高中數(shù)學人教B版本冊總復習總復習 2023版第1章三角形中的幾何計算

第3課時三角形中的幾何計算1.掌握三角形的面積公式的應(yīng)用.(重點)2.掌握正、余弦定理與三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用.(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理三角形面積公式閱讀教材P10探索與研究～P11，完成下列問題.1.三角形的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsin_A＝eq\f(1,2)casin_B；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r為內(nèi)切圓半徑).2.三角形中常用的結(jié)論(1)∠A＋∠B＝π－∠C，eq\f(∠A＋∠B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(∠C,2)；(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然；(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；(4)三角形的誘導公式sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠C≠\f(π,2)))，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).1.下列說法中正確的是________(填序號).(1)已知三角形的三邊長為a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，則三角形的面積S＝(a＋b＋c)r；(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝eq\r(3)，則∠A＝60°；(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，∠C＝30°，則S△ABC的面積是6；(4)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，則∠A＝∠B【解析】(1)錯誤.因為一個三角形可以分割成三個分別以a，b，c為底，以內(nèi)切圓的半徑為高的三角形，所以三角形的面積為S＝eq\f(1,2)ar＋eq\f(1,2)br＋eq\f(1,2)cr＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.(2)錯誤.由三角形面積公式S＝eq\f(1,2)bcsinA得，eq\f(1,2)×2×2×sinA＝eq\r(3)，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，則∠A＝60°或∠A＝120°.(3)正確.因為三角形的面積S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×4×sin30°＝6.(4)錯誤.因為在△ABC中，若sin2A＝sin2B，則2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，即∠A＝∠B或∠A＝eq\f(π,2)－∠B.【答案】(3)2.在△ABC中，a＝6，∠B＝30°，∠C＝120°，則△ABC的面積為________【解析】由題知∠A＝180°－120°－30°＝30°.∴eq\f(6,sin30°)＝eq\f(b,sin30°)，∴b＝6，∴S＝eq\f(1,2)×6×6×sin120°＝9eq\r(3).【答案】9eq\r(3)3.在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15eq\r(3)，△ABC的外接圓半徑為eq\r(3)，則邊c的長為________.【解析】S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝15eq\r(3)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).由正弦定理eq\f(c,sinC)＝2R，∴c＝2R×sinC＝3.【答案】34.若△ABC的面積為eq\r(3)，BC＝2，∠C＝60°，則邊AB的長度等于________.【解析】在△ABC中，由面積公式得S＝eq\f(1,2)BC·AC·sinC＝eq\f(1,2)×2·AC·sin60°＝eq\f(\r(3),2)AC＝eq\r(3)，∴AC＝2.∵BC＝2，C＝60°，∴△ABC為等邊三角形.∴AB＝2.【答案】2[小組合作型]三角形面積的計算(1)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，∠B＝eq\f(π,6)，∠C＝eq\f(π,4)，則△ABC的面積為()\r(3)＋2 \r(3)＋1\r(3)－2 \r(3)－1(2)在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，則∠C＝________________.(3)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，則邊BC的長為________.【導學號：18082023】【精彩點撥】(1)利用正弦定理求邊c，然后利用三角形面積公式求解.(2)由三角形面積S＝eq\f(1,2)absinC與余弦定理cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)相結(jié)合求解.(3)由已知可先利用三角形面積公式S＝eq\f(1,2)bcsinA求出AC，然后利用余弦定理求BC.【自主解答】(1)由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)及已知條件得c＝2eq\r(2)，又sinA＝sin(B＋C)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).從而S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝eq\r(3)＋1.(2)由S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，即sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).∴sinC＝cosC，即tanC＝1，∴∠C＝eq\f(π,4).(3)由S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，得eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(\r(3),2)，即eq\f(1,2)×2AC×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，∴AC＝1.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝22＋12－2×2×1×eq\f(1,2)＝3.∴BC＝eq\r(3).【答案】(1)B(2)eq\f(π,4)(3)eq\r(3)1.由于三角形的面積公式有三種形式，實際使用時要結(jié)合題目的條件靈活運用.2.如果已知兩邊及其夾角可以直接求面積，否則先用正、余弦定理求出需要的邊或角，再套用公式計算.[再練一題]1.已知在△ABC中，cosA＝－eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(3,5)，BC＝5，求△ABC的面積.【解】由cosA＝－eq\f(5,13)，得sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(12,13).由cosB＝eq\f(3,5)，得sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4,5).所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(4,5)＝eq\f(36,65)－eq\f(20,65)＝eq\f(16,65).由正弦定理得AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(5×\f(4,5),\f(12,13))＝eq\f(13,3).所以△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)·BC·AC·sinC＝eq\f(1,2)×5×eq\f(13,3)×eq\f(16,65)＝eq\f(8,3).三角形的證明問題在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c.證明：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinA－B,sinC).【精彩點撥】由左往右證，可由邊化角展開；由右往左證，可由角化邊展開.【自主解答】法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，整理得：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(acosB－bcosA,c).依正弦定理有eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，∴eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinAcosB－sinBcosA,sinC)＝eq\f(sinA－B,sinC).法二：eq\f(sinA－B,sinC)＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(a·\f(a2＋c2－b2,2ac)－\f(b2＋c2－a2,2bc)·b,c)＝eq\f(2a2－b2,2c2)＝eq\f(a2－b2,c2).1.三角恒等式證明的三個基本原則(1)統(tǒng)一邊角關(guān)系.(2)由繁推簡.(3)目標明確，等價轉(zhuǎn)化.2.三角恒等式證明的基本途徑(1)把角的關(guān)系通過正、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，然后進行化簡、變形.(2)把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過正弦定理，然后利用三角函數(shù)公式進行恒等變形.[再練一題]2.在△ABC中，求證：eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(c－bcosA,b－ccosA).【證明】由正弦定理得右邊＝eq\f(2RsinC－2RsinBcosA,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sinA＋B－sinBcosA,sinA＋C－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB＋cosAsinB－sinBcosA,sinAcosC＋cosAsinC－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB,sinAcosC)＝eq\f(cosB,cosC)＝左邊.∴原等式成立.[探究共研型]三角形中的綜合問題探究1如圖1-2-28所示，圖中共有幾個三角形？線段AD分別是哪些三角形的邊，∠B是哪些三角形的內(nèi)角？圖1-2-28【提示】在圖形中共有三個三角形，分別為△ABC，△ABD，△ADC；線段AD是△ADC與△ABD的公共邊，∠B既是△ABC的內(nèi)角，又是△ABD的內(nèi)角.探究2在探究1中，若sinB＝sin∠ADB，則△ABD是什么形狀的三角形？在此條件下若已知AB＝m，DC＝n，如何求出AC?【提示】若sinB＝sin∠ADB，則△ABD為等腰三角形，在此條件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC.探究3在探究1的圖形中若已知∠B與∠C的大小如何表示(或求)∠A，如何用∠B與∠C的正、余弦值表示∠A的正弦值？【提示】∠A＝π－(∠B＋∠C)，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知∠A＝eq\f(π,4)，bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝a.(1)求證：∠B－∠C＝eq\f(π,2)；(2)若a＝eq\r(2)，求△ABC的面積.【導學號：18082023】【精彩點撥】(1)先由正弦定理化邊為角，再化簡已知三角形即證.(2)結(jié)合第(1)問可直接求出∠B，∠C，再利用面積公式求值；也可以作輔助線導出b，c的大小關(guān)系，再由余弦定理求值，最后用面積公式求解.【自主解答】(1)由bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝a，應(yīng)用正弦定理，得sinBsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－sinC·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝sinA，所以sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinC＋\f(\r(2),2)cosC))－sinCeq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB＝eq\f(\r(2),2)，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，因為0<∠B<eq\f(3,4)π，0<∠C<eq\f(3,4)π，從而∠B－∠C＝eq\f(π,2).(2)因∠B＋∠C＝π－∠A＝eq\f(3π,4)，所以∠B＝eq\f(5,8)π，∠C＝eq\f(π,8).由a＝eq\r(2)，∠A＝eq\f(π,4)得b＝eq\f(asinB,sinA)＝2sineq\f(5π,8)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝2sineq\f(π,8)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(2)sineq\f(5π,8)·sineq\f(π,8)＝eq\r(2)coseq\f(π,8)sineq\f(π,8)＝eq\f(1,2).1.解三角形綜合問題，除靈活運用正、余弦定理及三角形的有關(guān)知識外，一般還要用到三角函數(shù)，三角恒等變換，平面向量等知識，因此掌握正、余弦定理，三角函數(shù)的公式及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.2.三角形問題中，涉及變量取值范圍或最值問題要注意函數(shù)思想的應(yīng)用.[再練一題]3.如圖1-2-29，在四邊形ABCD中，AC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝1，eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝1，sin∠BCD＝eq\f(3,5).圖1-2-29(1)求BC邊的長；(2)求四邊形ABCD的面積.【解】(1)∵AC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝1，∴eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝|eq\o(AB,\s\up12(→))|·|eq\o(AC,\s\up12(→))|·cos∠BAC＝2cos∠BAC＝1，∴cos∠BAC＝eq\f(1,2)，∴∠BAC＝60°.在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×eq\f(1,2)＝3，∴BC＝eq\r(3).(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2).又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，sin∠BCD＝eq\f(3,5)，∴cos∠ACD＝eq\f(3,5)，從而sin∠ACD＝eq\r(1－cos2∠ACD)＝eq\f(4,5)，∴S△ACD＝eq\f(1,2)AC·CD·sin∠ACD＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5).∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(2,5)＝eq\f(4＋5\r(3),10).1.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a＝5，b＝4，cosC＝eq\f(4,5)，則△ABC的面積是().6【解析】∵cosC＝eq\f(4,5)，∠C∈(0，π)，∴sinC＝eq\f(3,5)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×5×4×eq\f(3,5)＝6.故選B.【答案】B2.已知△ABC的面積為eq\f(3,2)，且b＝2，c＝eq\r(3)，則()A.∠A＝30° B.∠A＝60°C.∠A＝30°或150° D.∠A＝60°或120°【解析】∵S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3,2)，∴eq\f(1,2)×2×eq\r(3)sinA＝eq\f(3,2)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝60°或120°.故選D.【答案】D3.在△ABC中，已知AB＝3，∠A＝120°，且△ABC的面積為eq\f(15\r(3),4)，則BC邊的長為________.【解析】∵S△ABC＝eq\f(1,2)×3×b×sin120°＝eq\f(15\r(3),4)，∴b＝5，∴由余弦定理得a2＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49，∴a＝7，即BC＝7.【答案】74.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已