【數(shù)學(xué)】上海交大附中2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末考試試題(解析版)

2023年最新整理——考試真題資料2023年最新整理——考試真題資料2023年最新整理——考試真題資料上海交大附中2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題1．函數(shù)T＝．一、填空題（第1-6題每題4分，第7-121．函數(shù)T＝．3．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|＞0}3．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|＞0}A∩B＝．5．設(shè)函數(shù)f﹣1（10）＝．4．方程lg（2x+1）5．設(shè)函數(shù)f﹣1（10）＝．6．若集合A＝{x|3cos2πx＝3x，x∈R}，B＝{y|y2＝1，y∈R}，則A∩B＝．y＝xαα上它們的圖象是一族美麗的曲線（圖．設(shè)點(diǎn)（100，連接，線段B恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)＝＝βBM＝MN＝NAαβ＝．9．已知函數(shù)f（x）＝asinx+cosx在上的最小值為﹣2，則實(shí)數(shù)a的值為．f＝ax﹣9．已知函數(shù)f（x）＝asinx+cosx在上的最小值為﹣2，則實(shí)數(shù)a的值為．10．給出四個(gè)命題：其中所有的正確命題的序號是α，使；③是偶函數(shù)；④是函數(shù)的一條對稱軸方程；①存在實(shí)數(shù)αα，使；③是偶函數(shù)；④是函數(shù)的一條對稱軸方程；⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ．某同學(xué)向王老師請教一題：若不等式x﹣4ex﹣alnx≥x+1對任意x∈（1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．王老師告訴該同學(xué)“≥1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)＝0時(shí)取等號，且）﹣4lx在1∞）有零點(diǎn)．根據(jù)王老師的提示，可求得該問題中a的取值范是 ．f（1）≤2，則+的取值范圍為．設(shè)二次函數(shù)（）2﹣+nnR，若函數(shù)）f（1）≤2，則+的取值范圍為．二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）一個(gè)扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的圓心角是（ ）弧度A．2 B．3 C．4 D．5對于函數(shù)（）a+b+（，∈，選取，c的一組值計(jì)算1）和（﹣，所得出的正確結(jié)果一定不可能是（ ）15．設(shè)函數(shù)f（x）＝ ，g（x）＝ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y＝f（x）的圖象與15．設(shè)函數(shù)f（x）＝ ，g（x）＝ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y＝f（x）的圖象與y＝1 1 2 2 1 圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)xyx1 1 2 2 1 1．設(shè)函數(shù)（）2x+，x∈R，對于實(shí)數(shù)a、b，給出以下命題：2 1 2 1 A．當(dāng)a＜1．設(shè)函數(shù)（）2x+，x∈R，對于實(shí)數(shù)a、b，給出以下命題：2 1 2 1

B．當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x＞0，y+y＜0D．當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x＞0，y+y＞02 1 12命題p：a+b≥0；p2 1 12命題q：f（a）+f（b）≥0．下列選項(xiàng)中正確的是（ ）1 2 A．p、p中僅1 2 1 C．p、p都不是1 1（15分）已知函數(shù)的定義域?yàn)榧螦1（15分）已知函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，集合＝，1，且B A．

B．p、p中僅p是q的充分條件1 1 2 1 1 2 a的取值范圍；y＝f（x）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)．115分20cmO為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料，、BD在圓周上．請你在下列兩個(gè)小題中選擇一題作答即可：＝，矩形D的面積為＝（，求（）的表達(dá)式，并寫出θ的范圍．②設(shè)＝，矩形D的面積為＝f（x，求f（x）的表達(dá)式，并寫出x的范圍．ABCD的面積最大？并求最大面積．1（15分）在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：，雙曲余弦函數(shù)：1（15分）在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：，雙曲余弦函數(shù)：（e＝2.71828．類比兩角和的正弦公式，寫出兩角和的雙曲正弦公式，并明；t∈[0，ln2]xsinh（t）+cosh（x）＝aa的取值范圍．（1）對于M[1，4]的值；（2）已知，且y＝f（x）偶函數(shù)，b﹣a的最大值；2（1）對于M[1，4]的值；（2）已知，且y＝f（x）偶函數(shù)，b﹣a的最大值；[0a] [a已知若有且僅有一個(gè)正數(shù)a使得M [0a] [a， ，范圍．2（16分）定義域?yàn)镽的函數(shù)＝（，對于給定的非空集合AA R，若對于A中的意元素a，都有（a）（）成立，則稱函數(shù)＝）是“集合A上的﹣函數(shù)．給定集合A＝﹣1，函數(shù)（）是“集合A上的Z﹣＝f（x）是周期函數(shù)；給定集合A＝，（x）＝ax+bx+c，若函數(shù)y＝g（x）是“集合A上的Z﹣ab、c所滿足的條件；給定集合A＝[1，函數(shù)＝（）是“集合A上的Z﹣＝）是＝（）【參考答案】一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．π函數(shù)y函數(shù)y＝ sin2x的最小正周期為T＝＝π，故答案為：π．2．0【解析】由奇函數(shù)定義有（﹣）＝，則（1）a2＝﹣1）＝﹣，解得．【解析】∵集合＝xx|＜2【解析】∵集合＝xx|＜2＝（，2，＝|＞0＝（+∞，∴A∩B＝（﹣1，2）＝{x|﹣1＜x＜2}，故答案為：{x|﹣1＜x＜2}.4．{2}∴，解得：x＝2．故答案為：{2}．（2）g＝（（2∴，解得：x＝2．故答案為：{2}．5．3【解析】令（）10，則1（1，當(dāng)＜0有2105，不合，t≥0t2+1＝10?t＝﹣3（舍去）t＝3，那么f﹣1（10）＝3，故答案為：3．6．{1}【解析】函數(shù)y＝3cos2πx與y＝3x的圖象如圖，所以A＝{x|3cos2πx＝3x，x∈R}＝{x1，x2，1}，B＝{y|y2＝1，y∈R}＝{﹣1，1}，所以A∩B＝{x1，x2，1}∩{﹣1，1}＝{1}．故答案為{1}．M＝M＝M，點(diǎn)（0B，，所以M，N，分別代入y＝xα，y＝xβ，，，故答案為：1.8．[2，+∞）f（x）＝ax+1﹣2（a＞0a≠1）中，x+1＝0x＝﹣1f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，即（）的圖象過定點(diǎn)（1，；由f（x）解得≥，所以a[+∞．[+∞．【解析】∵函數(shù)f（x【解析】∵函數(shù)f（x）＝asinx+cosx在上的最小值為﹣2，a＜0y＝asinxy＝cosx均在上單調(diào)遞減，∴f（x）＝asinx+cosxa＜0y＝asinxy＝cosx均在上單調(diào)遞減，∴f（x）＝asinx+cosx在上單調(diào)遞減，∴f（x）min＝f（）＝a＝﹣2，符合題意，故答案為：﹣2．10．③④對于②，由，得sin（α+）＝ ，矛盾；②錯(cuò)誤．對于③，＝sin（﹣2x）＝對于②，由，得sin（α+）＝ ，矛盾；②錯(cuò)誤．對于③，＝sin（﹣2x）＝cos2x，是偶函數(shù)；③正確．代入到+＝﹣1，是函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程．④正確．β＝60°，α＝390°，α＞βsinα＜sinβ．∴⑤不正確．故③④正確，故答案為：③④．4﹣4﹣a≥，即﹣alnx≥x+1，f（x）＝﹣a﹣﹣（＞，則h（x0）＝x0﹣4lnx0＝0x0＝則h（x0）＝x0﹣4lnx0＝0x0＝4lnx0，則＝，h′（x）＝1﹣ ＝，令h′（x）＞0，解得：x＞4，令h′（x）＜0，解得：1＜x＜4，故h（x）在（1，4）遞減，在（4，+∞）遞增，f（x0）＝﹣alnx﹣x﹣1＝0 0﹣alnx﹣4lnx﹣1f（x0）＝﹣alnx﹣x﹣1＝0 0﹣alnx﹣4lnx﹣1＝﹣（a+4）lnx≥0，00000∵lnx＞0，∴a+4≤0，故a≤﹣4，故a的取值范圍是（﹣∞，﹣4]，故答案為：（﹣∞，﹣4]．012．[1，13]【解析】二次函數(shù)（）x﹣+（，∈R，又f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝ ，則m+ ≤4，∴+＝+＝＝＝m2+﹣1，而由m+ 又f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝ ，則m+ ≤4，∴+＝+＝＝＝m2+﹣1，而由m+ ≤4，m＞0，得2≤m2+≤14，m2+﹣1[1，13]，即+的取值范圍是[1，13]，故答案為：[1，13]．二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）13．Arlrl，則，解得r＝1，l＝2，所以圓心角為 ＝2．14．D【解析】f（1）＝asin1+b+c①，f（﹣1）＝﹣asin1﹣b+c②，①+②得：f（1）+f（﹣1）＝2c，∵c∈Z，∴f（1）+f（﹣1）是偶數(shù)，故選：D．15．B【解析】當(dāng)a＜0時(shí)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝ 是奇函數(shù)，所以A與A′關(guān)于原點(diǎn)對稱，若y＝f（因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝ 是奇函數(shù)，所以A與A′關(guān)于原點(diǎn)對稱，2 1 1 2 1 2 1 顯然x＞﹣x＞0，即x+2 1 1 2 1 2 1 2 1 同理，當(dāng)a＞0時(shí)，有當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x＜0，y+y＞2 1 【解析】令（【解析】令（）+（）﹣x（）＝，g（x）是奇函數(shù)，在R（）是偶函數(shù)，在（﹣∞0）單調(diào)增，在0∞）單調(diào)減，且h）0，a+b）≥0 （）≥（b，即ga+ha）≥b）﹣（b，即g（a）+h（a）≥g（﹣b）+[﹣h（b）]，①當(dāng)+≥0時(shí)，≥b，故ga）g（b，又（）0，故a）＞（b，②當(dāng)a﹣b2≥0時(shí)，則有：a≥0，，，（i）②當(dāng)a﹣b2≥0時(shí)，則有：a≥0，，，（i）a≥1時(shí)，a≥，則≤，故ga）g（b；此時(shí)，h（a）＞0，﹣h（b）＜0，h（）＞（b，∴（a+（）0成立；（ii）當(dāng)a＝0時(shí)，b＝0，f（0）+f（0）＝6≥0成立，即f（a）+f（b）≥0成立；（iii）∵g（x）在R上單調(diào)遞增，h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞增，∴f（x）＝g（x）+h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝0，∴f（x）＞0在（﹣1，0）上恒成立；又∵x≥0時(shí)，g（x）≥0，h（x）＞0，0＜a＜1＜1，﹣1＜﹣，∴f（x）＞0在0＜a＜1＜1，﹣1＜﹣，∴f（a）＞0，f（b）＞0，∴f（a）+f（b）≥0成立．1（）由＞0得﹣1＜x＜1，∴函數(shù)的定義域＝（，1；綜上所述，a﹣b2≥01（）由＞0得﹣1＜x＜1，∴函數(shù)的定義域＝（，1；∴，解得﹣1≤a≤0，即a∈[﹣1，0]；（∴，解得﹣1≤a≤0，即a∈[﹣1，0]；（2）證明：∵f（x）+f（﹣x）＝lg+lg＝lg（?）＝lg1＝0，（﹣）＝（，（）（，∴函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)．18．解：如圖所示，BC＝20sinθ，OB＝20cosθ（0BC＝20sinθ，OB＝20cosθ（0＜θ＜；θ＝時(shí)，S400BC＝10；BC＝10ABCD400cm2θ＝時(shí)，S400BC＝10；BC＝10ABCD400cm2．OCBC＝xABCDSAB＝2（其中0＜2，∴S＝2x＝2≤x2+（400﹣x2）＝400，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝400﹣x∴S＝2x＝2≤x2+（400﹣x2）＝400，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝400﹣x2，即x＝10時(shí)，S400；BC＝10cmABCD400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC＝CABCD，此時(shí)截得的矩形ABCD的面積最大，最大值為400cm2．整理得（ex）2﹣4ex+1＝0，解得：x＝ln（2±．理由：左邊＝sinh（x+y）＝，右邊×+×＝理由：左邊＝sinh（x+y）＝，右邊×+×＝× +＝，（3）t∈[0，ln2]1≤et≤2a＝sinh（t）+cosh（3）t∈[0，ln2]1≤et≤2a＝sinh（t）+cosh（x）＝+，a﹣＝≥＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號，a≥+1有解，g（t）＝+1在[0，ln2]上為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝et，g（t）＝+1在[0，ln2]上為增函數(shù)，

＝（）＝，g g 0 故實(shí)數(shù)a[，∞．由，2（）對任意x1，2∈[，2，且＜2由，由，所以在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，4]上單調(diào)遞增；又，所以M[1，4] 5；＝由，所以在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，4]上單調(diào)遞增；又，所以M[1，4] 5；＝1 2 1 （2）由于y＝f（x）是偶函數(shù)，所以，則，解得a＝2；則，因?yàn)?，所以，故b﹣a的最大值為 ．3 M M 0 k 1 M（）①當(dāng)3 M M 0 k 1 M[0，a] [a，2a] [0，a] [a，2a][0a] 若 時(shí)，有M ＝sina，M ＝[0a] ， ，所以sina＝2ksinacosa，得 ；若 時(shí)，有若 時(shí)，有若 時(shí)有若 時(shí)，有因?yàn)?/p>

，此時(shí)a無解；，此時(shí)a有一解；，此時(shí)a無解；，所以sina＝k，若 時(shí)，此時(shí)a無解；若 時(shí)，此時(shí)a無解；若 時(shí)，此時(shí)a有一解；k M M 1 M②當(dāng)≥ k M M 1 M[0，a] [a，2a] [0，a] [a，2a]有 ，則 ，若1，則a2a]＝1得或等，若，則或，在上，a必有兩解．綜上所述：，即k的取值范圍是（ ，．2若1，則a2a]＝1得或等，若，則或，在上，a必有兩解．綜上所述：，即k的取值范圍是（ ，．對任意的R，（）（，∴（）（，∴函數(shù)y＝f（x）是周期函數(shù)．∴2ax+a+b≥0對任意的x∈R恒成立，∴，∴a＝0，b≥0，c∈R．解：由題意可知，對任意的g（）g∴2ax+a+b≥0對任意的x∈R恒成立，∴，∴a＝0，b≥0，c∈R．證明：若函數(shù)＝）是周期函數(shù)，設(shè)其周期為TT0，∵函數(shù)y＝h（x）是集合Ah的Z﹣函數(shù)，1 1 則存在a∈01N，使得a≤≤（1 1 1 1 ∴0≤T﹣ka≤a≤1，0≤（k+1）a﹣T≤1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 對任意的x∈R，h（x）≤h（x+a）≤?≤h（0 0 0 1 0 1