòu)意義下,有.7.設(shè)是環(huán)的理想,假設(shè)且(此時(shí)稱是和的內(nèi)直和),證明:.證明對(duì)于任意的和.令,.根據(jù)第一章§6習(xí)題第8題及其解答可知,是加群到加群的同構(gòu).其次,對(duì)于任意的,我們有和,由于是環(huán)的理想且,從而,.因此,,從而,.所以在環(huán)的同構(gòu)意義下,有8.設(shè)是環(huán)的理想且.,證明:.證明對(duì)于任意的和,我們有且且.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:對(duì)于任意的和任意的,.考察任意的:由可知,存在可知,和,使得,.由和;由和可知,.這樣一來,根據(jù)的定義,我們有.由此可見,是到的滿射.,我們有對(duì)于任意的和任意的,.所以是環(huán)到環(huán)的滿同態(tài).,我們有對(duì)于任意的和任意的,從而,.這樣一來,根據(jù)環(huán)的同態(tài)基本定理,.§5交換環(huán)1.設(shè)是交換環(huán),是的理想,令證明顯然是的非空子集.設(shè),證明:也是的理想.,.于是,存在正整數(shù)和,使得.由此可見,,,,,從而,.所以也是的理想.2.設(shè)是交換環(huán),是的真理想,證明:是的素理想對(duì)的任意兩個(gè)理想,其中,若,則或.證明首先證明這個(gè)條件是為素理想的必要條件.為此,設(shè)是素理想,并設(shè)和是的理想且:若對(duì)于任意的都有,則.否則,存在.總之,或,使得.由于,因此,.又因是素理想且,故,,即.其次,假設(shè)對(duì)的任意兩個(gè)理想,其中.于是,,若.我們來闡明是的素理想:考察任意的,則或.由于是交換環(huán),我們有,,.考察任意的:不妨設(shè),其中,.通過直接演算可知,.由此可見,素理想..這樣一來,根據(jù)我們對(duì)的假設(shè),也是整環(huán),且若或,從而,或.所以是3.設(shè)是整環(huán),證明:,則.證明由于是有單位元的交換環(huán)且,所以也是是有單位元的交換環(huán),,并且的:不妨假設(shè)零元和單位元分別是的零元和單位元.考察任意的,,其中且.于是,,,并且,其中,,.由于無零因子,次多項(xiàng)式.所以且,因此,從而,是.由此可見,也是整環(huán).4.設(shè)是整環(huán),證明:中的可逆元(即存在逆元的元素)恰是中的可逆元.證明我們知道使得的單位元就是的單位元.設(shè).由上題知,是中的可逆元.于是,存在.這樣一來,由,可知,是中的可逆元.反之,顯然中的可逆元都是中的可逆元.所以中的可逆元恰是中的可逆元.5.求出中每個(gè)非零元的逆元.證明在中,,,.由此可見,的逆元是,與互為逆元,的逆元是.6.設(shè)是數(shù)域,證明由于是中的不可約多項(xiàng)式,證明:是的極大理想.是有單位元的交換環(huán),因此.由于是中的不可約多項(xiàng)式,因此.任取是的真理想.設(shè)是不能整除,使得的一個(gè)理想,,并且.則.由于是不可約多項(xiàng)式,因此與互素,從而,存在.注意到由上式可知,,從而,.所以是的極大理想.7.證明:是的一個(gè)極大理想.證明由于是有單位元的交換環(huán),因此,,從而,,即,.顯然,是的真理想.假設(shè)是的一個(gè)理想,.由于,并且.任取,并將的常數(shù)項(xiàng)記做.則.所以且,因此.由此可見,是的極大理想.8.證明:是的極大理想是素?cái)?shù).注這里應(yīng)假定為正整數(shù).證明由于是有單位元的交換環(huán),因此,,從而,,即,.假設(shè)是素?cái)?shù).顯然,是的真理想.設(shè)是,并將的常數(shù)項(xiàng)記做.則不能整除.由于,因此.由于是素?cái)?shù)且不能整除,因此與互素,從而,存在,由.由此可見,的一個(gè)理想,,并且.特別地,.任取且,使得.所以.注意到是的極大理想.的一個(gè)理想且可知是假設(shè)不是素?cái)?shù).當(dāng)整數(shù),使得時(shí),顯然.因此的真理想,不是極大理想.當(dāng)是合數(shù)時(shí),存在大于的且.所以.于是,是不是的極大理想.9.證明本節(jié)定義的是除環(huán)但不是域.證明設(shè)是實(shí)數(shù)域上的四維向量空間.我們知道,關(guān)于向量的加法構(gòu)成一個(gè)交換群.下面我們來定義上的一個(gè)乘法,使得是一個(gè)除環(huán),但不是域.對(duì)于中的任意向量,,我們定義與的乘積為:.容易驗(yàn)證,我們定義的乘法外,易見,是環(huán)的單位元;適合結(jié)合律,并且對(duì)于加法適合分配律.因此是一個(gè)環(huán).此這四個(gè)元素中兩兩相乘的結(jié)果如下表所示:·由此可見,環(huán)是非交換環(huán).再考察任意的:設(shè).令,其中.由直接演算可知,,從而,可逆.由此可見,環(huán)是除環(huán),但不是域.10.設(shè)是交換環(huán),是的素理想鏈,證明:是的素理想.證明根據(jù)命題3.4,是的理想.設(shè)和是的兩個(gè)理想且,則.于是,對(duì)于每個(gè)正整數(shù)都有則當(dāng).假設(shè)對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)都有.假設(shè)存在正整數(shù),使得不包含于,因此當(dāng).由于當(dāng),時(shí)總是不包含于.由于諸都是素理且,因此.這樣一來,根據(jù)第2題,注也可以根據(jù)課本中的素理想的定義直接證明.時(shí)總有時(shí)是的素理想.11.設(shè)是有單位元的環(huán),是的一個(gè)真理想,證明:存在的極大理想使.證明令.顯然關(guān)于集合之間的包含關(guān)系構(gòu)成一個(gè)偏序集.假設(shè)是的任意一個(gè)有序子集.考察,使得.由于是的有序子集,不妨假定,從而,.所以的上界.這樣一來,由于的任意性,根據(jù)Zorn引理我們可以斷言,偏序集:顯然且.設(shè),.于是,存在,從而,.由于是的理想,因此.顯而易見,是有極大元.這個(gè)極大元就是的極大理想且.12.設(shè)是特征為()的整環(huán),證明:且映射是一個(gè)環(huán)同態(tài).證明根據(jù)命題1.3(7),.當(dāng).所以時(shí),,從而,.由于的特征為(),當(dāng)時(shí),.將本題中所說的映射記做,則,,.所以是環(huán)的自同態(tài).13.設(shè)是有限環(huán),假設(shè)沒有零因子,證明:是除環(huán).證明由于是有限環(huán)且沒有零因子,因此是非空有限集,并且關(guān)于上的乘法封閉.由于上的乘法適合結(jié)合律,因此上的乘法(即上的乘法在上的限制)也適合結(jié)合律.由于沒有零因子,因此在上的乘法適合消去律.這樣一來,根據(jù)第一章§2習(xí)題第18題的第(2)小題,關(guān)于乘法構(gòu)成一個(gè)群.由此可見,是除環(huán).14.設(shè)是有單位元的交換環(huán),證明:是一個(gè)域的理想只有和.注本題有誤.這是因?yàn)?當(dāng)時(shí),是有單位元的交換環(huán),不是一個(gè)域,但的理想只有和.應(yīng)和.”將本題改為“設(shè)是至少含有兩個(gè)元素的有單位元的交換環(huán),證明:是一個(gè)域下面就修改后的題目進(jìn)行證明.的理想只有證明假設(shè)是一個(gè)域.考察的任意非零理想:任任意的,存在,使得,從而,.由于關(guān)于乘法構(gòu)成一個(gè)群,因此對(duì)于.所以的理想只有和..由此可見,假設(shè)不是域.于是,存在非零元15.證明:有限除環(huán)一定是域.,使得不可逆.因此,從而,且.注這里要證明的命題是著名的Wedderburn定理,證明時(shí)要用到的知識(shí)超出本章的范圍.因此應(yīng)該刪去這道題.此外,原題中應(yīng)刪去“有單位元的”這幾個(gè)字,因?yàn)榉彩浅h(huán)都有單位元.§6整環(huán)的因子分解1.證明:是中的既約元.:顯然,證明考察高斯整數(shù)環(huán)和都是中的單位.假設(shè),(其中),使得.于是,.從而,于是,.由此可見,中的單位就是和.這樣一來,),使得不是單位.當(dāng)然也不是零元.假設(shè),(其中..由此可見,2.證明:,,注這里或,從而,是單位或是單位.所以是既約元.,都是中的既約元.表示的一個(gè)平方根.證明考察整環(huán)中:顯然,都是中的單位.假設(shè),(其),使得.于是,.由此可見,是零元.中的單位就是.這樣一來,,,,都不是單位.當(dāng)然他們也都不假設(shè),(其中),使得.于是,.由此可見,或,從而,,或者,.所以是中的既約元.假設(shè),(其中),使得.于是,.顯然,無論是什么整數(shù),,.這樣一來由上式可以推知,時(shí),;當(dāng)且,或者,時(shí),且.當(dāng).所以是中的既約元.假設(shè),(其中),使得.于是,.由此可見,或.當(dāng)時(shí),中的既約元.;當(dāng)時(shí),.所以是域.是有單位元的交換環(huán),根據(jù)定理5.6,為了證明都是3.證明:證明由于是域,只需證明是的極大理想.事實(shí)上,顯然是的真理想.現(xiàn)在設(shè)是的一個(gè)理想,.任取且.由.顯然,,從而,可知,.假如是偶數(shù),則.由可知,這與.由此可見,矛盾.所以.所以是奇數(shù).這樣一來,存在理想.,使得,從而,是的極大4.證明:整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán).證明我們已經(jīng)知道整數(shù)環(huán)是整環(huán).設(shè)是的任意一個(gè)理想.當(dāng)中必有正整數(shù).將中的最小正整數(shù)記做.考察任意的時(shí),.現(xiàn)在設(shè).顯然,.由于:根據(jù)帶余除法,存在整數(shù)和,使得,則與為中的最小正整數(shù)的事實(shí)矛盾.因此,從而,.所以,.由此可見,的任意性,因此.假如.顯然,.綜上所述,整數(shù)環(huán)的所有理想都是主理想.所以整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán).5.證明:不是主理想整環(huán).證明考察的理想.由§5習(xí)題第8題知,.假設(shè)存在此,使得.這樣一來,由,則由可得.由于是真理想,因可知.于是,.這與矛盾.所以不是的主理想,從而,不是主理想整環(huán).6.證明:是歐氏環(huán).證明顯然是整環(huán).令.定義到的映射如下:,,其中.于是,對(duì)于任意的(其中