第三章矩陣的初等變換與線性方程組

第三章矩陣的初等變換

與

線性方程組

課件下載郵箱：E-mail：zhuxianghexdf@密碼：xdf123456機遇總是垂青于有準備的頭腦。機遇總是垂青于有準備的頭腦。尼科爾·貝弗里奇尼科爾·貝弗里奇§1矩陣的初等變換一、初等變換的概念二、矩陣之間的等價關(guān)系三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系四、初等變換的應(yīng)用定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對調(diào)兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換初等行變換初等列變換行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.行最簡形矩陣：非零行的第一個非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.行最簡形矩陣：非零行的第一個非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.標準形矩陣：左上角是一個單位矩陣，其它元素全為零.行階梯形矩陣標準形矩陣由m、n、r三個參數(shù)完全確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行最簡形矩陣標準形矩陣三者之間的包含關(guān)系任何矩陣行最簡形矩陣行階梯形矩陣標準形矩陣有限次初等行變換有限次初等列變換有限次初等變換結(jié)論有限次初等行變換有限次初等行變換有限次初等列變換行等價，記作列等價，記作二、矩陣之間的等價關(guān)系有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價，記作矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性；對稱性若，則；傳遞性若，則．定義：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.對調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣的某一

行（列）；(3)以

k

乘單位陣單位陣的某一

行（列）加到另一

行（列）

．三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系(1)對調(diào)單位陣的第

i,j行（列），記作

E5(3,5)記作

Em(i,j)．(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣第

i行（列），記作

E5(3(5))記作

Em(i(k))．(3)以

k

乘單位陣第

j行加到第

i行,記作

E5(35(k))記作

Em(ij(k))．

以

k

乘單位陣第

i列加到第

j列．?兩種理解！結(jié)論把矩陣A的第i行與第j行對調(diào)，即.把矩陣A的第i列與第j列對調(diào)，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i行，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i列，即.把矩陣A第j行的k倍加到第i行，即.把矩陣A第i列的k倍加到第j列，即.性質(zhì)1

設(shè)A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.口訣：左行右列.初等變換初等變換的逆變換初等矩陣?因為“對于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．因為“對于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．?因為“對于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．?初等變換初等變換的逆變換初等矩陣初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?性質(zhì)2

方陣A可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣P1,P2,…,Pl，使A=P1

P2…,Pl

．這表明，可逆矩陣的標準形矩陣是單位陣.其實，可逆矩陣的行最簡形矩陣也是單位陣．推論1

方陣

A可逆的充要條件是.推論2

方陣

A與B等價的充要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使PAQ=B

.四、初等變換的應(yīng)用

解例１即初等行變換例２解列變換行變換§2矩陣的秩一、矩陣的秩的概念定義：在m×n矩陣A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，m×n矩陣A的k

階子式共有個．概念辨析：

k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式與元素a12相對應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣A

的一個2階子塊矩陣A的一個2階子式定義：設(shè)矩陣A中有一個不等于零的r階子式D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．矩陣A的一個3階子式矩陣A的2階子式如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個3階子式也等于零．定義：設(shè)矩陣A中有一個不等于零的r階子式D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)．根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣A中任何一個r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來表示．如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零．事實上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零．

因此矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．顯然，若矩陣A

中有某個s

階子式不等于零，則R(A)≥s； 若矩陣A

中所有t

階子式等于零，則R(A)<t

．若

A為n階矩陣，則A的n

階子式只有一個，即|A|． 當|A|≠0時，R(A)=n;

可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣． 當|A|=0時，R(A)<n;

不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣．若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．二、矩陣的秩的計算例：求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3階子式共有(個)，要從40個子式中找出一個非零子式是比較麻煩的．定理：若A~B，則R(A)=R(B)

．應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩．例：求矩陣的秩，并求A

的一個最高階非零子式．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3．第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個非零元所在的列

，與之對應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列．R(A0)=3，計算A0的前3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個最高階非零子式．分析：對B

作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設(shè)B

的行階梯形矩陣為，則就是A

的行階梯形矩陣，因此可從中同時看出R(A)及R(B)．例：設(shè)，求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=3矩陣的秩的性質(zhì)若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．

R(AT)=R(A)．若A~B，則R(A)=R(B)

．若P、Q

可逆，則R(PAQ)=R(B)

．

max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)

． 特別地，當B=b

為非零列向量時，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1

．

R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×nBn×l

=O，則R(A)＋R(B)≤n．例：設(shè)A為

n階矩陣，證明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．例：若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)．附注：當一個矩陣的秩等于它的列數(shù)時，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣．特別地，當一個矩陣為方陣時，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣．本題中，當C=O，這時結(jié)論為： 設(shè)AB=O，若A為列滿秩矩陣，則

B=O

．例：設(shè)A為

n階矩陣，證明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．證明：因為

(A＋E)＋

(E－A)=2E，由性質(zhì)“R(A＋B)≤R(A)＋R(B)”有R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)

=n

．又因為R(E－A)=R(A－E)，所以R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．例：若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)．解：因為

R(A)=n，

所以A

的行最簡形矩陣為，設(shè)m

階可逆矩陣P

，滿足．于是因為R(C)=R(PC)，而，故R(B)=R(C)．分析：若R(A)=n，則A

的行最簡形矩陣應(yīng)該有n

個非零行；每個非零行的第一個非零元為1；每個非零元所在的列的其它元素都為零．于是A

的行最簡形中應(yīng)該包含以下n

個列向量：又因為A

是m×n矩陣，所以A

的行最簡形矩陣為．前n

行后m-n

行例：若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)．返回例：若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)．附注：當一個矩陣的秩等于它的列數(shù)時，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣．特別地，當一個矩陣為方陣時，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣． 因此，本例的結(jié)論當A為為方陣時，就是性質(zhì)④．本題中，當C=O，這時結(jié)論為： 設(shè)AB=O，若A為列滿秩矩陣，則

B=O

．§3線性方程組的解一、線性方程組的表達式一般形式向量方程的形式方程組可簡化為AX=b．增廣矩陣的形式向量組線性組合的形式二、線性方程組的解的判定設(shè)有n個未知數(shù)m個方程的線性方程組定義：線性方程組如果有解，就稱它是相容的；如果無解，就稱它是不相容的．問題1：方程組是否有解？問題2：若方程組有解，則解是否唯一？問題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？

m、n

不一定相等！定理：n

元線性方程組Ax=b無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n．分析：只需證明條件的充分性，即R(A)<R(A,b)無解；R(A)=R(A,b)=n唯一解；R(A)=R(A,b)<n無窮多解．那么無解R(A)<R(A,b)；唯一解R(A)=R(A,b)=n

；無窮多解R(A)=R(A,b)<n．例：求解非齊次線性方程組解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原線性方程組有無窮多解．備注：有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=r<n，這時

還能根據(jù)R(A)=R(A,b)=r<n判斷該線性方程組有無限多解嗎？解（續(xù)）：即得與原方程組同解的方程組令x3

做自由變量，則方程組的通解可表示為．例：求解非齊次線性方程組解：R(A)=2，R(A,b)=3，故原線性方程組無解．例：求解齊次線性方程組提問：為什么只對系數(shù)矩陣A進行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚕看穑阂驗辇R次線性方程組AX=0的常數(shù)項都等于零，于是必有R(A,0)=

R(A)，所以可從R(A)判斷齊次線性方程組的解的情況．例：設(shè)有線性方程組問l

取何值時，此方程組有(1)唯一解；(2)無解；(3)有無限多個解？并在有無限多解時求其通解．定理：n

元線性方程組AX=b無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n．解法1：對增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣．附注：對含參數(shù)的矩陣作初等變換時，由于l+1，l+3等因式可能等于零，故不宜進行下列的變換：如果作了這樣的變換，則需對l+1=0（或l+3=0）的情況另作討論．分析：討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù)l

取何值時，r2、r3

是非零行．在r2、r3

中，有5處地方出現(xiàn)了l

，要使這5個元素等于零，l=0，3，－3，1．實際上沒有必要對這4個可能取值逐一進行討論，先從方程組有唯一解