數(shù)值分析誤差

數(shù)值分析

主講：謝靈紅電話箱：xielinghong@教材

《數(shù)值方法》，金一慶等編浙江大學(xué),機(jī)械工業(yè)出版社。實(shí)際上，只要有如下內(nèi)容：緒論與誤差、非線性方程求解、解線性方程組的直接法、解線性方程組迭代法、插值法、曲線擬合和函數(shù)逼近、數(shù)值積分與微分、常微分方程數(shù)值解書都可作為教材。

參考書1.《數(shù)值方法》，金一慶等編浙江大學(xué),機(jī)械工業(yè)出版社,20002.《數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)驗(yàn)》，姜健飛等編,科學(xué)出版社,20043.《數(shù)值分析》，徐躍良編,西南交大出版社,20054.《計(jì)算方法》，曹德欣等編,中國礦業(yè)大學(xué)出版社,20015《數(shù)值分析方法》，奚梅成等編,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,20036《數(shù)值分析》(第三版)，顏慶津編[北京航空航天大學(xué)出版社,2006高等學(xué)校研究生教材?？荚囈螅?、考試為題庫調(diào)題考試。2、期末成績?yōu)?0分以上及實(shí)驗(yàn)成績（上機(jī)）通過，該門課程才通過。1.1數(shù)值分析課程介紹隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法的飛速發(fā)展，幾乎所有學(xué)科都走向定量化和精確化，從而產(chǎn)生了一系列計(jì)算性的學(xué)科分支，如計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算地質(zhì)學(xué)、計(jì)算氣象學(xué)和計(jì)算材料學(xué)等，計(jì)算數(shù)學(xué)中的數(shù)值計(jì)算方法則是解決“計(jì)算”問題的橋梁和工具。我們知道，計(jì)算能力是計(jì)算工具和計(jì)算方法的效率的乘積，提高計(jì)算方法的效率與提高計(jì)算機(jī)硬件的效率同樣重要?？茖W(xué)計(jì)算已用到科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域中。

數(shù)值計(jì)算方法，是一種研究并解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值近似解方法，是在計(jì)算機(jī)上使用的解數(shù)學(xué)問題的方法，簡稱計(jì)算方法。在科學(xué)研究和工程技術(shù)中都要用到各種計(jì)算方法。例如，在航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)和漢字字樣設(shè)計(jì)中都有計(jì)算方法的蹤影。

數(shù)值分析既有數(shù)學(xué)類課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性的技術(shù)特征，數(shù)值分析是一門理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的學(xué)科。在70年代，大多數(shù)學(xué)校僅在數(shù)學(xué)系的計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)和計(jì)算機(jī)系開設(shè)計(jì)算方法這門課程。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和普及，現(xiàn)在計(jì)算方法課程幾乎已成為所有理工科學(xué)生的必修課程。數(shù)值分析的計(jì)算對(duì)象是微積分，線性代數(shù)，常微分方程中的數(shù)學(xué)問題。內(nèi)容包括：插值和擬合、數(shù)值微分和數(shù)值積分、求解線性方程組的直接法和迭代法、計(jì)算矩陣特征值和特征向量和常微分方程數(shù)值解等問題。數(shù)值分析的計(jì)算目標(biāo)是高等數(shù)學(xué)問題的的數(shù)值解。對(duì)一般理工科的學(xué)生，教學(xué)內(nèi)容側(cè)重方法的實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性部分；我們的宗旨既不以嚴(yán)謹(jǐn)理論為主導(dǎo)，也不是全篇的數(shù)據(jù)的數(shù)值計(jì)算，而是兩者兼顧，兼收方法的基本理論和實(shí)用性。求精確解(值)一般非常困難。例如：

1.方程組階數(shù)n很大，例如n=20,計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度1億次/秒,用不好的方法,大約需算30多萬年;好方法不到一分鐘。另外，有計(jì)算結(jié)果可靠性問題。2.特征值定義

3.形式復(fù)雜時(shí)求根和求積分很困難。4.線性微分方程易解，如

非線性方程難解，如

希望：求近似解，但方法簡單可行，行之有效（計(jì)算量小，誤差小等）。以計(jì)算機(jī)為工具，易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。計(jì)算機(jī)運(yùn)算:只能進(jìn)行加，減，乘，除等算術(shù)運(yùn)算和一些邏輯運(yùn)算。計(jì)算方法：把求解數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為按一定次序只進(jìn)行加，減，乘，除等基本運(yùn)算——數(shù)值方法?！?.2誤差基礎(chǔ)知識(shí)一.誤差來源

半個(gè)世紀(jì)以來計(jì)算機(jī)還給我們這個(gè)世界的諸多煩惱中，誤差問題最為突出。小到銀行利率的錯(cuò)算，大到導(dǎo)彈的錯(cuò)誤發(fā)射，除了操作人員的疏忽、機(jī)器的故障引起的過失誤差外，計(jì)算機(jī)在處理數(shù)據(jù)過程中還存在計(jì)算誤差。這是計(jì)算機(jī)機(jī)器數(shù)系所引起的，這一數(shù)系的特點(diǎn)是有限、離散、支離破碎；這和數(shù)學(xué)上常用的實(shí)數(shù)系無限、稠密、連續(xù)的特點(diǎn)完全不同。機(jī)器數(shù)的表示方法通常采用浮點(diǎn)數(shù)形式，即：

數(shù)值計(jì)算方法就是“研究用于求得數(shù)學(xué)問題近似解的方法和過程”，由于算法的實(shí)現(xiàn)必須在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，雖然計(jì)算機(jī)是非常準(zhǔn)確且快捷的計(jì)算工具，但計(jì)算機(jī)并不是象一般人想象哪樣可以解決一切問題而不出差錯(cuò)。其中，且都是整數(shù)0~9中的任一個(gè)數(shù)。稱為尾數(shù)，尾數(shù)的位數(shù)n是有限正整數(shù)；中的m稱為階數(shù)，階數(shù)也是有界的數(shù)。所以，機(jī)器數(shù)中有最大的數(shù)，也有最小的數(shù)。用機(jī)器數(shù)表示實(shí)數(shù)時(shí)，很多情況下都帶有誤差。

functions=f(m)s=0;forn=1:ms=s+0.1ends=s-100運(yùn)行結(jié)果：s=-1.4069e-012反應(yīng)二進(jìn)制本質(zhì)

在2400多年前，古希臘人提出了被稱為幾何三大問題的古典難題。這說明在歷史上，人類就常被誤差所困擾。下面問題就是三大難題之一。

例題

解不妨設(shè)已知立方體體積為1。要作的立方體體積為2，則所求方立體高度應(yīng)該為，用計(jì)算機(jī)計(jì)算出，（15位數(shù)）。盡管精確度相當(dāng)高，但仍是近似值。下面的表1-1列出了對(duì)h取前有限位數(shù)時(shí)，計(jì)算所得體積的誤差。例1立方倍積問題。作一個(gè)立方體，使其體積為已知立方體的二倍。例1（續(xù)）位數(shù)

高度體積誤差21.21.7282.7200×10-131.251.9531254.6875×10-241.2591.9956169794.3830×10-351.25991.9998997577991.0024×10-461.259921.999995000191494.9998×10-671.2599211.999999762390492.3761×10-781.2599211.999999762390492.3771×10-791.259921041.999999952878604.7121×10-8表1-1立方倍積問題的計(jì)算

由上表可知，計(jì)算機(jī)機(jī)器數(shù)的有限位特點(diǎn)使這一問題只能在滿足一定的精度條件下解決，誤差是無法消除的?！?誤差來源

（2）在給出的數(shù)學(xué)模型中往往涉及一些根據(jù)觀測得到的物理量，如電壓、電流、溫度、長度等，而觀測難免不帶誤差，這種誤差稱為觀測誤差。

一個(gè)物理量的真實(shí)值和我們算出的值往往不相等，其差稱為誤差。引起誤差的原因是多方面的。（1）從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，對(duì)被描述的實(shí)際問題進(jìn)行了抽象和簡化，忽略了一些次要因素，這樣建立的數(shù)學(xué)模型雖然具有“精確”、“完美”的外衣，其實(shí)只是客觀現(xiàn)象的一種近似。這種數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問題之間出現(xiàn)的誤差稱為模型誤差。方法誤差與舍入誤差（4）在計(jì)算中遇到的數(shù)據(jù)可能位數(shù)很多，也可能是無窮小數(shù)，如，，等，由于計(jì)算機(jī)數(shù)系是間斷的且有界，即計(jì)算時(shí)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，因此必須進(jìn)行四舍五入，這樣產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。（3）在計(jì)算中常常遇到只有通過無限過程才能得到的結(jié)果，但實(shí)際計(jì)算時(shí)，只能用有限過程來計(jì)算。如無窮級(jí)數(shù)求和，只能取前面有限項(xiàng)求和來近似代替，于是產(chǎn)生了有限過程代替無限過程的誤差，稱為截?cái)嗾`差，這是計(jì)算方法本身出現(xiàn)的誤差，所以也稱方法誤差，這種誤差是需要特別重視的。

有時(shí)，帶有誤差的數(shù)據(jù)也被人們頻繁使用。例如，在某次人口普查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)我國某省的人口數(shù)為7123萬，這就是一個(gè)近似數(shù)，其舍入誤差不超過0.5萬。用3.1415926來代替圓周率，其舍入誤差為舍入誤差

在對(duì)收斂的無窮級(jí)數(shù)計(jì)算中，常取有限項(xiàng)代替無窮項(xiàng)。如對(duì)于正弦函數(shù):

取，作近似計(jì)算，則為其截?cái)嗾`差。

條件問題

計(jì)算方法中有一類問題稱為條件問題，條件問題是一個(gè)算法（公式）由于初始數(shù)據(jù)或者中間某些數(shù)據(jù)微小攝動(dòng)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響的敏感性的問題。舍入誤差、觀測誤差都屬初始數(shù)據(jù)的攝動(dòng)。研究壞條件問題的計(jì)算方法是十分重要的課題，有的時(shí)候，一些問題的條件并不壞，但由于算法不恰當(dāng)，初始數(shù)據(jù)的微小攝動(dòng)或舍入誤差在計(jì)算過程中不斷被放大，而可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的精度大大降低，甚至使計(jì)算失去意義。遞推算法

遞推算法是解決實(shí)際問題中使用相當(dāng)普遍的一種算法，它的數(shù)學(xué)描述是帶初值的遞推關(guān)系式。

例2小猴吃桃問題。有一天小猴摘下了若干個(gè)桃子，當(dāng)即吃掉了一半，還覺得不過癮，又多吃了一個(gè)。第二天接著吃了剩下的一半，又多吃了一個(gè)。以后每天都是吃掉尚存的桃子的一半零一個(gè)。到第十天早上，小猴準(zhǔn)備吃桃子時(shí)，看到只剩下1個(gè)桃子了。問小猴第一天共摘下了多少個(gè)桃子？解設(shè)第k天的桃子數(shù)為pk，則桃子數(shù)目變化規(guī)律為遞推算法（續(xù)1）

這是正向遞推的關(guān)系式，解之，可得逆向遞推關(guān)系式

由初值，根據(jù)上式設(shè)計(jì)算循環(huán)算法計(jì)算出即第一天的桃子數(shù)為1534。。

上例中僅涉及整數(shù)序列遞推，根據(jù)初值條件來選擇正向遞推或逆向遞推使實(shí)際問題得以解決。盡管正向遞推和逆向遞推公式在數(shù)學(xué)上完全等價(jià)，卻導(dǎo)致兩種完全不同的算法。對(duì)于實(shí)數(shù)序列的遞推由于初始誤差的存在，可以一種方向的遞推會(huì)使誤差擴(kuò)大，而另一方向的遞推會(huì)使得誤差逐步減小。在設(shè)計(jì)（選用）算法時(shí)要用使初始誤差不增長的算法。解:當(dāng)n=0時(shí)由此可得出遞推計(jì)算公式:

于是可設(shè)計(jì)如下兩種算法：

遞推算法（續(xù)2）例3兩種算法算法1算法2，由（1-2）可得：

依式（1-3）計(jì)算

的近似值。表1-1nIn（按算法1計(jì)算）In（按算法2計(jì)算）0.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.034303350.028489580.0284683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-0.645697260.013016368.305409380.0118412714-41.455618310.01222222130由表中結(jié)果可見，按算法1得到，這顯然是錯(cuò)的。

說明

因?yàn)閷?duì)任意n≥0均有：以及且時(shí)，。而按算法2計(jì)算，盡管取值精度不高，其誤差但遞推計(jì)算得到的卻有8位有效數(shù)字，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？下面的分析說明，這是舍入誤差在計(jì)算過程中傳播所引起的后果。設(shè)有舍入誤差（可能由計(jì)算機(jī)自動(dòng)舍入引起），假定計(jì)算過程中不產(chǎn)生新的舍入誤差，則由式（1-2）有：

說明（續(xù)1）說明（續(xù)2）而對(duì)算法2，以計(jì)算應(yīng)有

從而有:因此從出發(fā)計(jì)算到時(shí)，其誤差已縮小倍。上例說明，對(duì)于同一問題，不同的算法對(duì)初始數(shù)據(jù)的誤差

（或計(jì)算過程中某一步的舍入誤差）的傳播是不同的，一

個(gè)算法，經(jīng)過指定次數(shù)計(jì)算后，若仍能將初始數(shù)據(jù)的誤差

的影響限于一定范圍之內(nèi)，這個(gè)算法的穩(wěn)定性就好，反之

穩(wěn)定性差，上例中，算法2具有數(shù)值穩(wěn)定性、而算法1則是

數(shù)值不穩(wěn)定的。顯然，只有選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法，才

能求得較準(zhǔn)確的結(jié)果?！?絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字2.1絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差設(shè)x*為準(zhǔn)確值的近似值，記

一般情況下，準(zhǔn)確值是不知道的，從而也不能算出絕對(duì)誤差e的準(zhǔn)確值，但往往可以根據(jù)測量工具或計(jì)算的情況估計(jì)出e的取值范圍，即估計(jì)出絕對(duì)誤差的一個(gè)上界ε:

這樣的ε稱為x*的絕對(duì)誤差限或誤差限。顯然，誤差限不是唯一的。

誤差限的意義容易看出，經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)，其誤差必定不超過被保留的最后數(shù)位上的半個(gè)單位，即最后數(shù)位上的半個(gè)單位為其誤差限。例如若取π的近似值為3.14，則：有誤差限及近似值，就可以得到準(zhǔn)確值x的范圍：

即準(zhǔn)確值必定在區(qū)間[x*－ε,x*+ε]內(nèi)，也常記作：x=x*±ε

因此，要刻劃近似值的精確程度，不僅要看絕對(duì)誤差的大小，還必須考慮所測量值本身的大小，這就是相對(duì)誤差er。

誤差限的大小不能完全反映近似值的準(zhǔn)確程度。例如測量百米跑道長時(shí)，誤差不超過10厘米，而測量黑板長時(shí)得其長度為3米，誤差不超過1厘米。就誤差限而言，前者為后者的10倍，但由于前者誤差只占所量長度的千分之一，而后者誤差則占所量長度的三百分之一，顯然測量百米跑通的結(jié)果更為精確。相對(duì)誤差由于準(zhǔn)確值x未知，故一般取相對(duì)誤差為:相對(duì)誤差（續(xù)）

可以證明，當(dāng)|er|很小時(shí)，是er的高階無窮小，可以忽略不計(jì)。所以，取絕對(duì)誤差與近似值之比為相對(duì)誤差是合理的。

同樣，相對(duì)誤差也只能估計(jì)其上限，如果存在正數(shù)εr，使得：

則稱εr為x*的相對(duì)誤差限，顯然，可作為x*的一個(gè)相對(duì)誤差限，例如，由實(shí)驗(yàn)測得光速近似值為C*=2.997925×105公里/秒，其誤差限為0.1公里/秒，于是

所以4×10-7是C*的一個(gè)相對(duì)誤差限。2.2有效數(shù)字一個(gè)數(shù)能表示大小，如果這個(gè)數(shù)是一個(gè)近似值x*，當(dāng)然希望能指明它的精確程度，如8與8.000大小一樣，但若作為近似值，在引進(jìn)有效數(shù)字概念后，可知其精確程度不一樣。

通常要將某個(gè)位數(shù)很多的數(shù)表示成一定的位數(shù)，用四舍五入的方法，如π=3.14159265…..，可表為3.14，3.1416等，這種表示方法的特點(diǎn)是：近似數(shù)的誤差限為其最末一位的半個(gè)單位。即：

x1*=3.14為所有三位數(shù)中與π相差最小的數(shù)，不超過末位（第三位，百分位）的半個(gè)單位，即0.5×10-2;是所有五位數(shù)中與π相差最小的數(shù)，不超過末位（第五位）的半個(gè)單位即0.5×10-4。有效數(shù)字的定義

定義1

按定義x1*=3.14可稱為準(zhǔn)確到第三位或有三位有效數(shù)字，而x2*=3.1416稱為準(zhǔn)確到第五位，或有五位有效數(shù)字。如果近似值x*的誤差限是它的某一位的半個(gè)單位，就說x*“準(zhǔn)確”到這一位，并且從這一位直到前面第一個(gè)非零數(shù)字為止的所有數(shù)字均稱為有效數(shù)字。

也可以給出如下定義：

同樣，x*2=3.1416有五位有效數(shù)字，因?yàn)閤*2=3.1416=0.31416×101。而：x*1=3.14有三位有效數(shù)字，是因?yàn)閤*1=3.14=0.314×101，而：

按上述定義，有效數(shù)字的概念實(shí)際上是說：以x*近似x，如果x*從x依四舍五入規(guī)則得到，那么x*的每一位都是有效數(shù)字。因此，實(shí)際應(yīng)用時(shí)：有效數(shù)字定義的進(jìn)一步解釋1.若x已知，可根據(jù)四舍五入的原則得x*；若x未知，則需從近似值的誤差界來判斷x*的有效位數(shù)；4.有效數(shù)字越多，其絕對(duì)誤差也越小，相對(duì)誤差同樣也越??；并且：若x*有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為，若x*的相對(duì)誤差限為，則x*至少有n位有效數(shù)字；

5.0.0023與0.002300不同，前者最多為二位有效數(shù)字，而0.002300則可能具有四位有效數(shù)字。

3.記近似值x*=0.a1a2…an×10m，若要保留五位有效數(shù)字（這是以后常會(huì)用到的），即要求誤差限ε<0.5×10m-n,則n=5；有效數(shù)字舉例例4取π=3.141592653…的近似值分別為3.14，3.141，3.142，3.141592時(shí)，其有效數(shù)字位數(shù)分別為，而作為數(shù)0.0509966……的近似值，其值分別為0.051、0.0510、0.05100、0.0509、0.05099時(shí)，其有效數(shù)字位數(shù)分別為。有效數(shù)字舉例例4取π=3.141592653…的近似值分別為3.14，3.141，3.142，3.141592時(shí)，其有效數(shù)字位數(shù)分別為3、3、4、6，而作為數(shù)0.0509966……的近似值，其值分別為0.051、0.0510、0.05100、0.0509、0.05099時(shí)，其有效數(shù)字位數(shù)分別為2、3、4、2、3。例5例3（續(xù)）例3設(shè)=0.0270是某數(shù)經(jīng)“四舍五入”所得，求其有效數(shù)字.

解:設(shè)=0.0270是某數(shù)經(jīng)“四舍五入”所得，則誤差不超過末位的半個(gè)單位，即：又,故該不等式又可寫為由有效數(shù)字定義可知,有3位有效數(shù)字，分別是2,7，0。例4

=32.93,=32.89,求其有效數(shù)字.

解:

=32.93,=32.89,

故有3位有效數(shù)字，分別是3,2，8。由于中的數(shù)字9不是有效數(shù)字，故不是有效數(shù)。

例1.3為了使

的近似值的相對(duì)誤差0.1%，問至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？

§3基本運(yùn)算中的誤差估計(jì)

這里主要討論四則運(yùn)算和常用函數(shù)的計(jì)

算中數(shù)據(jù)誤差的傳播情況。

設(shè)原始數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn,，y與xi有關(guān)，是由xi計(jì)算所得的解。若x1，x2，…，xn,的近似值為x1*，x2*，…，xn,*，那么相應(yīng)的解也有一定的誤差，記為y*，此時(shí)解的絕對(duì)誤差為:基本運(yùn)算中的相對(duì)誤差相對(duì)誤差為:

我們可以利用這兩個(gè)公式來估計(jì)按函數(shù)f的計(jì)算誤差。給定f的具體形式，就可得到加減乘除及開方這幾種基本運(yùn)算中數(shù)據(jù)誤差與計(jì)算結(jié)果誤差間的關(guān)系：緊接下屏具體誤差估計(jì)如：對(duì)加法：

類似地有：

對(duì)乘法：

對(duì)除法：

對(duì)開方：

因此，有更細(xì)的估計(jì)總結(jié)分析如下：更細(xì)的誤差估計(jì)分析11）對(duì)加法：

即：和的絕對(duì)誤差（或相對(duì)誤差）不超過相加各項(xiàng)的絕對(duì)誤差（或相對(duì)誤差）之和。

而x1+x2≈0表示，大小相近的x1，x2異號(hào)相加，大小相近的x1，x2同號(hào)相減，此時(shí)|er(x1+x2)|很大，x1+x2的有效數(shù)字會(huì)減少。應(yīng)該避免上述情況出現(xiàn)。2）對(duì)乘法：

當(dāng)x1或x2的絕對(duì)值很大時(shí)|e(x1?x2)|可能很大；

3）對(duì)除法：除數(shù)x2接近于零時(shí)，|e(x1/x2)|可能很大；4）對(duì)開方：通常會(huì)縮小相對(duì)誤差，提高精度；

5）對(duì)乘方：

這表明