理論力學第八章

第八章動量定理(Momentumtheorem)返回總目錄TheoreticalMechanics第二篇動力學制作與設計山東大學工程力學系

TheoreticalMechanics§8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量(Momentumofparticleandaparticlesystem)返回首頁第八章動量定理TheoreticalMechanics

8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量8.1.1質(zhì)點的動量質(zhì)點的動量是用來度量質(zhì)點機械運動的一個物理量。質(zhì)點的動量等于其質(zhì)量與速度的乘積，即

動量是矢量，動量的方向與速度方向相同。在國際單位制中，動量的單位為kg·m/s。動量的量綱是返回首頁TheoreticalMechanics

8.1.2質(zhì)點系的動量返回首頁質(zhì)點系的動量：質(zhì)點系中各質(zhì)點動量的矢量和。簡稱質(zhì)點系的動量

由運動學關系將質(zhì)心坐標公式

代入上式得

質(zhì)系的動量等于質(zhì)系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積，方向與質(zhì)心速度方向相同。8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量TheoreticalMechanics

圖示三種情形剛體的動量的計算：c)繞中心轉(zhuǎn)動的均質(zhì)輪，其動量為零。8.1.2質(zhì)點系的動量返回首頁b)a)c)a)方向與質(zhì)心速度方向相同均質(zhì)滾輪b)8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量TheoreticalMechanics

如果質(zhì)點系是由多個剛體組成，則質(zhì)點系動量為

mi、vCi分別為第

i個剛體的質(zhì)量和它的質(zhì)心的速度。8.1.2質(zhì)點系的動量返回首頁8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量TheoreticalMechanics

返回首頁8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量解：設桿OA、BC、滾子B及滑塊C的質(zhì)心速度分別為vD、vA

、vB、vC

，方向如圖所示，大小分別為vBvAvCvD例如圖所示，桿OA以勻角速繞O軸轉(zhuǎn)動，通過桿BC帶動滾子B沿水平面作純滾動，同時帶動滑塊C在鉛直軌道內(nèi)運動。桿OA、BC、滾子B及滑塊C質(zhì)量分別為m、2m、2m、2m，OA=AB=AC=r。試求此系統(tǒng)在如圖所示瞬時的動量

p。TheoreticalMechanics

返回首頁8.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量建立如圖所示坐標系，可得故p與x、y軸正向之間的夾角分別為vBvAvCvD

TheoreticalMechanics§8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理(Momentumtheoremofaparticleandaparticlesystem)返回首頁第八章動量定理TheoreticalMechanics

山東大學8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理8.2.1質(zhì)點的動量定理(Aparticle)8.2.2質(zhì)點系的動量定理(Aparticlesystem)

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力(Dynamicpressure)

8.2.4動量守恒(Momentumconservation)

返回首頁TheoreticalMechanics

8.2.1質(zhì)點的動量定理返回首頁設質(zhì)量為m的質(zhì)點在力F的作用下運動，速度為v：由牛頓第二定律：質(zhì)量是常量時，有：質(zhì)點動量定理的微分形式：質(zhì)點的動量對時間的一階導數(shù)等于作用在質(zhì)點上的力。

質(zhì)點動量定理的積分形式：質(zhì)點在t1至t2時間內(nèi)動量的改變量等于作用于質(zhì)點的合力在同一時間內(nèi)的沖量。乘以dt積分8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.2質(zhì)點系的動量定理返回首頁作用于該質(zhì)點上的力有外力和內(nèi)力。將n個方程相加，得P=質(zhì)點系的動量質(zhì)點系動量定理的微分形式：質(zhì)點系動量對時間的一階導數(shù)，等于作用于該質(zhì)點系上所有外力的矢量和。根據(jù)動量定理的微分形式，有取質(zhì)點系任一質(zhì)量為mi的質(zhì)點，速度為vi：8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

投影x、y、z

在瞬時t1至t2這段時間內(nèi)積分，得質(zhì)點系動量定理的積分形式：質(zhì)點系在t1至t2時間內(nèi)的動量的改變量等于作用于該質(zhì)點系的所有外力在同一時間內(nèi)的沖量的矢量和，即投影x、y、z

8.2.2質(zhì)點系的動量定理返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒如果外力系的主矢量為零，即如果外力系的主矢量在某一坐標軸上的投影為零，即質(zhì)點系動量守恒p=常矢量

=常量

質(zhì)點系動量守恒返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力以定常流動流體動約束力的確定為例，說明質(zhì)點系動量定理在流體動力學中的應用。一般流體流動的性質(zhì)是十分復雜的，在此只討論不可壓縮的理想流體，而且流動是定常的，即流體各質(zhì)點流經(jīng)空間同一固定點的速度不隨時間改變。返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

圖示管道中充滿不可壓縮定常流動的流體。管道壁和進出口截面形成一邊界面，稱為控制面，取控制面ABCD內(nèi)的流體為研究對象。設進出口截面面積分別為A1和A2，流體速度分別為v1和v2，流體密度為是常量，體積流量qv也為常量。根據(jù)連續(xù)流條件在瞬時t，所研究流體的動量為pABCD。經(jīng)過△

t

時間，流體運動到了abcd位置，其動量為pabcd。在△

t時間間隔內(nèi)質(zhì)點系動量的增量為dp

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

等號兩邊同時除以dt

研究流體所受到的外力有：流體的重力W，管壁的反力FN，以及進口截面AB、出口截面CD上的流體壓力F1、F2（這些力都是分布力的合力）。8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

由動量定理得它表明：在穩(wěn)定流動中，管內(nèi)液體在單位時間流出的動量與流入的動量之差，等于作用在管內(nèi)液體上的體積力與表面力的矢量和（主矢），這就是關于液體流動的歐拉公式。

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

得到附加動約束力FN的表達式若將管壁對于液體的約束力FN分為兩部分。為液體動量不改變時，管壁對液體的靜約束力；

為對應于動量變化而產(chǎn)生的附加動約束力。則有流量、進出口截面處的速度矢量差越大，附加動約束力越大。因此，設計大流量或高速流動管道時，應考慮附加動約束力的影響。8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

例題例一水柱以速度v沿水平方向射入一光滑葉片。設水柱的射入速度與葉片相切，水柱的截面積為A，密度為，水柱離開葉片時的傾角為，不計水柱的重量。若葉片固定不動，求葉片對水柱的附加動約束力主矢的分量Fx和Fy。

解：選擇葉片上的水柱為研究對象。因AB、CD兩處截面積A和密度均相等，所以v1＝v2＝v，葉片僅改變水流速的方向。

返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

例題向x軸投影向y軸投影返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

幾點討論：質(zhì)系動量的變化只決定于外力的主矢量。內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動量，只能使系統(tǒng)中各質(zhì)點間彼此進行動量交換。只有作用于質(zhì)點系上的外力才能改變質(zhì)點系的動量。動量守恒方程中所用的速度必須是絕對速度。要確定一個正方向，必須按動量投影的正負去計算。在動力學問題中，動量守恒定律常用來求速度。8.2.4動量守恒返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理例8.3如圖所示，物塊A可沿光滑水平面自由滑動，其質(zhì)量為，小球B的質(zhì)量為，以細桿與物塊鉸接。設桿長為l，質(zhì)量不計，初始時系統(tǒng)靜止，并有初始擺角；釋放后，細桿近似以規(guī)律擺動（k為已知常數(shù)）。求物塊A的最大速度。解：取物塊與小球為研究對象。重力及水平面的約束反力均為鉛直方向。此系統(tǒng)水平方向不受外力作用，則沿水平方向動量守恒TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理細桿的角速度為，當時，其絕對值最大，此時應有coskt

=

0，即。由此，當細桿鉛直時小球相對于物塊有最大的水平速度，其值為當此速度向左時，物塊應有向右的絕對速度，設為v，而小球向左的絕對速度值為。根據(jù)動量守恒定律，有 TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理物塊的速度為當時，也有時小球相對于物塊有向右的最大速度，可求得物塊有向左的最大速度TheoreticalMechanics

例真空中斜向拋出一物體，在最高點時，物體炸裂成兩塊，一塊恰好沿原軌道返回拋射點O，另一塊落地點的水平距離OB則是未炸裂時應有水平距離OB0的兩倍，求物體炸裂后兩塊質(zhì)量之比。例題返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理解：設炸裂后兩物塊的質(zhì)量分別為m1與m2，炸裂前共同速度為v，炸裂后的速度分別為v1與v2。TheoreticalMechanics

由于，所以系統(tǒng)在x方向動量守恒。例題設下落的水平距離返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理TheoreticalMechanics

由于炸裂前后，水平方向的運動為勻速運動，水平方向運動的距離正比于水平速度，即同理所以解得例題返回首頁8.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理

TheoreticalMechanics§8.3質(zhì)心運動定理返回首頁第八章動量定理TheoreticalMechanics

8.3質(zhì)心運動定理返回首頁將質(zhì)點系的動量p=MvC代入動量定理的表達式質(zhì)心運動定理：質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點系的外力的矢量和。質(zhì)心運動定理描述的是質(zhì)點系隨同質(zhì)心的平行移動。TheoreticalMechanics

（1）質(zhì)系質(zhì)心的運動，可以視為一質(zhì)點的運動，如將質(zhì)系的質(zhì)量集中在質(zhì)心上，同時將作用在質(zhì)系上所有外力都平移到質(zhì)心上，則質(zhì)心運動的加速度與所受外力的關系符合牛頓第二定律。幾點討論如在定向爆破中，爆破時質(zhì)系中各質(zhì)點的運動軌跡不同，但質(zhì)心的運動軌跡近似一拋物線，由此可初步估計出大部分物塊堆落的地方。返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

返回首頁定向爆破8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(1)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(2)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(3)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(4)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

杭州鐵資大廈爆破成功返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴重傾斜但未倒(1)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴重傾斜但未倒(2)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴重傾斜但未倒(3)返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

宜賓一樓定向爆破不成炸樓炸成“比薩斜塔”返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

你知道爆破飛石散落的地點是根據(jù)什么計算出來的嗎？安放炸藥的位置如何確定？

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（2）質(zhì)系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動，只有外力才能改變質(zhì)心的運動。返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發(fā)動機內(nèi)氣體的爆炸力，對汽車來說是內(nèi)力。返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

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（3）應用時取其投影式返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

（4）剛體系統(tǒng)質(zhì)心運動定理矢量形式在直角坐標上投影形式是作用于整個剛體系上外力的主矢量返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

質(zhì)心運動守恒定理返回首頁8.3質(zhì)心運動定理TheoreticalMechanics

返回首頁8.3質(zhì)心運動定理例如圖所示，電動機的外殼固定在水平基礎上，定子重，轉(zhuǎn)子重。轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1，但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。已知轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動，角速度為。求基礎的支座反力。解：取電動機外殼與轉(zhuǎn)子組成質(zhì)點系。這樣可不考慮轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的內(nèi)力；外有定子