空間向量解決立體幾何問題的六大題型

空間向量解決立體幾何問題的六大題型 知識要點1、點到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.3、用向量運算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則①②.4、用向量運算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）5、用向量運算求平面與平面的夾角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負），則；題型一：利用空間向量求點線距典型例題例題1．（2022·江蘇徐州·高二期末）已知直線過點，且方向向量為，則點到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B解：點，直線過點，且一個方向向量為，，所以直線的一個單位方向向量，點到直線的距離為．故選：．例題2．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）點是直線上一點，是直線的一個方向向量，則點到直線的距離是______．【答案】由題意，點和，可得，且，所以點到直線的距離是.故答案為：.例題3．（2022·江西南昌·高二期中（理））如圖，在棱長為4的正方體中，為的中點，點在線段上，點到直線的距離的最小值為_______.【答案】##在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，因點P在線段上，則，，，向量在向量上投影長為，而，則點Р到直線的距離，當且僅當時取“=”，所以點Р到直線的距離的最小值為.故答案為：同類題型歸類練1．（2022·河北滄州·高二期末）在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．6【答案】C由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.2．（2022·天津·靜海一中高二期末）已知點P(5，3，6)，直線l過點A(2，3，1)，且一個方向向量為，則點P到直線l的距離為(

)A． B． C． D．【答案】B由題意，，，，，，到直線的距離為.故選：B.3．（2022·福建省同安第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，，則點C到直線AB的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】D因為，，所以．設(shè)點C到直線AB的距離為d，則故選：D4．（2022·山東濱州·高二期末）已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D．題型二：利用空間向量求點面距典型例題例題1．（2022·江蘇省揚州市教育局高二期末）已知是平面的一個法向量，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為_________.【答案】##由題可得，又是平面的一個法向量，∴則點P到平面的距離為.故答案為：.例題2．（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知平面的法向量為，點在平面內(nèi)，若點到平面的距離為，則________.【答案】-1或-11##-11或-1由題意，由空間中點到面距離的向量公式，即，解得或－11.故答案為：-1或-11同類題型歸類練1．（2022·河南·濮陽一高高二期中（理））如圖，在棱長為1的正方體中，若E，F(xiàn)分別是上底棱的中點，則點A到平面的距離為______．【答案】1以為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)平面的法向量，則有，令得：，故，其中，則點A到平面的距離為故答案為：12．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為棱、的中點，G為棱上的一點，且，則點G到平面的距離為______．【答案】解法一：以為原點，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖：則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，∴點G到平面的距離為：．解法二：∵，∴平面，點G到平面的距離等于點到平面的距離，易證平面平面，在中，設(shè)點到的距離為d，則，∴，∴．故答案為：3．（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二期末）在棱長為1的正方體中，E為的中點，則點A到平面的距離為___________.【答案】以D點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），，，所以，，.設(shè)平面的一個法向量為，則即,令，得，.所以.所以點A到平面的距離為.故答案為：.4．（2022·全國·高二期末）如圖，已知長方體中，，，則點到平面的距離為__________．【答案】以為坐標原點的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為,則,，即，所以，可取.又，點到平面的距離為，即點到平面的距離為.故答案為：.題型三：轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）在棱長為的正方體中，、分別是、的中點，求平面與平面之間的距離．【答案】解：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，，，則，因為、不在同一條直線上，則，平面，平面，則平面，同理可證平面，，故平面平面，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，又因為，因此，平面與平面之間的距離為.例題2．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）在正方體中，，，，分別為，，，的中點，棱長為4，求平面與平面之間的距離．【答案】．以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，又，，所以平面MNA與平面EFBD之間的距離．同類題型歸類練1．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為a，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D由正方體的性質(zhì)，∥,∥，，，易得平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面的距離．以D為坐標原點，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，．連接，由，，且，可知平面，得平面的一個法向量為，則兩平面間的距離．故選：D2．（2022·全國·高二）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．【答案】B建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，則，即，解得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）兩平行平面，分別經(jīng)過坐標原點和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是A． B． C． D．【答案】B兩平行平面，分別經(jīng)過坐標原點和點，，且兩平面的一個法向量兩平面間的距離，故選B.4．（2022·山東·濟南外國語學(xué)校高二期中）在棱長為的正方體中，平面與平面間的距離是________.【答案】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，因為，平面與平面不重合，故平面平面，，所以，平面與平面間的距離為.故答案為：.題型四：利用向量方法求兩異面直線所成角典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A．B．C． D．【答案】D解法一：設(shè)E為BC的中點，連接FE，如圖，∵E是BC的中點，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為，解法二：以A為坐標原點，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，易知，，，所以，，則，∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為.故選：D例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長度為2，且．(1)求的長；(2)直線與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)(1)由題意，，，，．(2)，，，所以，所以直線與所成角的余弦值為．例題3．（2022·江蘇鹽城·高一期末）在四棱錐中，已知底面是菱形，，，，若點為菱形的內(nèi)切圓上一點，則異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是___________.【答案】設(shè)，連接，四邊形為菱形，為中點，，，，，又，平面，平面；又，則以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，四邊形為菱形，為四邊形各內(nèi)角的平分線，即為四邊形的內(nèi)切圓圓心，四邊形內(nèi)切圓的半徑；，，；，，，設(shè)，，，，（其中），，，即異面直線與所成角的余弦值的取值范圍為.故答案為：.同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B以點P為坐標原點，以，，方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，，，則，，設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.故選：B.2．（2022·河南安陽·高二階段練習(xí)（理））在正三棱柱中，，點、分別為棱、的中點，則和所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A取的中點，連接，設(shè)，因為是邊長為的等邊三角形，則，因為平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，，因此，和所成角的余弦值為.故選：A.3．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）在空間直角坐標系O-xyz中，向量分別為異面直線方向向量，則異面直線所成角的余弦值為___________.【答案】因為，所以.因為異面直線所成角的范圍為，所以異面直線所成角的余弦值為.故答案為：4．（2022·湖南岳陽·高二期末）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让娣謩e為的中點，；(1)求證：直線面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(1)證明：取的中點P，連因為分別為的中點，所以且，又在直三棱柱中，且，所以且.所以四邊形為平行四邊形，所以因為平面平面，所以直線平面；(2)解在直三棱柱中平面，所以，又側(cè)面?zhèn)让?，平面平面，所以平面，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則由題意可知，所以；所以．所以異面直線MC1與BN所成角的余弦值為．5．（2022·浙江·效實中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，面，，點為線段中點(1)求證：面；(2)求異面直線與所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)(1)證明：由面建立如圖所示的直角坐標系，以A點為坐標原點，分別以，垂直于AD以及為方向建立軸，如圖所示:由底面是等腰梯形以及可知：，，，又由點為線段中點，可知，，設(shè)為平面的法向量，故可知：，解得令，可知平面的法向量一個法向量為：根據(jù)線面平行的向量法判斷法則可知面(2)解：由題意得：由（1）分析可知，可知向量互相垂直，故異面直線與所成角的大小為題型五：利用向量方法求直線與平面所成角典型例題例題1．（2022·福建龍巖·高二期中）如圖，正三棱柱的所有棱長都相等，，，分別為，，的中點，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A設(shè)正三棱柱的棱長為2，取的中點，連接，，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，故為平面的一個法向量，EF與平面所成角為，則EF與平面所成角的正弦值為，故選：A．例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形為正方形，且，為的重心，設(shè)與平面所成角的正弦值為_______．【答案】如圖，以D為坐標原點，DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,故,設(shè)平面PAC的一個法向量為，則，取，可得，故設(shè)PG與平面PAC所成角為，則,故答案為：例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，，，，平面平面.為線段上一動點，當______時，直線與平面所成角的正弦值為.【答案】1解：以為坐標原點，分別為，，軸建立空間直角坐標系．所以，所以．設(shè)平面的法向量，所以所以，所以平面的一個法向量，設(shè)，所以，所以，解得或（舍，所以．因為，所以故答案為：1同類題型歸類練1．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））平行六面體中，，則與底面所成的線面角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A解：如圖所示，連接，相交于點，連接．平行六面體中，且，不妨令，，都是等邊三角形．是等邊三角形．，，，平面平面，平面，平面平面，是與底面所成角．因為，，所以．如圖建立空間直角坐標系，則，，，，其中的坐標計算如下，過作交于點，因為，，所以，所以，，因為所以，所以，顯然平面的法向量為，設(shè)與底面所成的角為，則故選：A2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，AA1，A1C1的中點，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為()A． B．C． D．【答案】A解：設(shè)正三棱柱的棱長為2，取的中點，連接，，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，0，，，，0，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，故為平面的一個法向量，所以，所以與平面所成角的正弦值為．故選：A．3．（2022·上海中學(xué)高一期末）在正方體中，棱與平面所成角的余弦值為__________．【答案】以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則設(shè)正方體的邊長為1，，則，設(shè)平面，，則，所以，棱與平面所成角為，所以，則.故答案為：.4．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（理））一個正方體的平面展開圖如圖所示.在該正方體中，以下命題正確的是___________.（填序號）①；②平面；③與是異面直線且夾角為；④與平面所成的角為；⑤二面角的大小為.【答案】①②③⑤解：由正方體的平面展開圖可得正方體（其中與重合），如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為，則，，，，，，，，，所以，，所以，所以，故①正確；，，所以，，即，，，平面，所以平面，即②正確；，顯然與是異面直線，設(shè)與所成角為，則，因為，所以，故③正確；，平面的法向量可以為，設(shè)與平面所成的角為，所以，故④錯誤；，，設(shè)平面的法向量為，則，令，所以，設(shè)二面角為，顯然二面角為銳二面角，則，所以，故⑤正確；故答案為：①②③⑤5．（2022·浙江·高三期末）如圖，已知菱形，，沿直線將翻折成，分別為的中點，與平面所成角的正弦值為，為線段上一點（含端點），則與平面所成角的正弦值的最大值為___________.【答案】解：設(shè)頂點在平面內(nèi)的射影為點，因為與平面所成角的正弦值為，，所以，因為，所以，又因為，所以，如圖1，在平面中，為等邊三角形，≌，所以平分，即，所以在中，，解得，（舍），所以點為的中心，故三棱錐是棱長為的正四面體，故如圖2，以中點為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標則，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，因為，設(shè)與平面所成角為，所以，令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，與平面所成角的正弦值最大，最大值為故答案為：題型六：利用向量方法求兩個平面的夾角典型例題例題1．（2022·四川省綿陽普明中學(xué)高二階段練習(xí)（文））二面角的棱上有、兩點，直線、分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，，則該二面角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C由條件，知．，，即，所以二面角的大小為故選：C．例題2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點，底面，，，，若平面平面，則二面角的正弦值是_________.【答案】##設(shè)，則平面平面，由重心的性質(zhì)可得，因為底面，，設(shè)，，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，，，設(shè)平面，的法向量為，則，，所以，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為，正弦值為.故答案為：例題3．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面中，，側(cè)面平面，且，點在棱上，且．則二面角的余弦值為____________【答案】．如圖，取的中點，連接，．由條件可知，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，因為，所以．所以，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則．設(shè)平面的法向量為，則即令，則=，，結(jié)合圖象可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．故答案為：同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在一個二面角的兩個半平面上，與二面角的棱垂直的兩個向量分別為、，則這個二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．或【答案】D解：在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為，，，，2，，則這兩個